COS

n it x rl

TT J-i 1

n tc y

fy d y

iT + i . n Tt x rl . me y r I

___ sm «n -jf-fyJy] *

— tl 1 tti a T a

et la sommeS s’étendra depuis tizzz 1 jusqu’à // —00, en omettant le terme qui répond à «=o, lequel serait évidemment nul. Si l’on désigne par / un nombre entier positif, et qu’on fasse successivement u =, 2 i — 1, n = 2 /, cette valeur de u deviendra plus simple , et prendra la forme :

-&=*I!Le *'* f C0 ,Sà!ÿlL /y ^

—a 2 t 7 ri*

-H £ ( s i n 1 ZJL e t‘ f s\n-

les intégrales étant' prises depuis y— — l jusqu’à y =-t-I, elles sommes S s étendant toujours depuis / zzz i jusqu’à / zzz ôo.

En faisant t~o, u=fx, dans cette équation, on aura

/* = *.( cos l±L=f!ZLJ~ cos f y <Lj

+ x(,i„ill./, in J ? L /> 4) i ' <,3 >

formufe qui servira à exprimer fx depuis x=—l jusqu’à *•=■■+■/, pourvu que cette fonction soit nulle à ces deux limites : elle coïncide! comme on voit, avec celle que nous avons trouvée pour le même objet dans le n.° 2.4.

[28.] Dans le mémoire cité dans ce n.°, j’ai considéré directement les formules de cette espèce qui ont pour objet d'exprimer, des portions de fonctions, en séries de quantités périodiques, dont tous les termes satisfont à des conditions données, relatives aux limites de ces fonctions. Lagrange, dans les anciens Mémoires de Turin , et M. Fourier, dans ses Recherches sur la théorie de la chaleur , avaient déjà fait usage de semblables expressions; mais il m’a semblé qu’elles n’avaient point encore été démontrées d’une manière précise et rigoureuse; et c’est à quoi j’ai tâché de suppléer dans ce Mémoire, par rapport à celles de ces formules qui se présentent le plus souvent dans les applications. Jiai. aussi examiné ce quelles deviennent quand elles doivent représenter la totalité de la fonction : les conditions relatives aux limites disparaissent alors; et ces formules, qui différaient entre elles par ces conditions, s’accordent toutes à conduire au même résultat. Ainsi, par exemple, supposons que 1 devienne infinie dans : la formule précé-

dente ; en sorte que la fonction f x doive être représentée pour toutes les valeurs réelles de x, depuis x zzz— oo jusqua x izz-t-oo. Faisons, dans ce cas, —J—=z et : les sommes S se changeront en des

intégrales relatives à et; la quantité infiniment petitesera la différentielle de et, ou d cl ; et la formule deviendra

f* = irff cos (* ~y) a-.fydyda.',

les intégrales étant prises depuis et zz: — oo jusqu’à et zzi -t- oo, et depuis yz=:o jusqu’à y zz: oo. On parviendrait au même résultat en partant de l’expression de f x du n.° 24 . ou de toute autre formule particulière, et, si l’on veut même, de la formule générale du n.° 22.

La fonction f x est entièrement arbitraire : il faut seulement qu’en général elle ne devienne infinie pour aucune valeur réelle de x. Elle peut être continue ou discontinue : si elle est discontinue, et qu’elle n’ait de valeur que depuis xzzà jusqu’à rzi^, en sorte qu’elle soit toujours nulle hors de ces limites, il suffira de prendre 1 intégrale relative à y, depuis yzzA jusqu’à yz=.\ r : la formule donnera dans ce cas f x zz: o , toutes les fois qu’on y mettra pour x une quantité <A ou >à'; quand on y substituera une valeur de a*, comprise entre ces deux limites, elle donnera la valeur correspondante de f x; mais il est important de remarquer que, relativement aux limites mêmes xzzA et x — A 7 , la formule ne donnera que la moitié de la valeur de / x, ainsi que je lai fait voir dans le Mémoire cité. La même remarque s’applique à 1 équation (13), et à toutes les autres formules de la même nature.

[2p.] Pour parvenir à la solution générale du problème relatif à une barre dont les deux extrémités rayonnent d’une manière quelconque, nous avons vu qu’on pouvait se dispenser de résoudre, par rapport à fy, les équations (4) du n.° 16; mais dans des cas particuliers , ces deux équations se résolvent facilement, et il en résulte

con-

un autre mode de solution du problème , qu’il est bon de faire naître par un exemple. Nous choisirons pour cela le dernier cas que nous venons de traiter, où l’on a /3=oo et /3'=oo.

Les équations ( 4 ) se réduisent alors à

f(l-hy)-hf(l—y) = o, /(—/■+•>)-*-/(—/ -y) = o -, (14)

fy est donnée d’après i’état initial de la barre, depuis y ——/ jusqu’à y zzz-\~ l, et il s’agit d’en déduire l’expression complète de cette fonction , pour toutes les valeurs réelles de y.

Pour y parvenir, nous partagerons la fonction j~y en une infinité de portions qui répondent à différens intervalles des valeurs de y, depuis y = — oo jusqu’à ^ = -+-00 ; ainsi nous ferons

fy — Cf)y-h <p, ( 2 /-y)-h Ç z (—4f-hy) -i-Ç 3 (6/—y )~h Cp 4 (— 8/-hy) -h &c.

-H <p'(—2/—y) -f- <p"(4/ -t-y) -+-cj> /,/ (— 61 —y)-\- <p' v (8l-\-y) -f- &c.,

eù désignant par <p, <? , , cp a , <p 3 &c., <p' f <p", c p"', &c., des fonctions dont chacune est égale à zéro pour toute valeur de la variable >±I, abstraction faite du signe : par exemple, <p 3 ( 61 — y) est nulle pour toute valeur de 61 — y qui tombe hors des limites ±/, c’est-à-dire, pour toute valeur de y > 7 / ou <5 l; et de même à l’égard de toutes les autres fonctions partielles. Cette décomposition de la fonction f y revient a regarder y et f y comme l’abscisse et l’ordonnée des points

dune courbe discontinue, qui s’étend indéfiniment depuis y nz 00

jusqu’à y 00 ; et à supposer que l’ordonnée de cette courbe est

exprimée par C py depuis^— — / jusqu a y = H- /, par <P f (i l — y) depuis y—l jusqu’à y==3?, &c.,etpar <p'(-. 2 l—y) depuis y—— l j usq ua; = — 3 /, par <p"( 4 l -\-y) depuis y —— 3 / jusqu’à y — — 5 /, &c. ; de sorte que la ligne entière se trouvera composée d’une infinité de parties, dont chacune comprend, sur l’axe des abscisses, un intervalle constant et égal à 2 /. La première fonction partielle cp est censee connue d’après la loi des températures initiales; toutes les autres

sont arbitraires, et doivent se déterminer au moyen des équations

Or, en mettant successivement l-{-y e t / — y, à la place dey dans 1 expression de fy, on aura :

/ ( /— /)— C K / —/) -t-cf. (/+>')-+-<}>, (—3 /—j ( j /+y)H-<p 4 (—7/—y)-t-&c.

P ar conséquent la première équation ( 1 4 ) deviendra o = <J> (/-t-y) -+- <f, (/-Hy)

-t- «P' (— 3/— /) -+- «!>, {—il—y)

Mais, dapres les limites des fonctions partielles qui entrent dans le second membre de cette équation, il n ’y a, pour chaque valeur dey, que deux de ces fonctions qui ne soient pas nuiles, savoir, les deux fonctions écrites sur la même ligne; pour satisfaire à cette équation, il faut donc que ces fonctions soient telles, que l’on ait

De même on verra que, pour satisfaire à la seconde équation ( 14 ) i[ XIX.‘ Cahier. r

est nécessaire et il suffit de prendre

Q' = — <$"=— <?,, — <p lf q> ,y = — cp 3t Scc.

Ces deux séries d’équations déterminent évidemment toutes les fonctions <p,, <p a , <p 3 , <p 4 , &c., <p', <p", <p"', q>", &c., au moyen de la fonction <p ; éliminant donc toutes ces quantités de l’expression de fy, nous aurons

fy zz: <py — <p (21—(— 4 ^~^~y) — ^ ^ & c *

— cp(—2 /——(4 l~^~ÿ) (—6/—^y)-f~cp (8/-+-y)—— 6cc. ;

et maintenant cette fonction fy se trouve entièrement déterminée. D’après sa valeur, la courbe discontinue dont elle est l’ordonnée, se formera en portant alternativement au-dessus et au-dessous de 1 axe des abscisses y, la portion de courbe qui répond à la fonction cp y, suivant la même règle que dans le problème des cordes vibrantes .

[ 3°.] Reprenons maintenant la valeur de u donnée par l’équation (5) du n.° 16 ; et pour y substituer plus commodément la valeur de fy, écrivons celle-ci de cette maniéré :

fy = s[<p( 4 »/+jk) — 2/—/)];

11 étant un nombre entier ou zéro, et la somme X setendant a toutes les valeurs de n, depuis n zzz — 00 jusqu’à «zz-l-oo. Cette substitution faite , on aura

uz=~f'zf C ° t ~ a '' C [f^ c °s[y — x)l.<p[ 4 nl+y)<ly

—cos (j—x) 1 . <[>(4«/h- 2/— -y) dy]^l.

Dans la première intégrale relative ky, faisons 4 ni-h y — x , et dans la seconde, 4 11 1 2 l —y — x ; nous aurons

J^cos(y—x)Z'<$(4”l^Y)dy=J^cos[x' —*— 4 tI ^)Z- < f x ^ x »

cos 0'-*) Z • iy =f™ COS (x'-f-A— 4«/-2 /) Z .

Mais, comme q> x' est nulle pour toute valeur de x' non comprise entre — / et -f-/, il suffira d’intégrer depuis x'zz:—/ jusqu a x' = ~\-l; et en continuant d’intégrer depuis z= o jusqua z~oo f la valeur de u deviendra

u = [ cos (^ / —— 4 ^/)^—cos(x'-i-A-—4///— ê~ a ' l Qxdxdi.

On peut aussi, pour simplifier la somme X, réunir ses termes deux à deux; et ne faire qu un seul terme de ceux qui répondent en général à a — n — i* Si l’on observe alors que l’on a identiquement

C0S(X-—X— 4 «/) ^COsfAT'——2COs(xW-f-2/)2 . COs( 4 «-^ 2)/2 ,

COS (x -KX ^nl—ll )l^rCOs[x *COs(x"*"*)& * COs( 4 »-V- 2 ) ,

il en résultera

u— - //[cosCx'—x+2/)2 — cos(x'-f -x)z]Ze~ a <px'dx‘dz>

en faisant, pour abréger;

S cos (4 ;/ - 4 - 2 ) lz — Z ,

et n étendant plus la somme X qu’aux valeurs positives de //, depuis et compris //= o jusqu’à n — oo. La valeur de u étant ainsi préparée, il ne reste plus qu à trouver la valeur de cette quantité Z, et à effectuer, s’il est possible, 1 intégration relative à £.

[31.] La série périodique que Z représente, doit être regardée comme la limite de la série convergente X (1 — g)* cos (4»-+-2)/ç, dans laquelle g est une quantité positive, aussi petite qu’on voudra; en sorte qu'en faisant g infiniment petite dans la valeur de cette dernière série, on aura celle de la quantité Z. Or, d’après les règles connues, on a

S(i —sY cos( 4 «- 4 -i)/z

g cos 2 II

I__ i(i g) cos4/^-+-(i — gY

et l’on voit que cette fraction devient infiniment petite en même temps que g, excepté lorsque 4 ^Z diffère infiniment peu d’un multiple de ia circonférence, cas dans lequel son dénominateur devient un infiniment petit du second ordre, et la valeur de la fraction, infinie. La quantité Z est donc toujours nulle ou infinie; d’où l’on conclut que si l’on fait

4 l Z = in k z ,

il faudra, dans l’intégration relative à z> prendre successivement pour n tous les nombres entiers et positifs, ou zéro, et n’attribuer à la variable Z que des valeurs infiniment petites, positives ou^négatives : on aura, de cette manière, tous les intervalles des valeurs de z P our lesquels l’intégrale relative à cette variable peut n’être pas égale à zéro.

Les quantités g et z étant infiniment petites, on aura

g cos 2 I z - g cos ri TT , i—2(1— g) cos 4 / 1 gY = g~l~Z' >

1 a valeur qu’on devra prendre pour Z, sera donc

2 g cos n> *

et à.cause de dz = ^ en résultera

, / N n'71 -I gt

— cos (* ^-rrjy

^cos n 7r

ç>x' dx f dz ;

la somme Z s’étendant depuis n' zzri jusqu’à n' — o o : on omet le terme correspondant à ;/ = o, lequel est évidemment nul. L’intégration relative à z s’achèvera comme dans le n.° 18 : prenant une quantité positive et intégrant depuis z— — jusqu’à z' — on aura

quantité égale à tt , dans le cas de g infiniment petite ou nulle. On aura donc simplement

« = ^-xf(cos(x'-x)^-

— a 1 tn 1 ’7T 2

— cos vl 7T. cos (a^h- A 1 ) & 4 (px’dx;

ou bien, en mettant^ et fy à la place de et désignant par i un nombre entier positif, et faisant successivement «“ai — i, W — T / nous aurons enfin

« = [ s fi /sin l -f-fy J y)

-a*t(ii —i)* T*

„„„ l 2 '—O™ r (2/—i)xv , \ -Ï

C °S - T7 -y COS y J y) J ;

résultat qui coïncide avec la formule du n.° 27 : les intégrales sont prises depuis y = — l jusqu’à y — -\-l, et les sommes S s’étendent depuis /= 1 jusqu’à i zzzz 00.

[32.] Le cas où les deux extrémités de la barre sont entretenues à des températures constantes et données, mais différentes de celle du milieu environnant, se ramène sans peine au cas que nous venons de traiter. En effet, désignons par 6 la température constante du point E, et par fl' celle du point E'; soit u une fonction de * et t, et U une fonction de * seule; faisons u— U-hu; et après avoir substitué cette valeur dans l’équation (1), partageons-ia en ces deux-ci :

d u' ~~dt

— bu.

De cette maniéré, 1 équation en u aura conservé la même forme que 1 équation en u; de plus, la valeur de U renfermera deux constantes arbitraires, que Ion pourra déterminer par la condition qu’on ait TJ — fl quand x = l, et U =.V quand x~ — l; alors u devra être nulle aux deux extrémités de la barre ; par conséquent sa valeur sera exprimée

j 4 PHYSIQUE

par le second membre de i équation (15), en y mettant fx—U à la place de fx, et représentant toujours par fx la loi des températures initiales de tous les points. Dans ce cas , fx continuera d’être une fonction arbitraire, pourvu seulement quelle soit égale à 0 pour x—l , et à 0' pour xz=. — I.

En intégrant la première des deux équations précédentes, et déterminant les constantes arbitraires comme il vient d’être dit, on trouve

il y/l

-zly/b

d’où l’on conclut

\ir x d x i * a » ços i it ,a / a\

J! U sin ~i -— — h- iF —

2(2i-i)ffû î sin -

- w r t (ai — 1 *** __ ____ / A' A ^ *

U C0S 2. 1 1 ( 2 i — 1 ) a TT 3 a 2 -4- 4 b l x '

et si l'on forme d’après cela la valeur complète de a, on aura

,A A/\ ytf ^ 2 ( 2 /—I 7ra> sin —-7- -

• 9 -f- 6') e- 1 ' S __lL- e

a 2 tTT x (*i~ !>*

en représentant, pour abréger, par U' le second membre de Iéquation (15)*

Tous les termes de U', et tous ceux des deux sommes X contenues dans cette valeur de u, diminuent continuellement à mesure que le temps augmente; en sorte qu’ils sont tous insensibles et peuvent être négligés, dès que a 1 t vr* est devenu assez grand, par rapport à 4 ^‘î par conséquent, le terme U, indépendant de t f exprime la température

fixe dont celle de chaque point de la barre approche de plus en plus, et dont elle ne différé plus sensiblement au bout d’un certain temps. Les expériences faites sur cet état invariable de la barre , en meme temps quelles serviront de confirmation à la théorie (*), seront aussi très-

propres à déterminer la quantité ~ relativement à la barre dont on

fait usage ; et comme on a ~ — ~~ ( n .° 4 ) , et quon est censé

connaître e et u >, il en résultera une relation entre les deux quantités

y et k , dou l’on déduira la valeur de l’une d’elles, lorsque l’autre sera déjà connue. O11 peut remarquer que cette distribution finale de la chaleur est indépendante de la chaleur spécifique de la matière dont la barre est formée ; car cette quantité, que nous avons représentée par c, disparaît du rapport-^-, et n’entre pas dans l’expression de U.

[33.] Lorsque l’on connaîtra les valeurs de y et k pour deux ou plusieurs barres de même épaisseur et de différentes matières, si on les juxtapose à la suite les unes des autres, le plus exactement qu’il sera

possible, et que Ion entretienne les deux extrémités de la barre totale

à des températures constantes, tous ses points atteindront , après un temps convenable, des températures invariables, que l’on pourra calculer d’avance; et en comparant les résultats du calcul à ceux de l’observation, il s’ensuivra de nouvelles confirmations de la théorie, qui seront sur-tout utiles en ce qui concerne le passage de la chaleur d’une partie a une autre de la barre. Pour cet objet, nous allons déterminer la loi des températures finales , dans une barre formée seulement de deux parties de matières differentes : on verra assez ce qu’il y aurait à faire dans le cas de trois ou dun plus grand nombre de ces parties*

Appelons toujours,j£ £ les deux extrémités de l’axe de la barre;

(*) Traité de Physique de M. BlOT, tome IV, pag. 668 et suivantes.

plaçons fe point O, origine des distances * de ses élémens, au point de jonction de ses deux parties \ supposons que les valeurs positives de x répondent à la partie OE, et les valeurs négatives à la partie OE ; désignons les longueurs de ces deux parties par / et /', en sorte qu’on ait au point £, x = l, et au point E', x =—I'; et soient enfin 6 et ô , les températures constantes et données qui ont lieu en ces deux points.

Lorsque tous les points de la barre seront parvenus sensiblement à des températures invariables, on pourra supposer la différentielle de la température, prise par rapport au temps, égale par-tout à zéro. Si donc on désigné, à cette époque, par U la température qui répond à une valeur positive de x , et si 1 on suppose que les quantités ci et b du n.° 4 se rapportent a la portion OE de la barre, on aura, en vertu de l’équation (i),

J 1 u b rj

—r\ - — —— U zzz o ;

d'où l’on tire, en intégrant,

A et B étant les deux constantes arbitraires. En déterminant l’une d’elles de manière qu’on ait U = 0 , quand x — l, la valeur de U prendra la forme

C étant toujours une constante arbitraire. De même, en désignant par U' la température finale qui répond à une valeur négative de x, par a et b' ce que deviennent a et b relativement à la portion OE' de la barre, et par C' une autre constante arbitraire, nous aurons

Pour achever fa solution du problème, if ne reste plus qu’à déterminer ces deux constantes C et C'. Or, d’après ce qu’on a démontré dans le n.° io, on doit avoir au point de jonction des deux parties de fa barre, ou pour x = o, ces deux équations :

la mesure de fa conductibilité de la matière étant k dans fa partie OE , et k’ dans la partie O E' . La première équation donne C=C En substituant les valeurs de U et U' dans la seconde, et faisant x~o après les différenciations, il vient

/ lj/b -//a / -/yJ' /yj' x

26 [e a -f~g « JC k y /b 2 Û' [e ~\~€ a' )Ç k' y/b'

* a —/' y /b' I y/fi' * a *

équation d’où l’on tirera la valeur de C, lorsque les quantités 8, fl', l, ï , , ~7-, Æ et A' seront données numériquement.

Cette quantité C n’est autre chose que la température du point O dans l’état final de la barre ; en supposant donc qu’on l’ait déterminée par l’observation, l’équation précédente fournira le moyen de calculer la valeur de l’une des deux conductibilités k et k', lorsque l’autre sera

déjà connue, et qu’on aura préalablement déterminé les rapports —-

et -TT-.

Par une analyse semblable à celle qui nous a servi dans le cas de la barre homogène, nous aurions pu déterminer en fonction du temps, XIX/ Cahier. H

les températures variables des points d’une barre composée de deux ou plusieurs parties de matières différentes ; mais comme une question de la même espèce et susceptible d’applications plus utiles , sera l’objet du §.. VII. e de ce Mémoire, nous nous sommes bornés à considérer l’état final d’une barre de cette nature. Nous terminerons ce §. par quelques nouvelles remarques sur les formules qui servent a exprimer les fonctions arbitraires en séries de quantités périodiques.

[ 34 -] Faisons / = o dans la valeur de u du n.* 32; il en résultera une expression de f x, que l’on pourra écrire de cette manière :

fx = q e — f'0' H-s(sin s * n ~j~ f y -x)

/ (2Î-i)t* ri

- S ( cosJ - Tl - J-T

en faisant 4 /* b — m* a , et, pour abréger,

2 /" 7T (—i) 1 sin

p — ni

pour plus de simplicité, on a réuni en une seule les deux séries qui entraient dans chacun des coelficiens de 0 et Ô', ce qui n’empêche pas les sommes £ de s’étendre toujours depuis /— 1 jusqu’à /= 00.

D’après l’équation (13) obtenue précédemment (n.° 27), la partie indépendante deôet de 0', dans cette nouvelle formule, représente fx pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites dt/; de plus, cette même partie est composée de termes qui s’évanouissent tous à ces deux limites, où l’on doit avoir/* nn ô et f x—T : il est donc nécessaire qu’on ait <7 = 0 et q'= o pour toutes les valeurs de * >—/ et < 1 , q—i et q =. 0 pour * —I, et enfin q — o et / =— 1 pour

x ~~ É On vérifie les deux dernières conditions à l’inspection des valeurs de q et q' ; quant à la première, elle résulte, en effet, de formules connues (*), suivant lesquelles on a q-zzo toutes les fois qu’on

suppose —<1, et q' — o, quand * ■■ <1, abstraction faitedu signe.

Ainsi Ion voit qu’en ajoutant la quantité qQ — q' ô^u second membre de 1 équation ( 1 5 ), il deviendra propre à représenter fx depuis — l jusqu à xz—/, lorsque cette fonction ne s’évanouira pas à ces deux limites. O11 peut, au reste, donner à m telle valeur réelle que l’on voudra; et même on peut mettre m- j/HIT à la place de m, pourvu qu on ait alors m < 1. En faisant m — o, on aura les expressions les plus simples que l’on puisse prendre pour q et q' , savoir :