TYPE DE BARRAGE A ADOPTER DANS LES VALLÉES ÉTROITKS
1 1 . Barrages disposés en forme de voûte. — Nous ne nous -sommes pas occupé dans le premier chapitre de ce mémoire de la longueur des barrages dont nous avons déterminé les dimensions ; les profils que nous avons calculés jouissent de la propriété qu'une longueur quelconque de la construction résiste seule par son propre poids à Taction des forces auxquelles elle est soumise. Dans le cas où les vallées à barrer sont étroites et formées d'un sol résistant, il est possible, en donnant aux barrages la forme d'une voûte, de faire en sorte que la poussée soit transmise horizontalement aux flancs de la vallée, et nous devons examiner si cette disposition ne pourrait pas permettre dans certains Cas de réduire les dimensions du profil à adopter.
Il est facile de se rendre compte de Tinfluence de la disposition qui permet de reporter latéralement la poussée sur les versants de la vallée. Prenons, en effet, un profil quel- <:onque de barrage, celui de la fig. i, par exemple; il est soumis à l'action de deux forces, le poids P et la poussée F; dans le cas où le mur est rectiligne ou indéfini, ces deux forces se composent pour donner lieu à une résultante R, et il faut pour que la stabilité soit assurée que le point E, où cette résultante rencontre la fondation, soit dans l'intérieur de la base AB et à une distance suffisante de l'arête extérieure B pour que la pression en ce point ne soit pas
plus grande que la limite B' que Ton ne doit pas dépasser* Dans le cas, au contraire, où le mur ayant en plan une foraie courbe, la poussée F est reportée latéralement, cette force est détruite par les réactions du sol et ne se combine pas avec le poids P. On pressent donc que dans certains cas l'épaisseur à la base pourrait être réduite; mais, pour traiter complètement la question, il faut chercher l'épaisseur à donner au barrage pour que les maçonneries qui transmettent latéralement la poussée ne supportent en aucun point une pression supérieure à la limite R'.
Supposons que A'EB', A"CB" {flg. 19) représente une section horizontale considérée à une hauteur H au-dessous du sommet et que les Ugnes VV, W' soient la coupe des versants de la vallée par le même plan horizontal. La poussée F de l'eau en chaque point E' du parement extérieur A'EB' du mur est normale à cette courbe. La détermination de Tépaisseur CE à donner au mur présente une grande analogie avec le problème ordinaire de la vérification de la stabilité des voûtes; seulement les pressions sur chaque voussoir, au lieu d'être parallèles entre elles et égales au poids de ce voussoir, sont toutes normales à la courbe extérieure A'EB' et sont toutes égales entre elles si l'on suppose que la voûte soit partagée en voussoirs égaux.
Ces conditions rendent le problème plus facile à résoudre que pour le cas d'une voûte ordinaire, et permettent de trouver une équation qui donne sans tâtonnement l'épsdsseur à la clef.
Nous admettrons que la courbe A'EB' soit un arc de cercle ayant son centre au point 0, et nous supposerons, ainsi qu'on le fait ordinairement dans les rechej'ches relatives à la stabilité des voûtes, l'épaisseur C^ à la clef déterminée par la condition que la courbe des pressions passant au point G situé au tiers de cette ligne, la pression à l'exti-émité £ la plus rapprochée soit égale à la Umite R'. La courbe des pressions dans le cas d'équilibre doit être forcément per-
pendiculàïre à toutes les actions de la pression de l'eau sur la voûte qui concourent au centre o, et par suite cettecourbe est un cercle concentrique à celui qui forme le parrement extérieur.
Cela posé, pour que la construction soit stable, il faut qu'il y ait équilibre dans la demi-voûte EGLB' entre la réaction de la culée au point K (*) , les pressions de Veau entre le point E et le point B' et la réaction R de la demivoûte A'HEG.
Cette condition de stabilité conduit à l'équation suivante ^
(44) 2lJ^^F = RxKN,
tqui exprime que la somme des moments des actions de la poussée de l'eau par rapport au point K est égalé au moment de la réaction R par rapport au même point*
Posons OE = p, OG = p'; représentons par A l'angle^ EOB', par a l'angle variable formé par la direction d'un joint quelconque CE' avec le rayon OB', et par /s^ la pression exercée par l'eau sur l'unité superficielle à la profondeur considérée.
La pression de l'eau sur un élément E' du parement A'EB* €St représentée par ^iD^ds ou par /eD^pda, puisque l'on a :
ds = prfa..
Le moment, par rapport au^ point K dé la pression élémentaire F, est donc :
^ pdaM'K = '^^^pp' sin add et par suite ;
^ J/^F = \ ^pp' sinoda = «rpp'(i — cos A).
D'un autre côté :
KN = p*(i — cosA),
(*) La portion de barrage B'LB" agit comme culée; elle traosoiet au rocher la pression qu'elle reçoit de la voûte.)
~ àO —
et par suite, Féquation (44) devient :
'Srpp'(i — cos A) = Rp'{i — cos A) ou
et comme
,45) R = ffi.
La valeur de R étant déterminée, l'épaisseur EC = a? s'en déduira immédiatement.
Il faut, en effet, que la pression par unité superficielle sur le joint EG au point E, où elle est la plus considérable, soit égale à la pression-limite. Cette condition est facile à exprimer en partant de la formule (lo) :
11 suffit d'y faire m = ~-P = R, et Ton obtient : ou en remplaçant R par la valeur (45) :
(46) .=SVî:
Nous remarquerons qu'une maçonnerie convenablement appareillée ne peut résister comme une voûte qu'autant que l'épaisseur à la clef n'est pas trop considérable par rapport au rayon. L'état de la science en ce qui concerne les conditions de stabilité des voûtes ne permet pas de préciser d'une manière mathématique quelle doit être la valeur-limite de ce rapport, mais nous croyons devoir considérer comme
certain que les hypothèses qui nous ont conduit à la formule (46) ne se réaliseraient plus si l'épaisseur à la clef dépassait le tiers du rayon. Prenons donc pour valeur-limite de X, a? = I et calculons la valeur de H correspoo-
dante.
La formule (46) devient :
et Ton en déduit :
En prenant X = 3o et 6 =-, ainsi que nous l'avons fait dans les applications, on obtient :
d'où Ton doit conclure que pour les barrages d'une hauteur supérieure à 4"* -4? on serait conduit à adopter une épaisseur à la clef trop grande par rapport aux dimensions du rayon pour que les matériaux pussent être considérés comme résistant comme une voûte (*) .
12. Dimensions maximum à adopter pour la largeur du profil à la base dans les vallées étroites. — Maïs dans ce cas, pour les vallées assez étroites, les murs de retenue sont comme encastrés entre les rochers qui forment les ver-^ •sants, et il peut en résulter une diminution dans l'épais-
(♦) Pour des hauteurs inférieures à /i^./iy, il pourrait y avoir un avantage à disposer les murs en voûte, même dans les vallées d'une grande largeur en construisant des culées intermédiaires, mais nous ne nous arrêterons pas à cette question, les barrages à établir dans la Loire supérieure devant tous avoir des hauteurs assez considérables.
seur qu'il faudrait donner au mur s'il devait résister à Faction de Feau par son propre poids.
On peut voir facilement qu il n'est jamais nécessaire de donner aux murs de réservoir une épaisseur plus grande que la largeur de la vallée à la hauteur considérée, si toutefois la poussée n'est pas assez considérable pour faire naître des pressions supérieures à la limite d'écrasement.
Soient VV'VV {fig. 20) la section des versants de la vallée par un plan horizontal. Soit ABGD la coupe horizontale d'un mur ayant une épaisseur DB égale à la Jargeur AB de la vallée à la hauteur que F on considère; supposons que F on ait tracé les diagonales AD, GB du carré ABGD. Cn barrage qui se composerait en plan des triangles AOB, GOD serait suffisant pour résister à la pression de Feau; en effet, la poussée étant en Chaque point dirigée perpendiculairement à la surface pressée, on voit que toutes les forces telles que F, F', F" pressant le parement AB rencontreraient le rocher entre le point D et le point B, et que leur action serait détruite par la résistance de ce rocher. Il en serait de même des forces appliquées sur AO.
Dans la pratique, il faudra admettre qUe le triangle AOB soit rempli de maçonnerie pour supporter la partie supérieure du barrage qui, correspondant à une largeur plus grande de la vallée, aura été construite pour résister par son poids à Faction de Feau; mais le barrage formé par le carré ABGD résistera évidemment aussi bien que celui formé par les deux triangles AOG, BOD ; la partie AOB agira cômmie un coin destiné à transmettre les pressions exercées sur la face AB perpendiculairement aux diagonales AO et OB. La résultante P des actions de la poussée sur la face AB se décompose en deux forces P' et P" normales aux diagonales OB, AO qui produisent sur ces faces la même action que celle exercée par la poussée directe de Feau dans le cas où le triangle AOB est supposé enlevé.
On voit par ce qui précède qu'un mur ayant l'épaisseur
de la vallée à b^rer transmettra directement aux versant? les actions horizontales provenant de la poussée de F eau et quil ne courra ainsi aucune chance d'être renversé. Mais, pour que la stabilité de la construction soit assurée d'une manière suffisante au point de vue de la résistance des matériaux, il faudra qu'en aucun point la poussée de l'eau ne fasse naître des pressions dépassant la limite B'.
La hauteur que pourra avoir le barrage sans que cette condition cesse d'être satisfaite est facile à déterminer; la pression exercée par unité superficielle du parement AB est représentée par HS; cette pression donne lieu à deux forces perpendiculaires aux diagonales CBÂB ou à la surface du rocher disposée par gradins parallèles à ces diagonales dont la valeur est :
11 faut pour assurer cetle stabilité que cette pression soit au plus égale à B' = yZ\ et par suite on doit avoir :
D'où .
En admettant comme nous l'avons fait que l'on ait :
on obtient :
D'où l'on conclut que tant que la hauteur du barrage ne dépasse pas 84"*. 852, il n'est pas nécessaire de lui donner une épaisseur plus grande que la largeur de la vallée pour résister à l'action de l'eau; les barrages que Ton aura à
construire ne devant jamais atteindre cette hauteur, on peut conclure de ce qui précède d'une manière générale qu'un mur de réservoir sera toujours capable de résister à Faction de l'eau si en chaque point il a une épaisseur "égale à la largeur de la vallée.
1 3. Détermination d*un profil à adopter pour une vallée dont le profil est donné. — Si donc on veut appliquer à une vallée d'une largeur déterminée un profil calculé par les considérations du chapitre i ", il y aura lieu d'en réduire l'épaisseur dès qu'elle sera égale à la largeur de la vallée. La hauteur à partir de laquelle l'épaisseur ne devra plus être calculée d'après les considérations développées dans le chapitre i" se déterminera par la construction géométrique la plus simple. Il suffira de porter perpendiculairement à une droite 00' {fig. 21) les largeurs OB", A'B', AB, CD', CD du barrage considéré aux différentes hauteurs et aussi les largeurs OS, M'M, N'N, P'P, Q'Q de la vallée, de joindre entre eux les points B^B'BD'D extrémités des premières perpendiculaires, de faire aussi passer une ligne par les extrémités SMNP, etc. de la deuxième série de perpendiculaires. La distance TT" du point T où ces deux lignes se rencontreront au sommet du barrage indiquera la hauteur cherchée.
En maintenant au barrage, à partir de la hauteur TT', l'épaisseur TT" égale à la largeur de la vallée en ce point, on serait assuré que le mur serait capable de résister à l'action de l'eau; il présenterait même à la partie inférieure un excès d'épaisseur puisque la largeur de la vallée va en diminuant, et qu'il suffirait qu'en chaque point l'épaisseur du mur fût égale à cette largeur.
Mais il ne suffit pas que la poussée de l'eau qui tend à produire le renversement du mur soit détruite par la résistance du rocher, il faut encore que les forces verticales qui continuent à être transmises à la fondation ne produisent en aucun point des pressions par unité superficielle
supérieure à la limite R'. Cette considération conduira à donner un empâtement au mur à partir du point T, mais il sera moins considérable que dans le cas où le mur résiste par son propre poids par la raison que la poussée P étant détruite par la résistance latérale des culées n'aura pas pour eûet dé rapprocher le point d'application E de la force verticale sur la base de Tarête extérieure A' ainsi que cela a lieu dans les profils étudiés dans le chapitre i", celui de la fig.\']^ par exemple.
Les dimensions à donner à la partie inférieure du profil se calculeront par les considérations suivantes : Soit MN [fig. 2 3) le plan horizontal passant à la hauteur qui vient d'être déterminée; soient MN = 6, MH = /i', soient s8' le poids de la partie supérieure GDMN du barrage, et s% le poids de l'eau s' exerçant sur la surface inclinée à Tintérieur MB, soit a la distance au point M du centre de gravité de la partie CDMN et p la distance au point N de la résultante verticale des actions du poids de la maçonnerie et de l'eau sur le parement MB. Prenons pour inconnue B'H=rî/, LA'r=a?.
La question se résoudra comme celles traitées dans le chapitre i", en exprimant que la pression par unité^ superficielle aux points A' et B' suivant que le réservoir est plein ou vide est égale à la limite R!. Les équations du problème seront toujours les expressions (9) et (10) :
dans lesquelles il faudra remplacer les quantités P, I, u par leurs valeurs en fonction des données de la question. En considérant d'abord le cas où le réseiToir est plein, on a :
ou en posant, pour abréger :
« -|- *'* 4- frA' = »',
aA + ft' = H',
P=-(aa' + *'«+y(A' + H'6)J.
D'un autre côté :
et
La valeur de LK se trouve en exprimant que le moment du poids total P par rapport au point N est égal à la somme des moments des forces verticales qui le composent.
On obtient ainsi en posant :
Cette valeur de u étant reportée en même temps que celle de P et celle de l = 6 + x + y dans les relations (9) et (1 o) donne les équations suivantes :
xy'\'%k
aî + a^«
+ aH'«
+ aôH'6
+ îaii"
-aA'
sBy + /{h'%
x*^6bh'\
t/-j-ïa^<j'
a;+iaîi"X
+ 6ÔH'X6
-S/iV
-^ sy^'
- 8H'fta'
— aH'«e«
— aA"
On fera usage de la premièie ou de la seconde de ces
équations suivant que u sera plus grand ou plus petit que
Il reste à exprimer que la pression par unité superficielle au point B', quand le réservoir est vide, est égale à la limite R'. Les équations qui expriment cette condition ne différeront nullement de celles établies dans le chapitre i*% page 61, que nous rappelons ci-dessous.
(3o) Xy« + 2X
xy + y.
— fc'
-\-bW
V» + 3/ia
xy-{-h^
y-\-V>h'\ ar-h^ix^X
— i\Wrs
- ^h'9 — 4ff«
En combinant l'une de ces deux équations avec Tune des équations 48 et 49» on déterminera les inconnues x et y. On aura soin de suivre dans le choix des équations à employer les indications données dans le chapitre i*'.
La partie inférieure MNB' A' du profil étant déterminée par les conditions qui précèdent, on sera assuré que les pressions par unité superficielle en A' et B' seront égales à la limite R' suivant que le barrage sera plein ou vide, et en même temps que les pressions aux points a' et V correspondantes d'une même tranche horizontale seront inférieures à cette limite. On pourra, comme nous l'avons fait dans la détermination des profils du chapitre 1*', diminuer le cube des maçonneries en partageant la surface MNB'A' en un certain nombre de zones, telles que MN, mV, mV, etc., en calculant les longueurs m'A', iV, m"/i", fn", etc* (fig, 23 Us) par la condition que les pressions aux points nivl m"n" soient égales à la limite adoptée. Les formules précédentes serviront à résoudre cette question ; il suffira de supposer que H', au lieu de présenter la hauteur MH, soit égal à la hauteur Uh' des tranches.
Dans le cas où la partie supérieure du profil aurait été calculée en employant des gradins à parements horizontaux et verticaux, il conviendrait d'employer le môme système dans la partie inférieure des profils {fig. 2 5 ter).
Les calculs se font exactement de la même manière que ceux que nous venons de développer, en désignant toujours par X la saillie du gradin extérieur et par y celle du gradin intérieur; les équations 48, 49» 3o et 3i sont remplacées par Jes suivantes :
-f3/iex - 4h«e«
xi^6bh'\
+ 6/ieX
+ 6bm\
- Sh'a'
— sy^e
yî + 2).
an/ + X
.r* + aa
y + abX
— aV
- Il' ; -l-.abX
^4cr
IhTk
y« + 6h'X aT^H-3/i'X
y + 6hW\
-4fc'*
-8Vff
— 8Vff
— 4ff«
