KA X
d'où Ton tire :
^^~ Z{7a + x) ' et, par suite,
Cette valeur de u étant reportée successivement dans les équations (9) et (10), nous donne les deux suivantes :
(16) 0;8« — Xa?*-^2aXa;-fa*z — Xa* = o,
(17) x*z — 2Xa:r*-f-4aj:z-f 6Xj8*--6aXa? + 4a*;r— 3a*X=o.
On devra faire usage de Téquation (i6) ou de l'équation 17), selon que Ton aura ;
u>-, ou ?<<-.
Nous n'avons jusqu'à présent qu'une seule équation entre les inconnues x et z, mais nous en obtiendrons une seconde en exprimant que la pression par unité superficielle au point B, le réservoir étant vide, est égale à la limite R': Cette condition sera toujours donnée par les relations (g) et (10), seulement la quantité u ne sera plus la même; la poussée de l'eau n'existant plus, la force verticale P agit dans la position OP, et Ton a w = BK.
Cette quantité se déduit immédiatement des calculs quk précèdent ; on a, en effet :
x[oB + 3û) + 3û*
w = BK==AB-AK:
La valeur qui précède étant reportée dans les expressions (9) et (10) donne les deux équations :
( 1 8) x^z — Xo?* + Sûar-s — ^akx + «'-s — Xa* = o, (19) xH — Xa7'+4«a?z — 3aXa;-|-4a'js — 3a*X=:o.
Les valeurs de a; et de z se détermineront dans chaque cas particulier en combinant l'une des équations (16) et (17) avec l'une des équations (18) et (19). Cette détermination exigera quelques tâtonnements, attendu que la valeur de u étant fonction des inconnues on ne pourra pas savoir d'une manière précise à priori quelle est celle des équations qu'it faudra choisir; on sera obligé de faire une hypothèse sur
le rapport de la valeur de u à celle de ^. Les deux équa-
tions que l'on aura choisies par suite de cette hypothèse
étant résolues, on vérifiera si la supposition faite est exacte,
et, Si elle ne Test p^s, on prendra celles des équations qui conviendront aux valeurs trouvées pour u e\, pour z qui, tout en étant inexs^ctes, seront cependant assez approchées pour permettre de bien choisir les équations qui détermineront les véritables valeurs*
Les équations (16), (17) r (18) et (19) étant du tipisième degré, en combinant deux d'entre elles, on sera conduit à résoudre une équatign du sixième degré. Cette résolution ne présentera aucune difliculté dans la pratique^ les équations que Ton aura à traiter étant numériques.
Si Ton suppose, par exemple, que les deux valeurs de m»
AE et BK soient plus petites que-^ = ^, il faudra combiner
le§ équations (17) et (19).
L* équation (19) étant du premier degré en 5, on en tirei'a la valeur de cette inconnue en fonction de ar, et en la reportant dans réqmation (17) on obtiendra Téquation finale suivante :
(ao) a;« + 1 iaa^+ (48a" - X«e)a:* -f- 2a(52a« — 3eXV -f
-f- a*( M aa* — 1 5eX*)j!« + 6a»(8a* — 3eX»)«— ga^X'O = o.
Les valeurs de a? et de 2 étant trouvées, la portion CDBA du barrage construite au moyen de ces valeurs jouit de la propriété que les pressions par unité superficielle aux points A et B, suivant que le réservoir est plein ou vide, sont égales à la limite R', et Ton est en même temps assuré, ainsi qu on Ta vu à Tarticle relatif à la détermination du profil d'égale résistance que la pression en un point a quelconque du parement DA est plus faible que la limite R'.
Il sera très-facile de vérifier quelle est la pression supportée par un point quelconque du parement DA; s'il arrivait que sur certains points la différence entre cette pressioih et la limite R' fut assez considérable, il pourrait y avoir un avantage marqué à subdiviser la hauteur GD en deux et à calculer un profil de la forme de celui de la figure ij6. Ge
calcul ne présenterait pas de difficulté» il se ferait en suivant la marche qui vient d'être indiquée.
Dans ce cas, pour la partie supérieure GDMN du profil, la hauteur CM est donnée; la seule inconnue est V'N = a?, et en effet, comme la pression en M, le réservoir étant vide, est nécessairement plus petite que R', on n'a plus qu'une seule équation pour déterminer a?, et c'est évidemment l'une des équations (16) et (17), dans laquelle on remplacera l'inconnue z par la valeur h choisie pour la hauteur CM.
La valeur de x sera donc donnée par Tune des équations suivantes :
(a 1) Xar« + 2dkx -f Xa» — dA*— a*A = 0,
{32) (2X-- A)x'4- 3a(3X— aA)a;+ 3a«X — 4a«A ~BXA« == 0.
La partie MNBA du profil se déterminera en employant une méthode analogue à celle suivie pour le calcul du profil de la figure i5; on prendra pour inconnue la hauteur MB =5 5; et NA = X.
Les équations du problème seront toujours les relations (9) et (10), dans lesquelles on exprimera les quantités^ P, l et u en fonction des données de la question.
En représentant par s la siu^ace de la partie supérieure MGDN du profil, par p la distance NG de la verticale passant par le centre de cavité de cette partie au point N, et par b la longueur MN. On aura :
P = ,8' + bzf + fî^ = (^iti^Ltff) 8',
K.E sera donné immédiatement par h relation
P 5(as + 2bz + zx)^' 3(2S + ttbz + zx) '
On obtiendra VK en exprimant que le moment de la résultante P des forces verticales par rapport au poï&t N est égal à la somme des moments des composantes par rapport au même point.
h zx^ X
PXVK = M-|-*«8'X j-X^,
d'où Ton tire en remplaçant P par sa valeur :
3(25-|-26z + jïar)* Et par suite l'équation ii = a? + VK — KE donne :
3a?(ag+ afcjg + jga?) + 6ps + 56«jg— jga;' — (^ + ;g)'6 "*" 3(a« -|- ^6^ + ^
En reportant les valeurs de P, i et m dans les relations (9) et (10), on obtiendra les équations suivantes :
(a3) ej5>— Xx» + 3W«« — 3(5 + X6)a?+(6« + 3&*e)« + + 46«^-^ 6ps + eft« — X6* = o.
(aA) Ji V — aXjKx' 4- 46x«x + •Xz» + 3(as — 3X6)za? + + (46*+ 3fc6X)«'— 6X5X+ (86s+3fc*eX^3X6*)z + + 4s> — 6X6s + eX&» = o.
On devra faire usage de la première ou de la seconde de ces équations, suivant que u sera plus grand ou plus petit
que^.
On obtiendra une seconde équation entre x et z en exprimant que la pression par unité superficielle au point B est
égale à la limite R' lorsque le réservoir est vide. Les relations (9) et (10) seront toujours les équations du problème.
La valeur de u sera alors égale à BK, et cette quantité s'obtiendra en fonction des données de la question en exprimant ^ue le moment du poids total P par rapport au point B est égal à la somme des moments des composantes de ce poids.
BKxP = 8's(é-^p) + 6jsS'x^ + ^(6 + |V
d'où Ton déduit, en remplaçant P par sa valeur et en posant pour abréger 6 — p = a :
^28 -^ ^bz -{- zx)
Cette expression étant reportée en même temps que les valeurs de P et { dans les relations (9) et (10), donne les équations :
(25) zx*— Xa:'+3éza?+2(!M— X6)a:+6«z+4«6— 6as— X6*=o,
(26) zV— Xzx*+4fc**a:+(4s— 3X6)jja?+4ftV+(866'-3X6«)z+
+4s'— 6Xo« = o.
On aura recours à l'équation (26) ou à l'équation (26), suivant que x sera plus grand ou plus petit que — t— •
En combinant l'une des équations (23) et (24) avec l'une des équations (26) et (26), on obtiendra les valeurs de x et de z. Les calculs à effectuer sont assez longs, mais ils ne présentent pas de difficulté sérieuse. L'élimination se fait très-simplement, car de quelque manière que l'on combine entre elles les équations on en aura toujours au moins une du second degré par rapport à l'une des inconnues.
La partie supérieure GDBA, dans laquelle le parement
intérieur est vertical, étant déterminée par les considéra-tions qui précèdent, il faut rechercher les dimensions à adopter pour la partie inférieure AB, A'B' {fig. i4) dans laquelle le mur présente un fruit sur les deux parements.
On supposera cette partie du mur décomposée en un nombre de tranches plus ou moins considérable suivant que la hauteur en sera plus ou moins gi*ande. Soit AB, A'B' {fig. 17) la tranche dont il s'agit de déterminer les dimensions.
La hauteur de cette tranche est choisie d'avance; désignons-la par h' et prenons pour inconnues les distances A'L = X, B'H = y. Les inconnues se détermineront comme pour les questions qui viennent d'être traitées en exprimant que les pressions en A' et en B' suivant que le réservoir est plein ou vide, sont égales à la limite R'. Les équations du problème seront toujours les relations (9) et (10) :
dans lesquelles il restera à remplacer le poids P et les quantités l = A'B', u = A'E par leurs valeurs en fonction des données de la question.
Les calculs se font en suivant la marche qui a été développée. On a d'abord :
"" 5la(« + 6fc') + h'(x +y) + {ah + h')tfi]'
La valeur de LK s'obtient en exprimant que le moment par rapport m point A du poids total P qui comprend celui de la tranche liquide pesant sur la partie inclinée BB' de paremiQot intérieur, Qst égal à la somme des moments des composantes de cette force.
laspy + 6b'A^8' + a%S^(y + 5b) -f 3(2^ + h')(y + 2fe)y5 — ^k'^'x t ~ 6i2(s+6A')8' + A'(a? + y)8' + (aA + *')y5]
1 a 5p + ^ ^'^' + a% (y + 36) + 5(aA + h') (y + ab) yO — 2h'x^ ~ 6[a (s + bh') + k'(x + y) + (aA + A') yô]
On déduit immédiatement de ces expressions la valeur de u.
Cette valeur de u devra être reportée dans Téquation (9)
ou dans Téfuation (10) suivant que u sera plus grand ou
plus petit que =.
On obtiendra ainsi une des deux équations suivantes (28) et («9) en ayant soin de poser pour abréger les écritures :
s + 6A' = ff,
+ 2bh'
y4-4AX — 4*A'
xy + ih'^
y 4- I2Xff
+ 3H'xe
+ 6H'Xe
-aA"
+ 6ôH'xe
^ih'*
— 86ff
— 2H»e 4- «asJt /
X + 12X1JL ^
— 2IPXO
Il reste à exprimer que la pression par unité superficielle au point B', le réservoir étant vide, est égale à la limite R'.
La valeur de u est alors égale à B'K'=î/4-HK' et Ton obtient la valeur de HK' en écrivant que le moment du poids total par rapport au point B est égal à la somme des moments des composantes de ce poids par rapport au même point.
La pression de Teau n'existant plus, la valeur dePest alors:
2(s + bh')^'+h(x + y)^ (tiv + k'x + k'y)^' Et Ton trouve :
en posant :
Cette valeur de u étant reportée dans les relations (9) et (10), donne les deux équations suivantes (3o) et (Si) :
(3o) V + aX
ary-fX
ar«-f 2èX
y + aa
x + Vj«
^2bh'
+ 6HL' [=o
-iaô
(3l) !th'\
î/«+3A'X xy^-h^
On fera usage de Féquation (3o) ou de Téquation (3i) suivant que u sera plus grand ou plus petit que ■=.
Les valeurs de a? et de y s'obtiennent en combinant Tune des équations (28) et (29) avec Tune des équations (3o) et (3i) : ces équations étant du second degré en x et en y, l'élimination ne présente pas de difficultés, les coefficients assez compliqués des différents termes étant, dans chaque cas particulier, remplacés par des nombres.
Le choix des équations qui conviendront à la question pourra donner lieu à des tâtonnements, ainsi que nous l'avons déjà expliqué plus haut; puisque la valeur du rap-
port de u à 5 qui sert à déterminer ce choix est fonction
des inconnues. On sera obligé de faire des hypothèses sur les valeurs de ce rapport et les équations que Ton aura choisies étant résolues, on vérifiera si les suppositions faites sont exactes ; si cette vérification ne réussit pas, on choisira les équations en partant des valeurs du rapport
de w à v calculées avec les valeurs trouvées pour x et pour
y qui seront suffisamment approchées pour permettre de suivre les indications données par ce rapport.
La première tranche ABm'n' de la partie inférieure ABA'B' du profil {fig. i4) étant déterminée, les dimensions de la deuxième tranche m'u^MB' se calculeront de la même manière au moyen des équations qui vienneut d'être trouvées en ayant soin\ de leur faire subir les modifications indiquées ci-après :
s8' représentant dans les calcute le poWs total dé la partie du barrage située au-dessus de la tranche que Ton considère, il y aura lieu de tenir compte du poids de la colonne d'eau qui pèse sur le parement B'm', poids qm est égal à 5''S en représentant par s^' la section vertîcaîe c'cBm' de cette colonne; dans le cas qui mmêeecupe on à :
en désignant par y^ la valeur de mW de y qui vient d'être déta'Minée.
Le poids de la partie du barrage située au-dessus de la tranche considérée sera dès lors :
s' représentant la^urface cBmVAD.
On devra donc mettre cette quantité à la place de sS dans les équations 28, sg, So et 5 1 en posant.:
d'où
Mais là ne se borneront pas les modifications à faire subir à ces formules; le moment du poids 58' par rapport au point n' devra être changé : en effet, il faudra tenir compte du moment du poids s"S de l'eau; en désignant par P' la distance du centre de gravité de la surface s" au point n\ on devra poser :
ou
sp = s'p + .s''(lp'.
En remplaçant dans les formules 28, 29, 3o et 5i, s et s^ par les valeurs qui viennent d'être déterminées, elles
s'appliqueront parfaitement à la détermination des dimensions de la tranche Am'n'B et en général au calcul d'une tranche quelconque, connaissant les précédentes si Ton a jugé à propos de les multiplier.
8. Détermination par une méthode approchée du profil d'égale résistance. — Le profil à adopter dans la pratique se divise, comme nous l'avons vu plus haut, en trois parties^ La première partie CDBA (fig. 1 5) a ses parements verticatix tant à l'intérieur qu'à Textérieur ; la seconde partie ABMN présente un parement vertical du côté de l'eau et un parement incliné à l'extérieur ; enfin la troisième partie MNST a des parements inclinés des deux côtés.
Nous avons vu comment se détermine la partie QDBA, nous n'avons pas à y revenir. Nous supposerons au-dessous du plan horizontal BA le barrage partagé en tranches d'égale hauteur, et la question sera de calculer pour chaque tranche les projections telles que Vb'\ Nn, nn" des éléments de parement sur le plan horizontal inférieur qui lui sert de base.
Voyons d'abord comment se déterminera une tranche quelconque AB, e'b' de la partie BAMN. La kiuteur de cette tranche est connue, nous la représenterons par fc'*
Le problème se résoudra immédiatement en se reportant à la détermination de la partie MNBA de la fig. 1 4 qui » été développée ci-dessus (page 58). .
11 suffira de remplacer dans les équations (2 3) et («4) lahauteur inconnue z par h\ et l'on obtiendra ainsi les 4qua* tiens suivantes :
(32) Xx*+a(X6+s)x-HX6* + 6K.— 46<» — ^H» = o,
(33) (!ÛJi'~k'^)x^ + 2<y{3X -- aA>H- 61^^— 4«' — ^^H' = o.
En ayant soin de poser comme on l'a fait plus haut :
s + hk' = cr,
(34) i «P + — = iiL,
Ces équations s'obtiendraient d'ailleurs directement en suivant la marche indiquée pour trouver les équations (2 3) et (24).
On se servira de la première ou de la seconde, suivant
que 11 sera plus grand ou plus petit que — = — .
Les formules qui précèdent serviront à calculer successivement toutes les tranches de la partie BAMN du profil (/îgf. i3) ; après avoir déterminé chacune d'elles, il faut vérifier si la pression aux points c\ M du parement intérieur est inférieure à la limite R'; dès que cette limite est dépassée, il est nécessaire d'adopter un finit sur les deux parements, et l'on passe à la détermination de la dernière partie MNST du profil de la /{g. i3.
Ce problème a été résolu plus haut à propos de la détermination de la partie inférieure du profil de la /I9. 17. Les formules à employer sont les équations (28), (2g), (3o) et (3i).
9. M. de Sazilly, dans le mémoire publié en i855 dans les Annales des ponts et chaussées^ sur les mm-s des réservoirs d'eau, a adopté un profil un peu différent de celui de la fig. i3 pour le calcul d'un mur dont la forme s'éloigne peu de celui d'égale résistance. Cet ingénieur, au lieu de supposer les parements du mur formés de surfaces inclinées successives, a admis qu'ils devaient se composer d'un système de parements verticaux de peu de hauteur séparés par des gradins ou des retraites, ainsi qu'il est indiqué sur la fig. 1 8.
On calcule le profil par la condition que la pression exercée sur chacune des arêtes rentrantes du parement ex-
térieur, lorsque le réservoir est plein, soit égale à la pression-limite R', et que cette limite soit atteinte sur les arêtes rentrantes du parement intérieur lorsque le réservoir est vide.
La partie supérieure CDBA du profil se détermine exactement de la même manière que pour le profil de la fig. i3. La largeur au sommet a et la hauteur AD = x sont liées suivant le cas par Tune des équations (i4) et (i5) :
(i4) Oa;' + a*x — a'X = o,
( 1 5) OXx« + Ua*x — 3Xa« == o.
Ces équations, pour être mises sous la forme de celles données par M. de Sazilly, doivent être résolues par rapport à a; on trouve ainsi les formules (35) et (36) qui sont bien, sauf les différences de notations, celles rapportées dans le § 8 du mémoire de cet ingénieur.
/ Oar
Les gradins de la seconde partie ABMN du barrage se calculent en suivant la méthode indiquée pour la partie correspondante ABMN du profil de .la fig. i3. On trouve ainsi les équations suivantes :
(X — ^')(6 + xy+2{<j—bh'){b+x)^ eH'+ éfi— 66a + 36W=o, h'iSk — 4V)x* + a<T(3X — 4A> — 4^" + 6(xX — eH»X = o.
En résolvant ces équations, on obtient les formules suivantes :
.1. ÎII^j
(58) ar — j,+ y ^^^j + 4.(.3x 4fc')
On fera usage de la preimère ou de la secwide suivant que
f on aura :
l»+ »« + -;: ft-
» = -— < ou > 5 (»+«•
On déterminera la troifflème partie MNST du profil en suivant les procédés employés plus haut pour le profil delà fig. i5. Les équations (28), (99), (3o) et (3i) relatives àee dernier profil seront remplacées par les suivantes :
a;» + 2ÔX
! y + aôX
