I — COS 77 X

cos 77 x

77XX rl . 77 T y / / 1

-ft dy Y

La somme X ne s’étendra qu’aux valeurs positives du nombre n, et l’on ne prendra que la moitié du terme qui répond k rr=.o. Ce terme

t fy dy : je le sépare du reste de la série ; je désigne

par i un nombre entier positif; puis je fais successivement n = 2 /, n = ii — 1 ; la valeur de u prend alors cette forme plus simple :

u = ~Ti~.J~fy d? — ~i — ^ ( £ ‘‘ C0S ~T" f cos-^T 1 -fy d y)

/ —<2*7(zz—l)* # t x

■+• -^7—S (« 4 '“ sin ysin -^>^7) 5

les sommes X s’étendant depuis /= i jusqua / = oo , et les intégrales étant prises depuis y — — l jusqua yzzz-l-/.

Dans ce cas particulier, si l’on suppose b=o, il n’y aura plus de rayonnement extérieur en aucun point de la barre ; la totalité de la chaleur qui lui a été communiquée, devra donc s’y conserver; et tous ses points devront tendre de plus en plus à prendre des températures égales entre elles et à la moyenne des températures initiales. C’est, en effet, ce qui résulte de la formule précédente, en y faisant bzzzo ; car, à raison des exponentielles contenues sous les signes X, tous les termes de ces sommes diminuent indéfiniment à mesure que le temps augmente : au bout d’un certain temps, leurs valeurs sont insensibles, et l’on a, à très-peu près,

“ = - 7 rffy d y ;

ce qui n’est autre chose que la moyenne des températures initiales.

[24*] Dans ce même cas, les conditions relatives aux extrémités de la barre consistent en ce que la valeur de y so ^ égale à zéro , la fonction f x, qui représente la loi des températures initiales , devra donc être telle, qu’on ait - — o , quand x “ / et quand x — /.

Cela étant, si ion fait / — o et uzzifx, on aura

/* = S ( fl ° s - i 7 f '/'c° s X L ^y J y)

formule qui servira à représenter, depuis x = —l jusqu’à x = l, toute fonction de a: dont ia différentielle est nulle à ces deux limites. Elle coïncide avec l’une des formules de cette espèce, auxquelles je suis parvenu directement dans un autre Mémoire. Par la différenciation , on en déduit une seconde formule du même genre.

En effet, soit zzz f' x ; on aura

rr 1 r- I ■ ÎTX /~

f x =-j- s^sin —J—J cos —j—fy I )

H-fs(cos-i — Tl - J un - Tl Jy 2l j.

intégrant par parties, et ayant égard aux limites yz=.±l , il vient J~ cos HL. fy llpL — — J~ sin — ~~f y dy ,

(2 i-0 iLfydy;

( 2 j - i ) nr y

d’où l’on conclut

s(sin-i^/sin y dy)