TT

donc, à cause de u et des valeurs de x', y, ^, nous en déduirons

Je substitue cette valeur dans l’expression de la quantité de chaleur précédente ; elle devient alors

c pr' et q> / r' désignant les mêmes fonctions de r que dans le n.° 5p. D’après cela, si nous représentons par uTdt, la quantité totale de chaleur qui traverse l’élément cù dans toutes les directions pendant i’insv tant dt, nous aurons

l’intégrale devant s’étendre à tous les élémens dv de la partie C du corps qui rayonnent dans l’autre partie C'.

L’origine des coordonnées x /t y t , z,> est au point E' ; si nous prenons pour l’axe des z /t la normale à la surface de séparation des deux parties du corps, menée par ce point et dirigée dans la partie C, c’est-àdire, la droite qui fait l’angle fl' avec le rayon vecteur E’M ou r , nous aurons

x t — / sin 6 ' cos *[/ , y t — r sin 8 ' sin 4/ , Z, — r> cos 6 ', dv = r ' 1 sin 6' dr' dù' d\';

4 ' étant l’angle que le rayon r', projeté sur le plan des x /t y t , fait avec Taxe des x y . Les limites de notre intégrale seront 4 '—°, fl'izio,

MATHÉMATIQUE. i I I

r'—o et 4 /= 27 r, G'—f 7r, r'=oo ^ et après avoir effectué l’intégration relative à *J/, on aura

r=2,r [(^r)/^ rVr,H rVr ' l/r c ° s ' r sin e ' >

ou, ce qui est la même chose,

en venu Je la première équation (g). Donc, si l’on substitue à la place Je j u - j, son expression rapportée à Jes axes Je coorJonnées Jirigés

J’une manière quelconque, il en résultera , pour la Quantité Je chaleur Jeman Jée,

Cù T dt —- À —J— —j — À H— ~d~^~ ^ j k tù dt.

Le signe ambigu Jes cosinus A, a', à w , se Jéterminera comme Jans le n.° 57; et selon que la valeur Je T, relative à un point Jéterminé, se trouvera positive ou négative, le flux Je chaleur en ce point aura lieu Je C en C' , ou en sens contraire.

Pour connaître la quantité Je chaleur qui traverse, penJant l’instant dt , une portion finie Je la surface Je séparation Je C et C', on n’aura qu’à intégrer la valeur Je uTdt Jans toute l’étenJue Je cette portion Je surface ; en l’intégrant ensuite par rapport au temps, on en conclura la quantité finie Je chaleur qui s’écoule Je la même manière Jans un temps Jonné. Si, par exemple, la partie C est une sphère J’un rayon représenté par r, et Jont le centre soit à l’origine Jes coorJonnées x,y, z> on aura

odV d t n- -- k u d t ;

et si, Je plus, la température est la même Jans tous les points Je sa surface, la quantité Je chaleur qui la traverse penJant l’instant dt ,

sera exprimée par—4 ^r 2 fi~~ dt, comme dans le n.° 50 , ce qui peut encore servir de vérification à notre analyse.

La partie C du corps ayant* une forme quelconque, supposons qùe Ion supprime fa partie G', et que fa surface de C devienne rayonnante ; supposons de plus que le rayonnement enlève à chaque élément de cette surface, la quantité de chaleur qui s’écoulait auparavant dans C' par ce même élément : en désignant par Ç la température du milieu où le corps C sera placé, et par y la même quantité que précédemment (n.° 56), on aura

Par cette considération, qui se présente la première à l’esprit, et que j’avais autrefois employée, on retrouve, comme on voit, l’équation (f) ; mais cette manière d’y parvenir , ne me semble pas entièrement satisfaisante , en ce qu’elle laisse dans l’obscurité ce qui se passe très-près de la surface, à la profondeur où les points du corps rayonnent au dehors, et qu’il en peut résulter quelque doute sur l’exactitude de l’équation ; c’est pourquoi j’ai employé, pour l’obtenir, la méthode exposée précédemment avec tous les détails qu’exigeaient l’importance et la difficulté de la question.