COS» J - J 0 <P

i cos 0 J

' cos 0

d’où l’on conclut, en multipliant la dernière équation par r, et la retranchant ensuite de la précédente,

(*^r)[ r J r f s - s d s '+'f r fs.s' £)q>r=o; (d)

résultat que nous pouvons substituer à l’équation (c) que nous avions d’abord.

XIXJ Cahier . jq

Je multiplie maintenant l’équation (d) par dr, puis j’intègre dans toute I’étendue des valeurs de r, ce qui permet de regarder u comme constante .; la nature des fonctions f et <p permet aussi d’étendre les intégrales depuis r —o jusqu’à r z:oo; et comme on a, en intégrant par parties,

JT [JTf s ■* ds ) r ' dr = t JT f r • dr ’

JT (JT f s • ds ) dr —JT f r - r ' dr -

il en résulte

■f (4r) /> • r+ ^ 2 (“—oJT ^ rdr —°’

donc, en multipliant par tt , et faisant

. r* dr — k , vc f o °° cp r dr — y ,

nous aurons enfin

La quantité k est la mesure de la conductibilité de la matière au point M (n.° 46) ; le coefficient y représente également une quantité don^ née par l’observation, ainsi qu’on le verra tout-à-I’heure ; par conséquent cette équation (e) est celle qu’il s’agissait d’obtenir.

On pouvait y parvenir plus directement, en multipliant l’équation (c) par dr, et intégrant ensuite dans toute l’étendue des valeurs de r; cependant il n’était pas inutile dé former l’équation (d), qui conduit à une expression fort simple de la fonction cpr, relative au rayonnement extérieur , au moyen de celle qui se rapporte au rayonnement intérieur et des deux constantes k et y. En effet, en combinant ensemble les équations (d) et (e), on en conclut

<f r = -JJ- [?\f r f s * s ds H- J* r fs.s’ds};

résultat qui ne présente rien d’impossible en lui-même, et que l’on doit admettre comme une suite nécessaire des différentes hypothèses que ion a faites précédemment, quoiqu’on ne puisse le vérifier par aucune expérience directe. Toutefois, si les lois des rayonnemens intérieur et extérieur étaient connues a priori, et quelles ne satisfissent pas à cette derniere équation, on ne pourrait plus regarder, ainsi que nous lavons fait, la température comme étant sensiblement invariable près de la surface du corps , et par conséquent l’équation (e) ne serait plus celle qui aurait lieu à cette surface.

[ 56 .] Pour

connaître la signification du coefficien t y, cherchons la quantité de chaleur qui traverse à chaque instant un élément quelconque de la surface du corps. Pour cela, appelons E' le point où cette surface est rencontrée par la droite qui va du point intérieur A4 au point extérieur A4' ; soit a l’élément de la surface qui répond à

ce point E ; menons à ce point une normale à la surface , dirigée

dans l’intérieur du corps, et soit fl' l’angle quelle fait avec la droite E A4, concevons de plus un cône qui ait son sommet au point A4 et soit circonscrit à l’élément cù ; prolongeons-le indéfiniment hors du corps ; puis décomposons sa partie extérieure en tranches perpendiculaires à sa longueur, et d’une épaisseur infiniment petite. La section de ce cône faite au point E' , sera égale à cù cos fl'; au point A4', elle

j • j ) a a> cos 0 ' ,

deviendra -—-; et comme ds sera I épaisseur de la tranche

au même point, on pourra prendre, pour l’élément dv' qui lui correspond ,

cù ds'.

Il résulte de là que la quantité de chaleur partie de l’élément dv, et qui traverse u dans l’instant dt, sera exprimée par

(« Qdv dtj F (r, s ) (r -t-j')’ ds'— ■ — [u — Ç)<J>r'dv dt ;

I oo

par conséquent la quantité totale de chaleur qui traverse à chaque instant cet élément a> dans toutes les directions , aura pour valeur

(« Q ~i T COS 6 ' dv ,

en etendant l’intégrale à tous les points du corps voisins de E', et compris dans la sphère d’activité de l’émission extérieure. Dans ces limites, on pourra considérer le facteur u — Ç comme constant, et le faire passer hors du signe f ; on aura donc seulement à déterminer l’intégrale f*~~7~~ cos 0 ' dv.

Pour en obtenir la valeur, menons par le point E' un plan tangent à la surface, et dans ce plan, par le même point, une droite fixe, dirigée arbitrairement; projetons sur ce plan le rayon vecteur E' M, ou r ; soit 4/, l’angle que cette projection fait avec la droite fixe: nous aurons

d v =: r' 1 sin 0' d r' d 0’ d .

L’intégrale relative à r pourra être prise depuis r'=o jusqu’à r'—oo; et par rapport aux deux angles ^ et 0 , on devra intégrer depuis 4' — o > 0 = 0', jusqu’à 4-— 2 7r, 0zzi \ 7r ; on aura donc

J~ “TT™ COS 0 ' dv=J cp r' d r f J *cos 0 ' sin 0 ' </ 0 ' d^' “ y ,

à cause que, d’après ses limites , l’intégrale double est égale à 7T , et qu’on a fait précédemment 7r q r drz=zy.

Nous voyons donc que le produit y (a— ^)udt exprime la quantité de chaleur rayonnante qui traverse lcle'ment a> dans l’instant dt ; le coefficient y représente donc, ici comme dans le n.° 3, la mesure de ce flux de chaleur pendant 1 unité de temps , à travers une surface égale à l’unité, dont tous les points auraient le même pouvoir rayonnant que ceux de l’élément a>, et une température qui surpasserait d’une unité celle du milieu environnant ; par conséquent sa valeur numé-

MATHÉMATIQUE. loi

rique sera censée donnée dans chaque cas particulier. L’expérience nous apprend que cette valeur change avec l’état et ia couleur de ia surface ; il faut donc que la modification quelconque qui produit le degré de

poli et la coloration des corps , influe sur la valeur de l’intégrale

/ *oo 6

o Qrdr; ce qui suppose quelle pénètre jusqu’à une petite profondeur au-delà de leurs superficies, et quelle change ou la disposition , ou le pouvoir rayonnant de leurs molécules.

[ 57 f ] ^es deux coefficiens k et y, qui entrent dans l’équation (e) , étant donc connus, il ne reste plus qu’à rapporter à des coordonnées

de directions quelconques, la différence partielle contenue dans

la même équation. Elle suppose , en effet , l’axe des i dirigé suivant la partie extérieure de la normale au point E ; or, si l’on prend dans l’intérieur du corps, sur le prolongement de cette droite , un autre point E / , dont la distance au point E soit représentée par h, et si Ion désigne par u t la valeur de u qui répond à ce point E jt il est évident que sera la limite du rapport — ~ u ’ par rapport à h ; en

sorte qu on aura sa valeur en faisant h zz= o dans ce rapport. Pour l’obtenir, soient x, y, £, les coordonnées rectangulaires du point E rapportées à des axes quelconques ; x-\-x , y-^y f £-|-£ t les coordonnées du point E )f rapportées aux mêmes axes; on aura d’abord

du

Soient de plus A, A , A', les cosinus des angles que fait la normale intérieure EE jt avec des droites menées par le point E, et dirigées suivant les axes des x,y, z; i| e n résultera

et si l’on substitue ces valeurs dans ceile de u — a ( , qu’on la divise par h , et qu’on fasse ensuite /;—o, on en conclura

Lorsque l’équation de la surface sera donnée, on en déduira les valeurs de A, A', à", en fonctions de x, y, z : cette équation étant L—o, on aura, par les formules connues,

dx d y d i

en faisant, pour abréger ,

L’ambiguité du signe de cette quantité N, provient de ce que les valeurs de A, A', A w , peuvent appartenir indifféremment à la partie intérieure ou à la partie extérieure de la normale : on choisira, dans chaque cas, le signe que l’on doit prendre, de manière que ces valeurs répondent à la partie de la normale comprise dans l’intérieur du corps.

[y 8.] En substituant actuellement cette valeur de dans l’é¬

quation (e), elle devient

Cette équation, importante dans la théorie de la chaleur, est due à M. Fourier , qui l’a donnée en en omettant la démonstration, du moins dans le cas général d’un corps de forme quelconque. Elle aura lieu pour toutes les parties rayonnantes de la surface : si le corps est homogène, et que sa surface ait par-tout le même degré de poli, les deux coefficiens A et y seront constans; si, au contraire, le corps est hétérogène, et que sa surface n’ait pas dans tous les points la même faculté de rayonner, ils varieront d’un point à un autre, et devront être donnés en fonctions de x, y, Z• Dans le cas des très-hautes températures, ces coefficiens pourront aussi varier avec celles du corps et du milieu environnant ; mais ils en seront toujours indépendans dans le cas des

températures ordinaires, les seules auxquelles convienne ia supposition d’un rayonnement proportionnel à l’excès de température du corps sur celle du milieu.

Lorsqu’une partie de la surface sera plane, on aura A = ï , A = o , A — o ,

en prenant son plan pour celui des y, £, et supposant l’axe des x dirigé dans l’intérieur du corps; si l’on fait de plus = / 3 , l'équation (f) deviendra, pour cette portion de surface,

4r-/3(—0 = oï

ce qui s’accorde avec l’équation du n.° 4 r *

Si le corps est terminé par une surface sphérique, que l’on place l’origine des coordonnées à son centre, et que l’on appelle r le rayon qui aboutit au point quelconque dont les coordonnées sont x, y, £, on aura

d’ailleurs, on a identiquement

d U x du y d u du ,

dr r dx r dÿ r 9

dans ce cas, lequation (f) se réduira donc à

et, quelles que soient la distribution de la chaleur et la loi des densités dans l’intérieur de la sphère, cette équation aura lieu pour la valeur particulière r =/, en désignant par l le rayon de cette sphère.

Observons enfin que s’il s’agissait d’un corps de forme quelconque, dont la surface fût entretenue dans tous ses points à des températures qui pourraient être variables avec le temps, ce cas serait encore çom-

iq 4 physique

pris Jans l’équation (f); car, en y faisant y = oo, elle se réduit à a = C* de sorte q u>il suffirait alors de prendre pour Ç la fonction de y, Zet t qui exprime la loi de ces températures.

[59.] Léquation du n.° 53 subsiste également, si le corps, au lieu dêtre placé dans un milieu perméable à la chaleur rayonnante, est enveloppé d’une couche solide d’une autre matière que la sienne. La quantité de chaleur envoyée, pendant l’instant dt, par l’élément dv du noyau à f élément dv de la couche extérieure, sera encore exprimée par le produit ( u ^)F [r , s) dv dv dt; et la quantité f qui entre dans cette équation , aura toujours pour valeur

— dv'.

Mais maintenant ia fonction F{r, s) n’aura de valeurs appréciables que pour les valeurs très-petites, non-seulement de r' , mais aussi de s ' ‘ et elle pourra être regardée comme nulle, dès que l’on donnera une grandeur sensible à l’une de ces deux variables. De plus, si l'on suppose que la température neprouve aucun changement brusque en passant de l’une à l’autre des deux parties du corps , la différence C entre Jes températures des deux élémens dont on considère l’action mutuelle , sera alors une très-petite quantité qu’il ne sera plus permis de regarder comme constante dans l’intégration d’où dépend la valeur de j>. Le calcul de cette valeur se fera de la même manière que précédemment; mais le résultat sera modifié par la circonstance de ia variabilité du facteur u — Ç.

Pour effectuer ce calcul, appelons toujours y-\-y', z~hz', les

coordonnées du point M’, celles du point M étant y, Z : en donnant à leurs axes la même direction que dans le n.° 51 , et observant que la distance M’M est maintenant représentée par r'-hs', les valeurs de x, y, z> et de 1 élément dv , citées dans ce n.°, deviendront

x — (r -f-j ) sin 9 cos , y’ — (/-f-/) s ; n 9 sin ^,

I = (r-+ri'jcos8j & — (r'-jf-ty. sin.#, 4 /. 4 U^

MATHÉMATIQUE. IOJ

Les coordonnées du point E, rapportées aux mêmes axes, seront x, y et i -h r ; si donc on désigne par u la température qui a lieu en ce point, considéré comme appartenant à la couche extérieure , cette quantité u et la température Ç du point M', seront la même fonction , Tune de y-hy, Z+~Z et et l’autre de x, y, i~+~r et t; donc, en né¬

gligeant les quantités du second ordre par rapport à x, y, z et r, nous aurons

du'., .

-JT (z -

En tant que le même point E appartient aussi à l’autre partie du corps, sa température se déduira de celle du point M, en mettant dans celleci 2-Hr.à la place de r; on aura donc u'z=.u-\ —r ; d’ailleurs, à cause de r cos 0 = r ( n.° 5 1 ), on a z — r = s cos 0 ; d’où il résulte par conséquent

du

s cos 9 .

Je substitue cette valeur et celle de dv dans l’intégrale que nous voulons déterminer ; puis j’effectue l’intégration relative à l’angle ^, dont les limites sont ^ = 0 et ^|/ = 27 r, ce qui fait disparaître les termes

qui renfermeraient et j’ai ensuite

/ = — 2 tt (-^ T~]ff F[ r '> -0 [r -+■ <0* r s ^ n ® ds db

— 2 71 [lT{) Jf F[ r '• s ) (r -P- /)* s' cosÔ sin 9 ds' d% ;

les parenthèses indiquant que les différences partielles et (-j~)

se rapportent à la direction de l’axe des z> normale au point E, à la surface de séparation des deux parties du corps.

Les limites relatives à 9 et à/, sont 9 = o et 9 —~7r , s—o et s'zz zoo; faisant donc XIX. e Cahier.

io 6

F(r, j') [r'-hs'Y ds' — Qr, F[r, s) (r'-Ky') 1 s ds—rQr';

et mettant ensuite pour r sa valeur — r — ri nous aurons finalement

A cos 0

f = — 27 rr (4f-)/r (t£f) sin ô ^

' ~ 2 7r r (4f )/!' ^ ("c«t) sin 6 ' 1

[6o.] Dans le cas que nous considérons, i-équation du n.° 53 sera donc

(-^)[ r 'f 7 f s - sds -/Tfs.^rf l w *p{-£f\ sin fi rffl]

■+■ 2 r taàr )‘ 5:116 = °-

En lui faisant subir les mêmes transformations que dans le n.° 55, c’est-à-dire, en intégrant par parties les formules relatives à ô, différenciant ensuite cette équation par rapport à r, puis retranchant le résultat , multiplié par { r et divisé par dr, de cette même équation, 011 la changera en celle-ci :

(7F)[ r< * r —f7f s - s ' ds ]+( 1 J £)>•<>, r = 0 ,

laquelle aura lieu pour toutes les valeurs de r, comprises depuis r=zo jusqu’à la limite où s’étend la communication de la chaleur entre les molécules des deux parties du corps. On voit que son premier membre devient identiquement nul, et quelle disparaît par conséquent, dès qu’on donne à cette variable r une grandeur sensible qui permet de la traiter comme infinie.

Je multiplie cette équation par —-—— t j’intègre ensuite tous ses

termes, depuis r=o jusqu’à r= 00; il vient d’abord (n.° 46) ,

-r/: (/>>") *-= f-zr /-*■"=■*

posant, en outre,

Jf-f* rtyrdr = ^/“/T F(/, /) rVr' ds — h,

-il f^rC)rdt—^j fT/TM S) (r'-hs)'/ ds' dr' —h', nous aurons

La constante  est connue , puisqu’elle représente la conductibilité de la matière du noyau; mais les deux constantes h et h ne peuvent être données par l’observation, et il s agit de les éliminer. Or, il est évident qu’on doit avoir une seconde équation de la meme nature que celle-ci , et qui n’en diffère qu’en ce que l’on aura échangé entre elfes les deux parties du corps et les quantités analogues qui s’y rapportent. Pour la déduire de la précédente , je désigne par k' la conductibilité de la matière dans l’autre partie du corps ; je mets k* à la place de k, et je permute entre elles u et u ; je permute de même entre elles r et s dans les expressions de h et h', mais seulement en dehors de la fonction F[r , s), à laquelle on ne doit rien changer: l’expression de h deviendra celle de h', et réciproquement; h et h' se trouveront permutées entre elles, en même temps que u et u ; et nous aurons, pour la seconde équation demandée ,

la direction de l’axe des £ étant la même que dans la première. En retranchant l’une de l’autre, les deux constantes h et h disparaissent, et l’on a simplement

Et si l’on substitue pour (-jp) et (4^~) ,eurs expressions relatives à

des axes de directions quelconques (n.° 57), on aura

Cette équation aura lieu pour tous les points de ia surface de séparation des deux parties du corps ; mais si elles ont été échauffées arbitrairement avant d’être mises en contact, elle ne subsistera qu’à partir de l’instant où la température n’éprouvera plus de changement brusque, en passant d’une partie à l’autre, et où les fonctions u et u! seront supposées égales entre elles pour tous les points de cette même surface. Lorsque cette surface est celle d’une portion de sphère , l’équation précédente coïncide avec celle que nous avons déjà trouvée pour ce cas particulier (n.° 50) ; ce qui peut servir de vérification à notre analyse.

En éliminant entre les deux équations (g), disparaît en

même temps, et l’on trouve

kk' — h k r -f- h' k;

résultat que l’on vérifie aisément, dans le cas où les deux parties du corps sont formées de la même matière. En effet, on a alors k'zzzk, ce qui réduit cette équation à k=.h-\-li : on a de plus F(r',S) =/(r^/);

d’où il résulte

h-\rh’ = t f > ) -t -l'Ÿ dt‘ Js'

ou bien, en intégrant par parties,

* h' = -y-/ ^ fr. r dr = h ;

ce qu’on voulait vérifier.

[6l.] Nous terminerons ce §. en cherchant, par l’analyse du n.° 5 6, l’expression de la quantité de chaleur qui traverse à chaque instant un élément quelconque de la surface que nous venons de considérer. Nous conserverons toutes les notations employées dans ce 11. 0 , à ïexception de la température au point M, que nous représenterons par *1; nous indiquerons aussi par C, la partie du corps à laquelle appartient le point A 4 , et par C', l’autre partie, qui renferme le point A 4 ' ; et il s’agira de déterminer la quantité de chaleur qui passe , pendant l’instant dt, de C dans C r , en traversant l’élément w de la surface en question. La partie de cette chaleur qui part de l’élément dv, situé au point A 4 , sera exprimée, comme plus haut, par

d^JSLÎL dvdtf “ (*1 — QF(r', /) (r’-t- /)* ds ;

et l’on devra avoir égard, dans cette intégration, à la variabilité du facteur v\ —

Nous emploierons x, y, 1, pour désigner les coordonnées du point E', auquel répond l’élément «, et nous représenterons par x H- x t , , Z~*rZ,> ce ^ es du point M, et par x-\-x', y-\-y, Z^z' / celles du point A 4 ', lesquelles seront toutes rapportées aux mêmes axes : quelle que soit leur direction , on aura

Désignons aussi par u la température du point E', considéré comme appartenant à C, et par u, la température au même point, en tant qu’il appartient à l’autre partie C' du corps ; en négligeant les quantités du second ordre par rapport à x f , y /t Z,» * > ÿ > nous aurons

-jy y.

o / , du' / du , du' ,