O CL 2. J O CL

Quant à l’autre quantité q', 011 peut en faire abstraction dans le cas actuel, puisqu’elle n’a de valeur qu’à la limite /zz:2/=oo. Nous aurons donc simplement

-t- ~ff ■-sin a,/sin <Lt'. (pt'dtda; (i y)

les intégrales étant prises depuis ct= o , t'zzzo , jusqu’à cl— 00, t'—oo.

Cette nouvelle formule sera très-propre à représenter une fonction quelconque du temps, dans une question de mécanique, ou dans un problème relatif à un phénomène quelconque, où le temps sera compté à partir de l’origine du phénomène, et ne devra recevoir, par conséquent, que des valeurs positives, qui pourront s’étendre depuis t~o jusqu’à t=oo. Nous aurons occasion, dans la suite de ce Mémoire, d’indiquer un exemple de cet usage de léquation (17) |*).

(») On peut aussi l’employer à la détermination de quelques intégrales définies; mais celles que l’on en déduit, sont déjà connues par d’autres moyens. Si l’on fait, par exemple <p t = e~ l , on aura 9 = i et ^ 1

/ 'CO — /' , . a,

c sin a. t dt =rr -- •

0 i H- CL 1 7

[36.] Observons enfin, relativement à toutes les formules de cette espèce, qu elles peuvent facilement s’étendre à des fonctions d’un nombre quelconque de variables. Ainsi, en supposant qu’on veuille représenter /(*, x') pour toutes les valeurs de * et qui ne sortent pas des limites x zzz zt: /, x z=z±l , on mettra d’abord cette fonction à la place de fx dans l’équation (16); ce qui donnera

f(x,x) — qf{l, x ) q l,x ) -f- - - X £ si n si n f[y, x) dy J

( 2 i — j)tt:

Au moyen de la même équation (i 6 ), on formera les valeurs de fV’*')>/{ —1 .x') et f[y, x' ) ; si on les substitue ensuite dans celle de/(x, x' ), on trouvera

“t* T 2 f[pf(y- l ')-p'f[y>-ï) ] idy

•+■ ~TF 2 2 Sff (y-y) 1 1' J y J y ' ;

en faisant, pour abréger,

i iry

• i' * y' . i' TT x'

sin— l r— si/1——

sin —7^ sin cos —— '-lll- cos J 2 *— 1 ) ,

■ COS cos ±zi--,)rx- .

et l’on tirera de I équation (17):

rco*ù**tLdtL-Bz roc t t -,

J O \ CL J o a CL - 1 - e .

résultat qui devra subsister pour toutes les vaU»,,-* r ^

, ^ , r T . . ies va,eurs positives de t, y compris/ = 0. Cette

valeur connue se présente ordinairement sous la forme : * 1 *

/ OO tfsinïi .

-— dcL=zJL

o 1 H- cl* a c j

niais alors elle n’a pas lieu pour le cas de * — 0 ,

6l PHYSIQUE

et prenant les intégrales depuis y = — 1 , y'=.z — l', jusqua y~-t-l, y' —-t-l', et les sommes S et S' depuis i= i, i'zzz i, jusqu’à iizzoo, i'z=:oo : les quantités q et q sont les mêmes que plus haut, et p et p' sont des quantités semblables qui expriment ce que deviennent q et q lorsqu’on y change ,v et / en jc' et

On voit ce qu’il y aurait à faire, s’il y avait trois ou un plus grand nombre de variables x, x' , x", &c.; et l’on conçoit aussi que l’on pourrait construire des formules dans lesquelles les limites des valeurs de * seraient des fonctions de a*', x" , &c., celles des valeurs de x' des fonctions de x" , &c., et ainsi de suite. Mais ces formules générales seraient très-compliquées; l’exemple précédent suffit pour montrer comment on obtiendra celles dont on aura besoin dans des questions particulières.

s. III.

Distribution de la Chaleur dans un Anneau homogène et d'une épaisseur constante.

[37.] ^ en n’exige nécessairement, dans tout ce qui précède, que la barre dont il est question soit prismatique ou cylindrique, comme nous l’avons supposé pour fixer les idées. On peut courber cette barre de manière que ses arêtes et son axe deviennent des lignes quelconques ; les résultats que nous avons obtenus subsisteront encore, pourvu que les sections de la barre perpendiculaires à son axe continuent d’être égales entre elles dans toute sa longueur, et que les distances a relatives à ces différentes sections soient comptées sur l’axe curviligne à partir d’un point fixe O . Pour que les formules précédentes s’appliquent immédiatement à cette barre curviligne, on prendra pour le point O celui qui partage la longueur de l’axe en deux parties égales; et, en appelant 2/ cette longueur totale, les deux extrémités E et E' de la barre répondront, comme précédemment, à a “H-/ et * = — A

Maintenant, si ces deux points E et E' viennent à se réunir en un seul, l’axe deviendra une courbe fermée, et la barre se changera en un anneau d’une épaisseur constante. L’anneau que nous voulons considérer dans ce §. peut donc être regardé comme une barre curviligne dont les deux extrémités sont coïncidentes. Cette circonstance donne lieu à de nouvelles conditions, qui remplaceront celles qui avaient lieu aux extrémités rayonnantes, et qui modifieront la forme de la quantité u en fonction de x et de /. Cette quantité, représentant la température en un point quelconque, devra avoir, dans le cas où les deux points E et E n’en forment plus qu’un seul, des valeurs égales pour

* = —/ et xzzn-\~l : il en sera de même à l’égard de et de tous les autres coefficiens différentiels de u par rapport à x ; mais nous n’aurons besoin, comme on va le voir, que de l’égalité des deux valeurs

de jointe à celle des valeurs de u. Dans ce cas d’une courbe fermée, on pourra prendre tel point qu’on voudra pour le milieu O de laxe; mais ce point étant fixé, celui qu’on regarde comme le point de jonction de ses deux extrémités sera aussi déterminé : ce sera celui dont la distance au point O, comptée sur cette courbe, est égale à la demilongueur de la circonférence.

(38.) Cela posé, faisons successivement x =. I et x =—/, dans les valeurs de « et ^ du n.° 1 6; nous en conclurons, d’après ce qu’on vient de dire,

J e A “ ‘ fydy—Je 4ui ' fydy»

4 “‘ dfy = /. 4 -*. ifji

équations qui devront avoir lieu pour toutes les valeurs de r, et dans lesquelles les intégrales sont prises depuis y = — 00 jusqu’à y — 00.

Sans changer ces limites, on peut mettre à la place dey, dans les pre-

miers membres, et dans les seconds , y — /; on aura alors

S e 4a Fydyzzz o, f e 1 d F y o,

en faisant pour un moment

f(?-h!)—f(y — !)=;Fy.

Les exponentielles contenues sous les signes / sont les mêmes pour y et pour — y; il faudra donc, pour que les intégrales soient milles, quelle que soit la valeur de t, que l’on ait

F,-VF (-,)=. o, ^-^=21 = 0,

en observant que ifdL devient — d -ff—dl

1 a y dy

de y. Si l’on intègre la dernière équation, Fy— F{—y) = o

, quand on y met — y à la place on aura

on n’ajoute pas de constante arbitraire, parce que la différence Fy — F ( — y) s’évanouit quand on a;zzo. De là et de la première des deux équations précédentes, il résulte Fy -z o et F (— y) = o ; mais la seconde condition est une suite de la première, qui a lieu pour toutes les valeurs de y, positives ou négatives ; si donc on remet pour Fy ce qu'elle représente, on aura cette seule équation

qui devra suffire pour déterminer complètement fy, lorsque cette fonction sera donnée depuis y zz — / jusqu’à jr — /.

En effet, la caractéristique <p indiquant une fonction qu’on suppose nulle pour toute valeur de la variable non comprise entre ± 1 , et // étant un nombre entier ou zéro, il est aisé de voir que la solution la plus générale de l’équation précédente est

fy =Z<P j>4- 2///);

en étendant la somme X à toutes les valeurs de n, depuis nz=z — oo

jusqu à // :zz 00. Or, si l’on fait y = x, et qu’on suppose * < / et > — l, cette somme se réduira à un seul terme, et l’on aura fx z=z Cp.v ; cette fonction cpx sera donc connue, puisqu’elle est égale à celle qui exprime la loi des températures initiales dans toute l’étendue de l’anneau ; donc aussi fy sera connue par l’équation précédente , pour toutes les valeurs réelles de;r, depuis y = — 00 jusqu’à y = -\- 00. La courbe discontinue dont^y est l abscisse et fy l’ordonnée, sera formée d’une suite non interrompue de portions de courbes, égales entre elles et placées toutes de la meme manière, par rapport à l’axe des abscisses, et chacune de ces portions sera la courbe qui représente la loi des températures initiales.

(390 En substituant cette expression de fy dans la valeur de u donnée par l’équation (5) (n.° 16), nous aurons

“ = "V~ 2 /r [f-Z cos Ü— *k-<P0'-+-2»/)‘0’] e~ a ' ,z ' d Z ;

et si nous faisons y-\- 2 ;// = cette expression deviendra

" ==± 7~ S JT [/cos {x’—x — z n /) z .<p x 'dx'] .-**'*■ d Z .

Les limites de l’intégrale relative à *' seraient db 00, comme par rapport à y; mais il suffira d’intégrer depuis x'zz:— / jusqu’à x puisque, hors de ces limites, on a <fx' = o. De plus, je sépare le terme de la somme S qui répond à n — o, et je réunis en un seul terme celui qui répond à H— // et celui qui répond à — n ; j’ai alors

ü == ~ 1 T~ ^fo [fh cos(x — x:)z.<px' Jx ,y J Ze- a ' tz ' di> en faisant, pour abréger,