LE CALCUL DO BODHISATTVA ET L'AR^NAIRE

D'ÀRCHIMÈDE.

En examinant attentivement le calcul que je viens

1 Je fais observer que d'après les annales de Ceyian, le troisième concile eut lieu dans la 17* année du règne d'Açôka, en ad6 avant J. C. (Voir Lassen, Indische Altertumskunde , t II, p. 61 et 219.)

2 La version tibétaine s'accorde , d'après la traduction de M. Foucaax, avec le texte sanscrit de Calcutta pour Tintercalation du niyouta d'akchôbhyas et des mots niyouta et cent, et pour le changement de six en soixante; elle présente en outre quelques autres variantes. La leçon que je propose est donc antérieure à l'époque où le texte du Lalitavistara reçut les altérations avec lesquelles il servit de base à la version tibétaine.

d'analyser, en remarquant qu'il a pour objet la déterminai ion d'un nombre de grains de poussière, et qu'il établit, en outre, une succession d'espèces de grains de poussière de petitesses différentes, en songeant à la place éminente données ce calcul dans l'examen du lïodhisattva, c'est-à-dire à une occasion où l'on veut montrer que l'être le plus parfait possède aussi au suprême degré toutes les connaissances humaines: on se demande si ce calcul de poussière n'a pas été, dans l'Inde, le type et le représentant par excellence de tous les problèmes d'arithmétique pratique, déjà longtemps avant la rédaction du Latitavistara ; s'il n'a pas dû continuer de l'être longtemps et à plus forte raison après, depuis qu'il figurait dans un des livres sacrés d'une religion fort répandue, et si ce n'est pas de là que vient le nom de calcul dépoussière que les Arabes occidentaux donnent aux méthodes d'arithmétique pratique venues de l'Inde.

Je ne voudrais pas , à défaut d'autres preuves , décider cette question que je me borne à avoir posée; j'ai cité moi-même ci-dessus des passages, et j'en citerai encore, qui montrent que l'usage de calculer sur un tableau couvert de sable, ou sur le sol même, a existé dans l'Inde; ce qui peut avoir donné lieu a appeler l'arithmétique pratique calcul de poussière. Mais si les passages arabes ci-dessus traduits se déclarent également pour la même origine de ce nom , je fais observer que l'on connaît trop les naïvetés étymologiques des auteurs arabes et leur habitude de se copier servilement les uns les autres , pour que

leur témoignage même unanime puisse , en pareille matière , avoir la valeur d'un argument décisif.

Une autre question, bien plus importante, s est sans doute déjà présentée à l'esprit du lecteur, la question s'il faut attribuer à un pur hasard l'analogie frappante que l'on remarque entre le calcul de poussière du Bodhisattva çt l'Arénaire d'Archimède.

Le but même d u calcul d'Archimède , de démontrer que le nombre des grains de sable contenus dans la sphère des étoiles fixes est inférieur à un nombre parfaitement assignable , est tout à fait analogue h l'objet qu a en vue le calcul du Lalitavistara. Car, après avoir terminé le calcul des atomes contenus dans un yôdjana, le Bodhisattva ajoute qu'au moyen de la numération dont il vient d'expliquer les principes , on peut calculer de même le nombre des atomes contenus dans toutes les régions, réelles ou fabuleuses, du monde, ou plutôt des trois mille grands milliers de mondes.

Pour que l'on puisse mieux se rendre compte de la ressemblance du calcul grec et du calcul indien, je donnerai une courte analyse des procédés du géomètre de Syracuse.

Archimède prend pour point de départ les hypothèses suivantes :

i° i grain de pavot est égal à 10.000 grains de sable; 2° î doigt est égal à t\0 fois le diamètre d'un grain de

pavot ; 3° î stade est plus petit que 10.000 doigts; 4° Le diamètre de la sphère du monde (subsolaire) est

plus petit que îo.ooo.ooû.ooo de stades;

e diamètre de 1

sphère des

étoiles fixes

Arisl

■■■pie

peli

que

8phè

«du

non

le.

Cela posé, Archimède établit aisément la série des conclusions suivantes , que je reproduirai en me servant, pour abréger, de la notation des exposants et des signes = et < pour égal et plus petit

i grain de pavot = 10.000 grains de sable; : sphère de 1 doigt de diamctre=4o 3 ou 64ooograins de pavol=64o.ooo.ooo grains de sable < 10' grains de sable; : sphère de 100 iloigls de diamètre — 1000.000

sphères de i doigt de diamètre < io' s groins de

sable; i sphère de 10.000 doigls de diamètre = 1000.000

sphères de 100 doigts de diamètre < 10" grains

de sable ; 1 sphère de 1 stade de diamètre < 1 sphère de 10.000

doigts de diamètre < 10 ai grains de sable; 1 sphère de 100 stades de diamètre = 1000.000

sphères de 1 stade do diamètre < io" grains de

sable ; 1 sphère de 10.000 stades de diamètre ~ 1000.000

sphères de 100 stades de diamètre < 10" grains

de sable; 1 sphère de 1000.000 stades de diamètre— 1000.000

sphères de 10.000 stades de diamètre < 10 "grains

de sable ; 1 sphère de 100.000.000 stades de diamètre —

1000.000 sphères de 1000.000 stades de diamètre

< io"grainsde sable; 1 sphère de 10.000.000.000 stades de diamètre —

1000.000 sphères de 100.000.000 stades de diamètre <io" grains de sable;

n° î sphère dont le diamètre est plus petit que î o.ooo fois Je diamètre de la sphère précédente (ce qui a lieu , en vertu de la 4" et de la 5" hypothèse , pour la sphère des étoiles fixes) est plus petite que 1000.000.000.000 fois la sphère précédente, donc < io <s grains de sable.

Pour pouvoir énoncer ces conclusions, Archimède établit, tout comme les Indiens, une échelle de noms de nombres. Il appelle les nombres ordinaires nombres premiers, et il pose :

i unité des seconds nombres — 100.000.000 = io s ; i unité des troisièmes nombres s= ioo.ooo.boo unités des

seconds nombres = io"; i unité des quatrièmes nombres z= 100.000.000 uni tésdes

troisièmes nombres z= î o ,4 ; i unité des cinquièmes nombres =100.000.000 unités

des quatrièmes nombres = 1 o 8> ; 1 unité des sixièmes nombres = 100.000.000 unités des

cinquièmes nombres = 1 o 40 ; 1 unité des septièmes nombres = 100.000.000 unités des

sixièmes nombres == 1 o 48 ;

I unité des huitièmes nombres = 100.000,000 unités

des septièmes nombres =r 10".

II peut, de cette manière , énoncer le résultat des conclusions ci-dessus, entlisant que le nombre des grains de sable contenus dans un globe égal à la sphère des étoiles fixes est inférieur à mille myriades des huitièmes nombres.

Mais, de même que, dans l'échelle du Bôdhisattva , la numération tallakchana est suivie encore d'autres numérations d'un ordre plus élevé, de même Ar-

chimède fait observer que l'échelle dos premiers, seconds, troisièmes nombres, etc. peut se continuer jusqu'aux nombres 100.000.000""'; que l'on peut considérer le dernier terme auquel cette échelle airive comme une unité d'un nouvel ordre de nombres que l'on appellera nombres premiers de la seconde période , et que l'on peut alors , en suivant la même progression, opérer, si l'on en a besoin, avec des nombres seconds, troisièmes et eufini oo.ooo.ooo'"" de Ja seconde, de la troisième, de la quatrième période, ctaînsi de suite, jusqu'à 1 00.000.000 unités des nombres ioo.ooo.ooo 4 ''"" de la i oo.ooo.ooo'"' période ',

En résumé, le calcul d'Archimède comme celui du Luhtavàiara ont pour objet d'arriver à la détermination du nombre des grains de poussière que peut contenir le monde considéré comme un espace limité; l'un et l'autre établissent une nomenclature de nombres propres à servira cette détermination; chez l'un et l'autre cette nomenclature se compose de deux degrés, dont le premier comprend, dans le Lalitavistara , l'échelle des nombres qui forment la numération tallakchana, et dans l'Arénaire, les ' 11 est vrai que ces nombres sont énormes ; mais on se tromperait ni l'on croyait que c'est la limite du possible en Tait de notations. On pont exprimer des nombres déterminés et incomparablement plus grands encore que ceui d'Arc hiiuède, au moyen de notations dont j'ai fait usage dans un mémoire de mathématiques pures inséré dans le tome XLII du Journal de Crellc. Ces notations se rattachent à des fondions analytiques d'un genre particulier dont j'ai développé les propriétés fondamentales dans le mémoire que je viens de mentionner.

nombres premiers, seconds, etc. de la première période; le second degré se compose, dans le Lolitavistara, des différentes numérations successives, dans f Arénaire, de la suite des périodes des nombres.

Il y a dans tout cela une telle conformité du but et des moyens, de l'ensemble et des détails 1 , qu'il est bien difficile de n'y voir que l'effet d'un simple hasard.

H est vrai qu'Archimède , né en 187 et mort en 212 avant Jésus-Christ, est à peu près contemporain de l'époque où il faut placer la rédaction du Lalitavistara; mais nous avons remarqué ci-dessus que probablement le problème du calcul de poussière existait dans l'Inde avant la rédaction du Lalitavistara. Je fais observer aussi que les conquêtes d'Alexandre avaient déjà mis le monde grec en contact immédiat avec l'Inde, et il suffit de nous rap* peler les noms de Platon , de Denys et de Dion pour être persuadés que des idées connues à Athènes ne pouvaient pas rester longtemps ignorées à Syracuse.

En même temps, si nous considérons une invention double et indépendante du problème , une fois à Syracuse , une autre fois dans l'Inde , comme inadmissible, la probabilité de l'invention originale et première est infiniment plus grande pour les Indiens, parce que chez eux l'habitude de former ces échelles de noms de nombres , qui constituent en quelque

1 11 n'y a pas jusqu'au grain de pavot, au doigt et à la lieue (yàdjana, stade) qui ne se retrouvent de part et d autre comme mesures intermédiaires entre l'atome et le monde.

sorte le fond et l'essence du problème, est inhérente au génie même de leur langue et de leur littérature. et remonte, d'après la notice de M. Weber ci-dessus citée, jusqu'à l'époque des Bràhmanas, c'est-à-dire des plus anciens ouvrages de la période védique, après les hymnes eux-mêmes. Chez les Grecs, au contraire, cette nomenclature des grands nombres, complètement étrangère aux habitudes de leur langue, ne paraît que comme l'œuvre isolée du plus grand de leurs géomètres. Archimède, frappé, sans doute, de la profondeur et de la beauté de cette conception indienne, dont les circonstances auxquelles j'ai fait allusion pouvaient lui avoir procuré la connaissance, avait exposé les principes de cette nomenclature déjà dans un autre ouvrage qu'il cite dans l'Arénaire , et les établit avec toute la précision de son esprit éminemment mathématique. Il développe surtout le côté philosophique de cette idée neuve, et n'exécute point de calcul proprement dit. Mais dans l'ouvrage indien, s'adressant à une nation à laquelle des noms et des moyens pour désigner des nombres énormes étaient naturellement familiers, l'échelle des noms dénombres et dos numérations est présentée d'une façon plus nonchalante, et le calcul réellement effectué, dont le résultat s'énonce non par une limite supérieure , mais par un nombre déterminé, joue un rôle important.

LE TÉMOIGNAGE O'ALISIROÛHÎ.

On voit que l'existence , dans la langue sanscrite,

de noms spéciaux pour des nombres très -élevés, est un argument puissant en faveur de l'opinion qu'il faut chercher dans l'Inde l'origine première de certaines notations numériques et de certaines méthodes arithmétiques que nous trouvons chez d'autres nations, et qui se distinguent par une perfection particulière.

Il ne sera donc pas inutile de montrer que ces noms n'ont pas cessé d'être connus et employés dans ffnde. Un géomètre arabe, qui a visité ce pays, et a recueilli avec autant de zèle que de jugement tout ce qu'il a pu apprendre touchant les mœurs, les doctrines religieuses et philosophiques et les sciences des Indiens, mentionne ces noms d'une manière fort détaillée dans un ouvrage qu'il termina en i o3 1 de notre ère.

L'auteur dont je veux parler est Albîroûnî, le contemporain et l'ami d'Avicenne, et un des ornements de la cour du sultan Mahmoud de Gazna, dont les conquêtes lui permirent de séjourner dans l'Inde et d'avoir des rapports directs et personnels avec les savants du pays. C'est dans l'ouvrage d'Albirounî sur l'Inde que se trouve le passage que je traduis ci-après 1 , et qui contient, outre les noms

1 La Société asiatique étant sur le point de faire publier l'ouvrage entier d'Albîrounî , je peux me dispenser de reproduire le texte du passage que j'ai à citer en ce moment. Le commencement de ce passage a été traduit déjà par M. Reinaud dans son Mémoire sur l'Inde, Mémoires de l'Académie des inscriptions et belles-lettres , t. XVIII , p. 298 , ligne 2 2 , à p. 299 , ligne 11, et p. 3o2 , lignes 1 6 à 24.

— 9'i — dont il s'agit, d'autres détails intéressants pour L'étude qui nous occupe.

«Les Indiens, dit Alblroùnî, n'ont pas l'usage «d'assigner à leurs lettres un emploi quelconque «dans le calcul, comme nous 1 en assignons un à anos lettres en les classant suivant l'ordre de leurs «valeurs numérales 2 . Et de même que les figures « des lettres sont différentes dans (les différentes parti ties de) leur pays, de même aussi les signes du « calcul (varient). Ceux-ci sont appelés anka («ÎLil ) s .

' C'est-à-dire , les Arabes.

1 Voir De Sacy , Grammaire arabe, deuxième édition , 1. 1 , p. 89 à f|i . Il sera encore question, dans la suite du présent mémoire, de cette Dotation alphabétique employée par les Arabes pour écrire des nombres, et réservée chei eut, en fait de calcul, au calcul sexagésimal. — L'assertion d'Albîroûnî prouve qu'au commencement du .11° siècle la notation alphabétique d'Àryabhatta, décrite pages 1 1& à 111 du cahier d'août 1 635 du Journal usiatiijue, était tombée en désuétude; qu'une autre notation alphabétique exposée au même endroit, p. m à 138, et employée, d'après M. Whish, dans les parties méridionales de l'Inde, était inconnue dans les contrées sitées par Albiroùnî, et qu'on s'y tenait mw 1h Rtlnb eiclusivement des chiffres. Quant à ceui-ci, il est tout naturel que leur origine première, comme lettres de l'alphabet el initiales de noms de nombre ait été depuis longtemps oubliée à l'époque d' Albiroùnî.

5 II se trouve, dans le courant et surtout vers la Gn de ce passage un nombre considérable de termes sanscrits que le teile manuscrit transcrit au moyen des lettres arabes, si peu propres à cet 1 Comme la restitution de quelques-uns de ces termes peut Être dou leuse, il faut que le lecteur ait tous les moyens de contrôle. J'ai donc d'une part, reproduit entre parenthèses les transcriptions arabes d'autre part, je donne ci-après l'alphabet romain par lequel je n place l'alphabet dêvanâgari pour écrire les mots sanscrits rétabli

Voyelles : a, d, i, i, oiij ou, ri, ri, (li, ti), è, al, 6, aou.

Gutturales : k, l',j,j', n.

uCe que nous employons (en fait de chiffres) est « choisi parmi ce qu'il y en a de mieux chez les In- «diens; et peu importent les formes, pourvu que « Ton connaisse les significations qu'elles renferment. a LesCachemiriens numérotent les feuillets au moyen «de chiffres qui ressemblent à des dessins cTorne- «ments ou aux; lettres des Chinois, que Ton nap- « prend à connaître que par une longue habitude et « en s'en servant beaucoup ♦ et que Ton n'emploie pas «dans le calcul (exécuté) sur la poussière l .

« Un point sur lequel toutes les nations sont d'acte cord dans le calcul, c'est la proportionnalité des «nœuds du calcul 2 suivant le rapport de dix; de « sorte qu'il n'y a point de rang dans lequel l'unité

Palatales: c, &»j*f, n.

Cérébrales : t, f, d, <£, n.

Dentales : t, f, à, d?, n.

Labiales :p,p%b, b', m.

Demi-voyelles : y, r, l, v.

Sibilantes : ç , § , s , h.

Visarga : h, aoousvâra : n.

1 Le mot arabe est oLï (tourâb), terra, pu! vis, humus, regio d'après Freytagî et ground , earth , dust , powder d'après Richardson. Cette phrase d'Albîroûnî prouve que de son temps il existait dans rinde l'habitude de calculer sur le sol , ou sur le sable , ou bien sur un tableau couvert de poussière ou de sable fin.

* Les c nœuds » des unités sont 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7, 8 , 9 ; les nœuds des dizaines, 10, 90, 3o, 4o, 5o, 60, 70, 80, 90; les nœuds des centaines, 100, soo,3oo,4oo, 500,600,700, 800, 900; et ainsi de suite. C'est ce qui résulte pour moi d'un examen de nombreux traités d'arithmétique arabe , quoique ce ne soit pas tout à fait conforme à ce qu'on trouve dans la Grammaire arabe de M. de Sacy, deuxième édition , t. I , p. 417. On peut aussi consulter le mémoire ci-dessus cité, Sur l'introduction de l'arithmétique indienne en Occident, p. 67.

fie un dixième de l'unité qui se trouve au y suivant, et dix fois l'unité qui se trouve au " rang précédent. J'ai recherché avec soin tout ce u qui concerne tes noms des différents ordres des « nombres en usage chez les peuples qui possèdent « des langues particulières, autant que j'ai pu en con- « naître. J'ai trouvé qu'ils répètent les mêmes noms «à partir des mille, comme le font les Arabes, ce u qui est la manière la plus convenable et la plus «conforme à la nature de la chose. J'ai aussi consacré à ce sujet une dissertation spéciale. Cependant « les Indiens dépassent l'ordre des mille dans leur « nomenclature, mais non d'une manière uniforme; «car les uns se servent de noms improvisés, les «autres de noms fondés sur certaines élymologies; «d'autres encore mêlent les deux sortes de noms. «Ces noms s'étendent jusqu'au dix -huitième ordre, « à cause de certaines subtilités qui ont été suggérées « aux personnes qui font usage de ces noms , par les u lexicographes , au moyen des étymologies de ces «noms. Le nom du dix-huitième ordre est parârdd'a « ( ij£>), c'est-à-dire la moitié du ciel, ou plus exactement, la moitié de ce qui est au-dessus. La raison «de cela est que, si l'on compose de kalpas{^JS^) « une période de temps, une unité de cet ordre est «un jour de l'Etre suprême '; et comme il n'y a

1 Davis le 33' ehapilrede son ouvr.ijje, Albîroùni ri et dit que, d'après certaines opinions, le jour du nu certaines autres le jour du k'a, se compose d'un para

vient à ce point ■liiTo de kalpai.

ii rien au delà du ciel, celui-ci est le plus grand des i< corps. Or, une moitié du plus grand des nychlhé- « mères est semblable à l'autre ; en la doublant, on ((compose une nuit avec un jour, et l'on complète " le plus grand des ny< bthemères. 11 est certain qu'en « supprimant une partie du mot parârtîd'a, on en fait «parâr (j^j-î), ce qui signifie le ciel entier. Les noms «des ordres (des nombres) jusqu'au dix-huitième «sont ceux qui se trouvent dans le tableau ci-con-

c'esl-à-dirc de 43i millions Je millions de millions de millions

1 Les dix-huit cases contiennent, suivant l'ordre, les noms des nombres suivants :