a Y 7 Tt J

du ê ~ lt ro o

dx ” za^-ntj —c

4 *’, fy dy }

e 4 dfy.

La première équation (2), qui a lieu pour xzzzl, deviendra donc

iz

(fifr

Ainsi cette intégrale définie devra être nulle pour toutes les valeurs de t : or, l’exponentielle quelle renferme , et qui contient le temps t à son exposant, prend la même valeur quand on y met à la place dey, soit l—y, soit /-4-y; de manière que, pour chaque valeur dey, deux élémens de cette intégrale, et seulement deux, renferment la même exponentielle; il faudra donc que leur somme soit séparément nulle, pour que la somme de tous les élémens soit égale à zéro, quelle que soit la variable t; d’où l’on conclut

. . a rn n I

dy

dy

en observant que -~j- devient- ^ d j— » quand on y met /— y à

la place de y .

La seconde équation (2), qui a lieu pour x ——/' = — /, nous conduira de la même manière à cette équation ,

df[-l+y)

laquelle se déduit aussi de la précédente, en y mettant —/et —/3 ' à la place de / et / 3 .

Au moyen de ces deux équations, on déterminera la fonction fy depuis y =.—00 jusqu’à^zz-hoo, lorsqu’elle sera donnée depuisj'zn—/ jusqua y =-+-/; et réciproquement les valeurs de fy qui répondent à y <—/ ou >/, suffiront pour satisfaire à ces deux équations. Mais sans avoir besoin de déterminer ces valeurs, nous allons montrer qu’on peut en rendre l’expression de u indépendante, et la réduire à ne renfermer que la partie de fy qui est immédiatement donnée.

En effet, d’après une formule connue, on a

Vir

00 —a'.tz,*

‘ cos(^— x)z-dz;

la valeur de u deviendra donc

u =- L r-f 7 (fZoo cos ^— x ^-fy d y) e ~ a ' ,il {5)

or, sans résoudre les équations (4) par rapport k fy, on en peut déduire la valeur de 1 intégrale cos [y — x )ç .fy dy , et l’éliminer de

cette expression.

[ 1 7 -] Pour cela, désignons par h une constante positive, ou composée d’une partie imaginaire et d’une partie réelle et positive; et soit

/r e ~ h 'fy d y—p ’ 1 :

d’où l’on conclut facilement, d’après les équations du n.° i j,

f r -* -y) d y — el ' (p —fl e ~ h}> fy d y) *

/r e ~ ij ’fi I —y) ày — — e~ t ' —fl «*' fy d y)-

Mettons la première équation ( 4 ) sous la forme

multiplions ses deux membres par e~ h J’ dy , puis intégrons par parties; nous aurons

e~ l '/(l-hy)-h(/^f 3) fe-‘'f{l-+-y)dy=C-b-e-''f(l—y)

+ {h — P)fe-»f{l—y)dy.

Si les intégrales sont prises depuis y= o, la constante arbitraire C sera égale à zéro; et si elles s’étendent jusqu’à yz=zoo , les termes qui sont hors du signe f s’évanouiront à cette seconde limite : on aura donc alors

(i-W3). \f? /(/■+/) dy=z[h- i S)/~ e-^f(l-y) dy ;

équation qui devient, en vertu des précédentes,

(/'-+•/ 3 ) — 9‘)‘- u q = (/;-+- W fl fy dy

■+• ( h—(2 ) e~ h ‘ fl fy dy.

Par un procédé semblable, on déduira de la seconde équation ( 4 ), une autre relation entre p et q, qui s’obtient aussi en changeant dans celle-ci fi en •— fi' et l en — /; ce qui donne

(A — fi') e~»p -+- [h h- /S') e i! q - (h-, 3') fy dy

^( k ^(ï' )e *'f- l e bfy dy .

Cela pose, on tire de ces deux dernières équations

ih

en faisant, pour abréger,

IH-fl (^') r**fy dy — (h— 13 ) [h—p) e-»'f - l e~ ty fy dy

-\-[h — &){h-y-(i') (y' e hj, fy fy 4 y) = ,

(h -+- /3) (Æ-+-/3') e lhl — (h —/3) (h — /3') e~ lhl zz: (p h.

Or, pour déduire de ces valeurs de p et q , celle de l’intégrale f~e-‘sV=--f,Jy,

je désigne par g une quantité positive que ion prendra aussi petite qu’on voudra ; je fais h rz: g -t- £ V^î dans la valeur de p , et h-=zg—i j/—i dans la valeur de q : on aura

p — .4(?/—» -*-g) __4 (iV —î~— g) .

et, daprès les intégrales définies que représentent p et q, si Ion fait g zi o dans la différence p — q, il est évident quelle se changera dans l’intégrale demandée. Cette intégrale sera donc la limite de la valeur de p — q, par rapport à g; ainsi, en regardant g comme une quantité infiniment petite, que ion fera tout-à-fait nulle à la fin du calcul, on aura

f 2 e-^fy dy =

vilV^-ï-g)

Mais cette quantité s’évanouit en même temps que g, excepté pour les valeurs de i qui rendent nul le dénominateur : cette inté¬

grale, et par suite celles de

cos ly^fydy, si ^ly.fydy, cos {y—x)z.fydy, prises entre les mêmes limites ± qq , sont donc généralement égales

à zéro; et il n’y a d’exception que pour certaines valeurs de £, pour lesquelles ces intégrales deviennent infinies. La nature* de la quantité/^ cos (y —dy étant ainsi connue, il s’agit présentement

d’effectuer l’intégration relative à %, qui se trouve indiquée dans l’expression de u donnée par l’équation (5).

[18.] II sera nécessaire, pour cette opération, de conserver la quantité g dans la valeur de cos(y — x)i.fy dy : nous ferons g= o,

après avoir achevé le calcul ; jusque-là , nous traiterons seulement g comme une quantité infiniment petite. Or, il est évident que les portions de l’intégrale relative à £, qui répondent à des valeurs de cette variable, infiniment peu differentes des racines de l’équation

seront les seules qui pourront ne pas s’évanouir en même temps que g; si donc nous désignons par f l’une de ces racines, et que nous fassions 2 = H ne faudra donner à la variable % que des

valeurs infiniment petites, positives ou négatives, et prendre successivement pour f toutes les racines positives de l’équation cp(fV'— J )=o : on ne prendra pas les racines négatives, parce que, dans l’intégration, la variable £ ne doit recevoir que des valeurs réelles et positives ; et, par la même raison , lorsque l’on prendra la racine /=o, on ne donnera à 1' que des valeurs positives. Faisons donc £ = et

soit alors

fy dy—Z, /2eVÏ--fydyz=Z';

doit il résultera

f 2 cos (y- x )z-fy dy — T Z - 4 - ± Z' e-*V+ z '¥.r‘.

Substituant cette valeur dans l’équation (5), et négligeant la variable Z en dehors de Z et Z' , il vient

mathématique.

— fz Jz' -t- e- xJ,]/ ~' fZ' J Z ') ;

s indiquant une somme qui s’étend à toutes les valeurs positives de . y compris f — o.

Maintenant, soit -^T - = <p ' h ; mettons / -+■ Z à la place de z

dans le second membre de l’équation ( 6 ) : en traitant j’ et g comme des quantités infiniment petites, on aura

/ ■i'izV —. ±:g)= = ^( f yzr l );

et il en résultera

Z zz= 2 8 ^ ^ )

Simone on prend une quantité positive jv, et qu’on intègre depuis 2 -^ jusqua 2'= on aura

et dans le cas de f = o, l’intégrale ne devant être prise que depuis 2=o jusqu’à z'=-H JV sa valeur sera réduite à moitié. Faisons ac tuellement g—o ; cette valeur de fZd z ' deviendra

rzd?' = ^i±kysi .

on en conclura celle de C 7 ' JS „ i r , y

y ^ d Z > en y changeant le signe de i ;

et comme on a <p ( — P V ~7 \ —. r ,/-\

v ° / — P (/ y — i ), on aura

d’où l’on conclut

u = e~ bl S ( - e ' Px)/ o,/—^ x

' fiiTÜ- LJL - L ) i

XlX. e Cahier .

en se rappelant toutefois qu’on ne devra prendre dans ia somme S, que ia moitié du terme qui répond à /= o.

[i^.] Au moyen des expressions connues des exponentielles ima* ginaires, l'équation <p{fY —i) — 0 deviendra

{/ 3 / V— /*) sin 2// -4- (/S-H/ 3 ') / cos 2 l f — o. (7)

On aura de même

<p'{ f Y— T) = [2(/ 3 —t—/ 3 ') -H 4 /(/ 3 / 3 '— /*)] cos 2 l f

— 4/[i -t-/(( 3 -t-/ 3 ')]sin 2 //;

et si ion supprime dans ia valeur de -\,{f/—i) ia partie qui s’évanouit en vertu de l’équation (7), on aura aussi

^ / ( / yQZ 7 ) = [(/ 3 / 3 '—/)cos 2/j»-(/3-H3')/sin il f )e'^^fy dy

— / -H /3 — £') / ]1 fjj fy dy.

En changeant, dans cette dernière valeur, ie signe de Ÿ~, on aura celle de 4- (au moyen de ces deux valeurs, et en élimi¬

nant toujours les exponentielles imaginaires, on trouvera

i /«V=! 4 (-/V'^ï) = P cos fX-i-Q sin j>x;

en faisant, pour abréger ,

[(/ 3 / 3 '—/)cos 2 / / -(/ 3 -W 3 ') psin 2 // / 3 / 3 ' /']cos fy. fy dy

-+• (/3 — / 3 ') sin yy.fy dy~P,

[■ ^^ 3 js*) cos 2 // —')/ sin 2 /p-H / 3 / 3 -+■/*] sin ^

-+- (/3 — ( 3 ') cosyy -fy dy — Q.

Donc, en faisant aussi

[0-4- fi'-\- 2 /(/3/3 '■— /)] cos il y —[ i +• 2/ {$■+■&)] / sin 2 // = i?,

nous aurons definitivement

U = e~ bt X j g-*;J». (8}

et cette expression de n ne renferme plus que des quantités qui sont censées données , ou calculables , dans chaque cas particulier ; car les intégrales définies qui entrent dans les valeurs de P et Q, sont les seuls elémens de cette formule qui dépendent de la fonction y*, que nous nous étions propose d éliminer; or, elles sont prises depuis y :——/ jusqua y = -\-l, c’est-à-dire, dans toute l’étendue où fy est donnée d’après l’état initial de la barre.

On peut remarquer que le terme de fa somme X qui répond à f — o , et dont on ne doit prendre que fa moitié, sera généralement égal à zéro : il n’y aura d’exception que dans Je cas particulier où l’on a à-la-fois / 3 ~o et / 3 7 ~ o ; ce qui rend nul le dénominateur de fa fraction comprise sous le signe X, en même temps que son numérateur. Nous examinerons plus bas ce cas particulier, qui est celui d’une barre dont les deux extrémités ne rayonnent aucunement.

[20.] Cette dernière formule renferme donc la solution complète du problème qu’il s’agissait de résoudre. L’analyse dont nous avons fait " usage , nous a conduits à cette solution de la manière la plus directe ; et vu la grande généralité que nous avons donnée à la question, notre analyse est aussi la plus simple que l’on pouvait employer.

On s’assure aisément qu’il existe une infinité de valeurs positives de /» satisfont à 1 équation (7); ainsi la série indiquée par X, est composée d une infinité de termes ; mais en les supposant ordonnés suivant les valeurs croissantes de f , de manière que fe premier terme soit celui qui répond à fa plus petite racine positive de l’équation (7) , et ainsi de suite, la série sera toujours convergente, à cause de Texponen'tièlle e et elle fe sera d’autant plus que fe temps t sera pfus

considérable. Au bout d’un certain temps, tous les termes de la série seront très-petits par rapport au premier-, elfe se réduira sensiblement

à ce premier terme; et alors, le temps continuant de croître par des différences égales, les températures de tous les points de la barre décroîtront suivant une même progression géométrique, dont le rapport ne dépendra que de la longueur de la barre, et des constantes a, b, fi , fi' t relatives à sa matière et au rayonnement de sa surface et de ses extrémités.

Lorsque les quantités /, fi et fi' seront données numériquement, on pourra calculer, à tel degré d’approximation qu’on voudra , les racines de l’équation (7), en commençant parles plus petites. Quant aux très - grandes racines de cette équation transcendante , on obtiendra immédiatement leurs valeurs approchées , en posant 2// = / tt H- * ; i étant un très-grand nombre entier, et a* une quantité inconnue, plus petite que vr. Si l’on substitue cette valeur dans l’équation (7), on pourra négliger x par rapport à itt, hors des signes siti. et cos, ; de cette manière, on aura

(i 1 vr* — > 4 l x fi fi') sin x = 2 ivrl(fifi r ) cos i 7T. cos x ;

e't si 41* fi fi' n’est pas aussi une très-grande quantité comparable à f 7r 2 , on tirera de cette équation une très-petite valeur pour x, laquelle sera à très-peu près

2 l TT l (fi û') COS i TT

II importe d’observer que nous n’avons pas besoin d’examiner si l’équation (7) admet des racines imaginaires ; car, d’après notre analyse, nous ne devons prendre pour f que des valeurs réelles et positives qui satisfassent à cette équation.

[21.] On vérifie sans difficulté que chacun des termes de la série qui représente la valeur de u, satisfait isolément à l’équation (1). Il en est de même à l’égard des équations (2), relatives aux extrémités de la barre ; et pour le faire voir, nous allons montrer que l’on satisfait à ces équations en prenant

u — P cos fx -h Q sin / x.

Pour cela, substituons dans cette expression, les valeurs de P et Q, et écrivons le résultat sous la forme :

" = p ' fh cos fy -J > d y -+• Q-'fli sin fy-fydy,

en faisant, pour abréger,

[ (—f ) cos — (/ 3 -H/ 3 ') ÿ sin 2/ f — / 3 / 3 '— j> % ] cos fx “+" (Æ — £') / sin f x = P',

[(/ 3/3 f ) cos 2lf — (/ 3 -}-^')y>sin 2js 1 ] sin -f- (/3 — / 3 ') cos / x = Q'.

Relativement à la première équation (2), il s’agira de vérifier qu’on a

dx -*-PQ'= O,

dx

-t-/3/ >, = o et dQ '

quand on fait x = / après les différentiations. Or, en remettant les exponentielles imaginaires à la place des sinus et cosinus, et h à la place de f Y —1 , l’équation (7) devient

(//-H/3) (/&-*-/ V)e''* = (//—/3) (// — ^') et l’on aura de même

P'=i [(*+-£) ( h +P) e llh + (A—i3) (*—/3') «h- 2 (//—/3)(/;-f-/3')]

Au moyen de 1 équation précédente , j’élimine l’exponentielle e xlh contenue entre les premiers crochets, et l’exponentielle con¬

tenue entre les seconds, ce qui change cette expression de P f en celle-ci :

"+* t [ (^-4-^) (^—f—/3') f * ' 4 -f- (A-\-0) (Æ—/3') ] e - *' ; par conséquent, pour xz=.l, on aura

— t [ [A-hP] e lh - 4 - [h—p) e-U) {/i*—p) ; quantité identiquement nulle. On reconnaîtra de même que l’autre quantité ~~—h fi Q' est aussi nulle pour x — l, et, par un calcul

semblable, on fera la vérification relative à la seconde équation (2), qui a lieu pour xzzz —/.

[22]. La valeur de u, ainsi vérifiée, doit représenter les températures de tous les points de la barre à tel instant quon voudra; il faut donc aussi quelle représente la loi des températures initiales, en sorte qu’on doit retrouver uzzzfx, quand on fait tzzzo dans l’équation (8); par conséquent nous aurons

en. conservant k P, Q et R, la même signification que dans le n.° 19.

Cette formule représentera les valeurs defx, seulement depuis tfxz —l jusqu’à x zm —t- 1 : hors de ces limites , il n’y a plus aucun rapport nécessaire entre le second membre de l‘équation (9) et les valeurs de f x. Cette fonction est arbitraire; elle peut être continue ou discontinue; elle est simplement assujettie à ces restrictions : elle doit satisfaire à

l’équation / 3 fx=o t quand *=/, et à iequation —/ 3 '/*=o,

quand = — /; sans quoi l’équation (9) n’aurait pas lieu à ces limites mêmes x = ±l. L’objet d’une telle formule est d’exprimer une portion quelconque de fonction arbitraire, dont les valeurs extrêmes remplissent ces conditions, en une série infinie de termes qui satisfont isolément à ces mêmes conditions. Comme l’équation (9) est une suite nécessaire de notre analyse, il ne peut rester aucun doute sur son exactitude; mais il serait difficile de l’obtenir à priori, ou de la vérifier dans toute sa généralité.

En partant de l’intégrale sous forme finie de l’équation (1), notre

analyse nous a conduits de la manière la plus directe à une expression de u, en séries d’exponentielles, de sinus et de cosinus, dont chaque terme satisfait isolément à toutes les équations différentielles du problème, et qui représente en outre la loi des températures initiales, quelle que soit la fonction qui l’exprime. On pourrait suivre aussi une marche inverse de la nôtre: satisfaire à l’équation (1) par une série d’exponentielles réelles ou imaginaires, qui en pourrait être regardée comme l’intégrale générale (*); déterminer leurs exposans et une partie de leurs coefficiens au moyen des équations (2) relatives aux extrémités de la barre; et, enfin, déterminer les autres coefficiens, de manière à représenter son état initial. Dans des cas particuliers, cette dernière partie du problème pourrait se résoudre sans grande difficulté : la méthode que nous indiquons paraîtra alors plus simple que celle que nous avons suivie ; mais, dans le cas général où /3 et sont des quantités quelconques, la formation directe de l’équation (9) serait, comme nous le disons, au moins très-difficile; en sorte que notre analyse renferme la solution réellement la plus simple du problème que nous nous sommes proposé, et qui n’avait point encore été résolu d’une manière complète et générale. Nous allons , dans les n.° 5 suivans, examiner spécialement les principaux cas particuliers que cette question présente relativement aux valeurs des quantités /3 et / 3 '.

[23.] Soit d’abord fizzzo et @'zzzo t cas dans lequel le rayonnement sera nul aux deux bouts de la barre. L’équation (7) se réduira à sin 2 l f — o ; d’où l’on tire f — > n étant un nombre

entier quelconque, ou zéro. II en résultera

— — -Ad