XIX.’ Cahier

(ai — I ) t a 2 l

(ai — i)Ty

Celle-ci servira à représenter depuis x~ — l jusqua xrzzl , toute fonction /' * qui deviendra nulle à ces deux limites. Elle coïncide aussi avec une des formules du Mémoire cité (*).

[25.] Supposons maintenant / 3 'r=oo; ce qui réduit la seconde équation (2) à u z=z o. Ce cas sera celui où la température de l’extrémité de la barre, qui répond à xzz:— l, est entretenue constamment à la température zéro du milieu environnant : la constante /3 restant une quantité quelconque, le rayonnement continue d’avoir lieu à l’autre extrémité E, correspondante à xz^zl.

Je divise tous les termes de l’équation (7) par / 3 ', et je fais ensuite fi' — oo; elle devient

/ 3 . sin 2 l f -f- f cos 2 l f = o. (10)

On a, dans la même hypothèse,

p ( fi cos 2 Iq — q sin 2 / q-^-fi ) cos qy .fy dy — q sin qy. fy dy

R ( 1 -\- 2 lfi) çosa/ç—2/çsill2/£

<2 [ficosilq— çsin 2 / e —1-£) yl^sin qy.fydy—p cos qy .fy dy

R ( 1 —J— - 2 - // 3 >) cos 2 Iq —‘2/çsin2/£

et il ne restera plus qu’à substituer ces valeurs dans l’équation (8), pour avoir l’expression de u qui convient au cas particulier que nous considérons. Cette expression prendra une forme plus simple , si l’on rapporte les distances x des difîerens points de la barre à l’une ou à l’autre de ses extrémités, au lieu d’en fixer l’origine à son milieu.

Pour transporter cette origine au point E', il faudra prendre —/-+-x à la place de x ; ce qui changera l’équation (8) en celle-ci :

/,/ ^ T (/ 5 cos/j)-(2sin/p)cosj 3 x-+-(/ > sin/p-H(7cos/f))sinj 3 x 1 n ,

uzzie ^ I-^---— I e a .

Mettant de même — l-\-y à la place de y, et j'y au lieu de /(-/H-/)»

(*) Voye-^ les deu* équations (9) ; XVIII. e Cahier de ce Journal, page 428.

dans les valeurs précédentes de ~ et , on obtiendra , en a) ant

égard à l’équation (iô),

P côs / ji — (2 sin lj>

P sin / j> -+- Q cos lj> ~ —

— 2 {dcos 2 lj i — j> sin i/j>) r zl sin yy ;

( I -H i/y3) COS2JJ — zlj) sin 2lj> Jo

ou bien encore, en vertu de cette même équation,

p s in 1}-+- Q cos lj> 2 (£* -4-/») r * 1 cî» fiV f v d V .

-“K-(,+a/0)ô + aWo 7

par conséquent nous aurons

/ ■' ,>■/> ■<?]■ co

De même, on transportera l’origine des distances * au point E, en prenant / — x à la place de x : l’équatiorf (B) deviendra

/.,r ( Pcos lp H- C? sin / p) cos px -h ( P sirt lf—Qcosl j>) sin jf* ”|

Je mets aussi /—y à la place de y, et fy au lieu de f(l — y), dans les valeurs de et ; en ayant égârd à l’équation (to), je trouve, toute réduction faite ,

P cos/j> -+- (2 sin /j> Psin/jj— Q coWj^

*çf Q l co& çy -fy d y ùnçy-fydy

d’où je conclus

,^r S r,Z. cos >*-*-^» n ^ [ p r zl cos py.fydy U—ie * L (n.2/^))î +a (p. Ujo ^ 7 / v

-+-/3/ o 2 sin// ./y<//)]

Sous l’une ou l’autre de ces deux formes, on vérifie immédiatement

que la valeur de u satisfait aux conditions relatives aux extrémités de la barre : i’équation (i i) donne u=o pour *—o, et ~ fiu= o pour * = 2/; i’équation (12) donne de même uz=o , quand x=zl, et ~ x P d = o , quand .v = o.

[26.] Lorsque la longueur de la barre sera très-grande, on obtiendra facilement les valeurs approchées des racines de l’équation (io), en la résolvant en série ordonnée suivant les puissances descendantes de l De cette manière, on trouve, i étant un nombre entier quelconque,

i -r i -TT

série d autant plus convergente, que / sera plus grande. On prendra / positif, afin que les valeurs de f soient aussi positives. De plus, soit

i ■* it .

on fera, dans les formules précédentes ,

les valeurs de z croîtront par des différences constantes et égales à h , et les sommes S s étendront depuis o jusqu’à Z =oo. Maintenant, si Ion suppose I— oo ; la différence h sera infiniment petite, et ion aura f £. Cette quantité Z deviendra une variable continue, dont h seia la différentielle, et les sommes 2 se changeront en des intégrales relatives à Faisons donc, dans la formule (12), /zzroo j)zzz z et

— di; nous aurons

2e~ bt r “ = —/

Z cos Z x -+■ £ sin 7 x

[if «os zy.fy dy

/ 3 ysin zy.fy dy J ^ ,

fes intégrales étant prises depuis z = o, y = o, jusqu’à Z =oo,

Cette formule se rapporte au cas d’une barre qui rayonne par l’extrémité E, et qui s’étend à l’infini, dans un seul sens, à partir de ce point. Si ion y fait =: oo, on aura ie cas où cette extrémité serait entretenue constamment à la température zéro ; la valeur de u se réduira alors à

u = 2 ^ -- sin ix sin iy .fy didy :

elle coïncide, comme cela doit être, avec celle qu’on déduirait de l’équation (il), en y supposant / = oo, quelle que soit d’ailleurs la valeur de / 3 .

[27.] Considérons enfin ie cas d’une barre dont les deux extrémités sont entretenues constamment à la température zéro , c’est-à-dire , le cas dans lequel on a à-Ia-fois /3 =00 et fi'=zoo. Il suffira de faire /3 =00 dans les formules du n.° 25 ; l’équation (10) se réduit alors à

sin 2 fl — o; d’où l’on tire f ti étant un nombre entier ou

zéro. En même temps les valeurs de et deviennent

P __ 1 / cos n t — 1 \ /-/ n tt y r /

jr= tt (— cos,,, )/-, cos -r -rfy d y’

, / COSn^ M r< si „ JL2Z. fy d y.

substituant ces valeurs dans l’équation ( 8 ), on aura

“ = -ir s