S- VL
Distribution de la Chaleur dans une Sphère homogène, dont tous les points également éloignés du centre ont des températures égales .
[62.] L’équation relative à ce cas particulier est dans le n.° 50 ,
, comme on l’a vu
En multipliant ses deux membres par r, elle devient
d. r u , d 1 . ru
—7- zz a —7- ;
et elle a alors la même forme que celle qui se rapporte au cas d’une barre cylindrique, lorsqu’on fait abstraction du rayonnement latéral. Si nous supposons cette sphère placée dans un milieu dont la température soit constante, et prise pour le zéro de l’échelle thermométrique, l’équation relative à sa surface sera, d’après le n.° 5 8 , du n
En appelant / le rayon de la sphère entière, cette équation n’aura lieu que pour r:zz /, et l’on pourra l’écrire ainsi :
D’ailleurs, on a constamment ruzzzo pour rzr:o , sans quoi la température deviendrai^ infinie au centre de la sphère ; les conditions relatives aux deux valeurs extrêmes rzzo et rzzz/, sont donc aussi les mêmes que celles qui ont lieu pour une barre d’une longueur égale à l, entretenue par un bout à la température zéro, et qui rayonne librement par son autre extrémité : donc, sans faire de nouveaux calculs, la valeur de ru en fonction de r et r, se déduira de la valeur de u donnée par
l’équation (11) du n.° 25 , en y mettant / à la place de 2 1 , /3-
à la place de / 3 , r au lieu de x, et y faisant ^zzzo. De cette manière, nous aurons
ru —T S [Tmizrr^rFjr « n / rf o sm t y . F y dy\ e
La quantité f est déterminée par cette équation :
(/3 / — 1 ) sin j» l -f- l cos f l — o , (h)
et la somme X s’étend à toutes ses racines positives, y compris la racine zéro, pour laquelle on ne prendra que la moitié du terme corres- XIX/ Cahier . P
pondant: de plus, on suppose ru —Fr, quand t — o\ de sorte que cette fonction Fr sera donnée, dans chaque cas particulier, par l’état initial de la sphère. II est aisé de s’assurer que cette formule s’accorde avec celle que M. Fourier a donnée, pour le même cas particulier, dans les Annales de physique et de chimie du mois d’avril 1820 , png. 4.27,
Si l’on a fi — o, le rayonnement de la surface sera nul, et l’équation (h) deviendra
sin f l zzz fl cos f 1.
La valeur / —o en sera une racine triple; il faudra donc prendre trois fois le demi-terme de la somme S qui répond à fzzzo : en séparant cette partie du reste de la,série, on aura
ru — â yf‘ c yFydy-V-j- S sin/>• f\ sin fy.Fydy^t
La somme S ne s’étendra plus qu’aux racines positives de l’équation précédente, non compris les racines zéro; tous ses termes diminueront indéfiniment à mesure que t augmentera; et, au bout d’un certain temps, la valeur de cette somme sera insensible, et celle de u se réduira à
u = ±f' o y F y dy.
Cette limite est la même pour tous les points de la sphère, et égale à la moyenne de leurs températures initiales; ce qui devait arriver, en effet, puisqu’on ne suppose aucune déperdition de chaleur à l’extérieur.
Si Ion a, au contraire, fi — 00, 1 équation relative à la surface se réduira à u= o, et ce cas sera celui où tous les points de cette surface sont constamment entretenus à la température zéro. L’équation (h) se
réduira en même temps à sin fl~o; d’où l’on tire f=z~ t j étant
un nombre entier quelconque ou zéro. La valeur de ru, relative à ce cas, sera donc
rs = -f S (sin f' o £
fa somme 2 s’étendant à toutes les valeurs positives de i, depuis /= r jusqu’à i — oc.
[63.] A l’exception du cas où l’on suppose /Szzio, le terme de la somme X qui répond à /zzo, s’évanouit toujours de lui-même ; tous les autres termes décroissent indéfiniment à mesure que t augmente , et les températures de tous les points de la sphère ont pour limite zéro. Mais, avant son refroidissement total, la sphère passe par un état remarquable, dans lequel les températures de tous ses points décroissent suivant la même progression géométrique , le temps continuant à croître par des différences constantes : cet état a lieu lorsque tous les termes de la somme S sont devenus très-petits par rapport à celui qui répond à la plus petite racine de l’équation (h), et qui décroît, pour cette raison, moins rapidement que les autres termes ; en désignant donc par h cette plus petite racine, et ne conservant que le terme qui lui correspond, nous aurons, pour l’expression des températures finales dans toute l’étendue de la sphère ,
2 sin h r — a* t h
c / sin h y . F y dy.
On pourra les exprimer plus simplement, au moyen de la température relative à un point déterminé, au centre, par exemple : en représentant celle-ci par v, et faisant ;*=o, on aura
d’où l’on conclut
2 h [—* il t h tI ■ . t J
—y— e / sin h y . F y dy ;
1 __ v sin h
C’est quand la sphère est parvenue à cet état qu’il faut observer la loi de son refroidissement, soit pour vérifier la théorie, soit pour dé-
terminer, par iexpérience, les constantes relatives à la matière et à la surface rayonnante de cette sphère.
[64.] Lorsque le rayon / de la sphere est très-petit, le produit fil lest aussi, en général; et Ion satisfait, dans ce cas, à l’équation (h), par une très-petite valeur de fl. Pour la déterminer, je substitue à sm fl et cos fl leurs développemens suivant les puissances de cette quantité; en divisant par fl, et négligeant ensuite les quatrièmes puissances, l’équation (h) devient
(/3/ I ) ( , JLL. ).+. , Jl±. 0 ;
doù Ion tire, à très-peu près, f z / z — 3 fil: la plus petite racine de cette équation sera donc
h — VïTT .
les autres racines seront toutes très-grandes par rapport à celle-ci; en sorte que l’état régulier qui précède le refroidissement total d’une sphère, doit s’établir très-promptement, dans le cas où son rayon est supposé très-petit.
Je substitue cette valeur de h dans celle de u qui répond à cet état; je néglige, dans le coefficient de l’exponentielle e~ a * tfl2 , les termes qui restent multipliés par fi l ou fi r , après cette substitution ; et je fais, pour abréger,
~h~ff yydy = A ;
il vient
en remettant pour rf* et fi leurs valeurs ( n. ÜS 50 et 58 ). Tous les points de ia petite sphère ont donc alors la même température, laquelle est proportionnelle h A, qui n ’ es t autre chose que la moyenne de leurs températures initiales.
La comparaison Je cette expression de u à des températures de la sphère directement observées pour différentes valeurs de t, offre un moyen que les physiciens ont déjà fait servir à déterminer le rapport — , et, par conséquent, fune des deux quantités y et c, lorsque l’autre est censée connue.
Si l’on suppose la quantité fi infiniment petite, la valeur de u, dans l’état final de la sphère, deviendra indépendante de / et égale à A; ce qui s’accorde avec ce que nous avons trouvé en faisant, à priori, fi zzz o.
[65.] Soit r=zl — x, Fr—(l — x)/x; en sorte que x désigne la distance d’un point quelconque de la sphère à sa surface, et fx, la température initiale en ce point. Après avoir substitué ces valeurs dans la valeur générale de u du n.° 62, si l’on y fait le rayon / infini, il est évident quelle devra coïncider avec la valeur de u relative à une barre d’une longueur infinie, qui rayonne librement par l’extrémité correspondante à x = o, c’est-à-dire, avec la valeur de u du n.° 26, en y faisant toutefois la constante l, qui se rapporte au rayonnement latéral, égale à zéro. C’est effectivement ce qu’il est aisé de vérifier.
La quantité / étant infinie, 1 équation (h) se réduit à fi sin f l -f- / cos fl— o ;
d’où l’on tire
sin / / = ~ÿ=== , eos fl— •
On en déduit aussi, comme dans le n.° 26 , / = ~j~» 1 etant nombre entier et positif. De plus, le facteur J. \
entre dans l’expression de u r se réduit en même temps à l’unité, et cette expression devient
“ — = T -2 [( s "' fl cos fx — cos fl s in f x) f^[ûn f l cos f y
— cos//sin /7) (-jEf )fy d y] e - a,f ‘ >
ou bien, en y substituant d'abord pour sin fl et cos / / leurs valeurs,
“ —*T S L-- J a ( / sin f y
- 4 - /3 cos yy ) e~“ '* .
D’ailleurs les valeurs de / croîtront par des différences infiniment petites et égales à par conséquent, si Ion fait / = ~ ~i, et
— d Z, la somme X se changera en une intégrale définie, dont ies limites seront £=o et 2 = 00 ; le facteur devenant - ~ Jy - d - z -
/ — x TT—xdz 9
V on devra le remplacer par l’unité; et l’on aura finalement u — ~fo f O (s cos Z*-f-/ 3 sin £.v) (scos^y
H-/ 3 sin 2 y)c - ‘ I “ ,
ce qui coïncide avec ia formule du n.° 2<5.
[66.] Au lieu d’une sphère pleine, comme celle que nous venons de considérer, supposons qu’il s’agisse d’une sphère creuse, c’est-à-dire d’une couche sphérique homogène, d’une épaisseur constante , dans l’intérieur de laquelle on a fait le vide ; en supposant toujours la température égale pour tous les points également éloignés du centre, la formule générale du n.° 19 s’appliquera encore immédiatement à ce nouveau cas. En effet, il n y aura aucune déperdition de chaleur par la surface intérieure de la couche; car, tous ses élémens ayant la même température , il ne pourra exister de l’une à l’autre que des échanges mutuels de chaleur en quantités égales ; en sorte que chaque portion de la surface
MATHÉMATIQUE. l 19
absorbera, dans chaque instant, la même quantité de chaleur quelle émettra au dehors. En conservant donc les notations précédentes, nous
du
aurons -jj- = o (n.° 50), pour la valeur de r [qui re'pond à ia surface intérieure; si donc nous appelons «. -H/' et a — /' les rayons des surfaces extérieure et intérieure, et que nous fassions r = «.-h .v, les équations qui se rapportent à ces deux surfaces pourront être écrites ainsi :
dx [P J ( * * ) u = O, quand A-
dx • ( *-+-*) u=o , quand a — — V:
et en même temps l’équation relative à tous les points de la couche sphérique deviendra
dx dt 2
Or, si Ion compare ces trois équations à celles dont la formule (8) du n.° cité renferme la solution complète , on voit que cette formule devra aussi représenter ia valeur de («.-Ha ) « en fonction de a et t, en y
mettant / , /3 et , à la place de 1, (3 et j3', et y fai¬
sant /)= o. De cette manière , nous aurons
(et .— T ( Pcotfx-t- Qsmsx j ^ .
fa somme S s’étendra à toutes les valeurs positives de /, tirées de i’équation
[~7Zrp T^rpr — / ‘ ) sin 2 f l' +• (/3 —
•+* -7=7- ) / cos 2 / /' = o ;
et nous nous dispenserons d’écrire les valeurs de P, Q, R, qui se déduiront sans difficulté de celles du n.° jp.
Si le rayon de cette sphère est très-petit, en sorte que «.et /' soient
deux lignes très-petites, et que /3 ce et /3 ï, qui sont des quantités abstraites , soient de très-petites fractions, on satisfera à l’équation précédante par une valeur de 2 fl' également très-petite; et en résolvant cette équation par approximation, comme nous l’avons fait dans le cas de la petite sphère pleine, on trouve
*-*-/' / 6fU'
Au bout d’un temps très-court, la somme S se réduira sensiblement au terme qui répond à cette valeur de f, on aura donc la température u en substituant cette valeur dans la formule
P cos PX-hQsino* — a 1 1 j>*
Je forme les valeurs approchées de P, Q, R, qui répondent à cette même valeur de f ; je trouve
P= —Cr-»-*) * y J y ■ < 2 =— —f li- (.H -*)Fydy,
expressions qui supposent que l’on représente par Fx la valeur de ( a, x ) u qui répond à t — o , en sorte que , si Ton désigne par fx la loi des températures initiales dans toute l’épaisseur de la couche sphérique, on aura Fx un (et— \-x)fx, Je substitue toutes ces valeurs dans
la formule précédente , et en observant qu’on a a z (i — ~ , et, à très-peu près , sin fx = fx, cos /*= 1, il vient
* = irjjh^ TJ-r 0 -+- d y- c ’
où l’on peut remarquer que le coefficient de l’exponentielle n’est autre chose que la moyenne des températures initiales. On voit aussi que cette formule coïncide avec celle du n.° 64, quand on fait <*=/ et
De ce que cette valeur approchée de u ne contient pas x, il n en faut pas conclure qu’on ait-^-zno; car il en résulterait que le flux de chaleur serait nul a la surface et dans l’intérieur de la couche sphérique, ce qui serait absurde. Pour avoir la vraie valeur de —-—, il faut conserver dans
celle de u des termes que nous avons négligés, et que la différenciation relative à a- ramènera a l’ordre de grandeur de ceux que nous avons conservés. On trouvera alors une valeur de —J~ , variable avec x, qui sera
nulle pour xnr—/', et égale à —/3 u pour x =. /', ainsi que cela doit être effectivement.
