XIX.' Cahier

PHYSIQUE les valeurs de ru et ru dépendront de ces équations,

^l ru d2 -ru d.r u' d'.ru' ^

dt — dr* ’ dt ~~ dr 1 9

et, en mettant leurs intégrales sous la même forme que dans le n.° 16, nous aurons

2 a VîTt J — a

hrrfZ' F* JS.

Les fonctions arbitraires Fr et F' r représenteront les valeurs de ru et r u qui répondent à tz=zo\ en désignant donc par / le rayon du noyau, et par/ l’épaisseur de la couche extérieure, ces fonctions seront données, d’après l’état initial du corps, la première depuis rzzzo jusqu’à r=i/, et la seconde depuis rz=zl jusqu’à rz=zzl-\-ï. Quant aux valeurs de Fr et Fr' , hors de ces limites, l’état initial les laisse indéterminées, et elles serviront à satisfaire aux autres conditions du problème, lesquelles sont, i.° l’équation ru = o, qui aura lieu pour r=o; 2.° les équations du n.° 50, relatives au cas que nous traitons, qui auront lieu pour î, et que nous pourrons écrire ainsi :

ru ru,

d.r u dr

d.ru' d r

3 »° féquation relative à la surface du corps, qui aura lieu pour r — /h-/', et qui sera

d.ru d r

[P— Trr )ru=o,

en supposant la sphère placée dans un milieu dont la température est constante et égale à zéro, et désignant par /3 le rapport , y étant la même quantité constante que dans le §. précédent.

Nous allons montrer comment on peut éliminer, au moyen de ces

quatre équations, les parties inconnues des fonctions qui sont renfermées sous le signe f, dans les valeurs de et ru.

[68.] Aux fonctions F et F', nous en substituerons deux autres, f et f , telles que Ion ait

F(ay)=fy, F' [a'y) =f y,

pour toutes les valeurs de la variable y ; faisant ensuite xzizay, xzzza y, dans les valeurs de ru et ru, elles deviendront

, foo ~j T (y—7-y , ,

ru = -r*FrJ- 00 e f> d >-

r I /~0O TT (y w

ru —-r^rf-oo e f y d y ;

et Ion en déduit, en différenciant d’abord par rapport à r, et intégrant ensuite par parties relativement à y,

ru 1 r o

l r 2 a’ VïTt J—o

Maintenant, si Ion observe, comme dans le 11/ 16, que les équations du n.° précédent doivent subsister pour toutes les valeurs de t, la condition r u z=z o quand r z=z o, donnera d abord

en faisant, pour abre'ger, — — b, -4- — l> , on conclura de même un

de la première des deux équations ( i ) :

f[b -H /) -H/(* — y) =/' (ê'-hy)-f-/ (b' —y); (k, *)

puis de la seconde :

enfin 1 équation relative à fa surface donnera, par fa même raison,

en faisant aussi, pour abréger, a' fi -

Ces quatre équations aux différences mêfées auront fieu pour toutes fes valeurs reelfes de y, depuis y zz: — 00 jusqu’à y zz: H— 00 : if faudrait pouvoir fes intégrer, si l’on en voulait déduire l’expression complété des fonctions f y et f y ; mais cette intégration n’est pas necessaire pour f élimination qu’il s’agit d’effectuer. En effet, en transformant, comme dans plusieurs endroits de ce mémoire ( n.° 16), fes exponentielles que les valeurs de ru et ru renferment, ces valeurs deviennent

ru — 'irfr[f- 0 o cos [y — 7r)i-fy d y\ e ~‘ z d z>

TU '~ -v/rif-Z* cos (-’' “ e ~' l ‘ d &

par conséquent, if suffira de déduire des équations (k), fes vafeurs des intégrales relatives à y, qui sont comprises ici entre les parenthèses; or ces valeurs s’obtiennent, ainsi qu’on va le voir, par une analyse semblable à celle des. n. oS 17, 18 et ip.

[69.] Désignons par h une constante positive, ou composée d’une partie imaginaire et d’une partie réelle et positive, et soit

fo 03 r hj, fy d y=P> f~°° e h f y dy — q:

f T e ~ hy fy d y. — p't J7 °° ‘ r f y d y — i'>

d’où il résultera

et de meme, par rapport à ia fonction /'. En multipliant donc les équations (k, i) et (k,a) par erb dy, et intégrant ensuite leurs deux membres depuis 7 = 0 jusqu’à y — 00, on aura

hb ~ hb *b rb—hy r , —hb rb hv AA' l

e p- e q - e Je fydy+e e y fy dy^e" p'-e~ h ' q ’

hb'rb'—hy , —h'Vrb'hy,

~ e J 0 e f ydy-\-e [ o e y fydy;

d’où l’on tire • —

P — l— e^-e-^fo e *fy d y *J.y d ?

■+■ {p'—fo*' h? f'y J y) ( j—f!‘ r fydy ).

De plus, en inte'grant par parties, et observant quon a e~b — 0 £ ia limite y zz: oo , nous aurons

I “r *' vrt h Jf=l p », - j

la même réduction s’applique à la fonction /'; et, en opérant sur les équations (k, 3 ) et (k, 4) comme sur les précédentes, on en conclura

k [b h— 1) e 1 {p-f''~ ky fydy) + k[lh^)e- ht \ q f>e h fydy) =r(M-i)/' (p-fje- h fydy)+kXb'h+i)e- hl \ q -f/e'fydy).

\l6 PHYSIQUE

[h-+-'0)e t [p'-fè ‘~ h> fyJy)-*-{lt-P)ë~ hi eh f? d y)— 0i

De ces quatre équations entre p, q, p> q > on déduit pour ces quantités, des valeurs que ion peut écrire sous cette forme :

p=fo e fyty + Th ' î=J o e fy d y-^-^h—'

\h — er hb ' ^ (— h ) , fb - h > f d

e~ hb rb hy r ,

-*--Pwr/ 0 « f>4yt

en faisant, pour abréger,

( U b' h —i'-4 -k){e hb —* Kh )— kbh^e b + e

e 6 e~ U " {h-T-(Z') ih — e~ U ' ™\h- f-/3') 4> (-*) = <p h,

ikbh{h—P)e^ S 'f^[f hy -e y )fy dy-{h-p)r kS ’ e~ kb ‘ * ' k> fy,dy

— (h + (X) e 1 e~ h 1 $ M)// e~ hy f y dy — \li.

Or. ces valeurs étant ainsi connues, nous allons en conclure successivement celles des deux intégrales :

rco —uy/^l r , j ^ (*oo ~ -/~i

«jtj

[70.] Soit g une quantité positive, que l’on pourra prendre aussi petite que Ton voudra; faisons /*=#+£/-1 dans/, et k—g—zY^l dans q ; retranchons ensuite le second résultat du premier: la limite de cette différence, par rapport à g, sera la valeur de notre première intégrale définie; en sorte qu’en regardant g comme une quantité infiniment petite, nous aurons

, -f (g+z^) 4- ( yC= D

9 (^-H^vcrr)

Or, à cause que <p ( £ j/—1 ) — Q ( — £ l/~» )* cette expression s évanouit en même temps que g, excepté pour les valeurs de £ qui rendent nul le dénominateur i) y et pour lesquelles cette même

expression devient au contraire infinie; donc l’intégrale précédente, et,

par suite, l’intégrale cos (y - dy, qui s’en déduit

aisément, seront infinies pour toute valeur de £ tirée de l’équation ^ ( Z V— 1 ) = °* et milles pour toute autre valeur: de cette variable.

Daprès cela, soit 11 une racine réelle et positivé de cette équation, et £ une quantité infiniment petite, positive ou négative; si nous faisons 2 = l’intégrale relative à £, que renferme la valeur de

ru, et qui doit être prise depuis z = ° jusqu'à £ = 00, se changera en une somme relative à toutes les valeurs de «, dont tous les termes devront être intégrés, par rapport à {, dans des limites'infiniment petites; car il est évident qu’on aura, de cette manière, toutes les portions de cette intégrale qui pourront ri’être pas milles d’après la nature de la quantité soumise à l’intégration. Pour la racine particulière 11 — o, on 11e devra attribuer à £ que des valeurs positives, afin que la variable % ne reçoive aussi que de semblables valeurs.

Soit donc, en général , = <p! h ; en observant qu'on aura

P ( h)= — ç> h, et traitant g et z comme des quantités infiniment

petites, l’équation précédente deviendra

f y dy

7) [g-hz'y CT

et en changeant le signe de , on aura en même temps

+Z ,, )f (n »CT7j »

d’où l’on conclut

physique

COS 7» r v dv —

f sin iyf' y A y — — >/ ~ = v') 4 ( — ”

7 7 >= 7 *' („ /zrrf—

Je substitue ces valeurs dans l’expression de ru' ; puis /effectue, comme dans le n.° 18 et ailleurs, l’intégration relative à ; il vient

' V f 4 * [nV^l) —• 4 (— nV^Ti) nr

— s - ru^T) - cos —-

ra'zzl j^-

wr ~1

et la sommé £ devra j^'tendre'à toutes les racines réelles et positives de 1 équation $>:(// y^i ) = o , y compris la racine n = o, pour laquelle on ne devra prendre, cependant, que la moitié du terme correspondant.

[ / 1 •] Quand on fait hzzzti y /.— i , et que l’on remet et - 4 * à la place de b et b’, la fonction i‘h qui entre dans <ph et 4 ,h, devient

* (» V~) — - 2 -^sin - a[( k—k )sit, ~-y -ijtçô j ,~] v ~;

ensuite , à cat.se de~r — ill’équation ^(« |/Z^) = 0> d'où Ion tire toutes les valeurs de n, devient aussi

ni•

(" cos —1-/3' sin ^±- )J[(A-— Â) sin

ni f< l n ni