INTRODUCTION DES CHIFFIIES INDIENS CHEZ LES ARABES D'ORIENT

Les recherches qui précèdent ont eu pour but de faire connaître des faits et d'établir des probabilités qui nous permettent d'observer sans interruption la marche que les chiffres ont suivie depuis leur invention dans l'Inde jusqu'à leur emploi actuel en Europe, de tracer pour la première fois un tableau d'ensemble du chemin qu'ils ont pris à travers les temps et les nations, et dont on n'avait examiné jusqu'à présent que des parties isolées.

Nous avons vu que l'idée de la valeur de position et du zéro doit être, dans l'Inde, aussi ancienne

au moins que la notation numérique qui emploie des mots symboliques et dont il est fait usage dans le Soûrya-Siddhânta. Mais cette notation elle-même peut être antérieure de beaucoup à la rédaction du Soûrya-Siddhânta , elle peut même être antérieure à l'usage de l'écriture , de laquelle elle est complètement indépendante, et qui ne paraît guère avoir existé dans l'Inde avant les commencements du bouddhisme *. L'existence des chiffres, au contraire, suppose celle de l'écriture, et la comparaison des chiffres gobâr et des chiffres employés dans les manuscrits latins du moyen âge avec les alphabets recueillis par Prinsep paraît indiquer à peu près les premiers temps de notre ère comme l'époque de l'invention des chiffres ; je veux dire qu'à cette époque probablement on commençait à se servir, dans l'Inde, des initiales des numératifs sanscrits qui désignent les neuf unités , et de l'initiale du mot çoûnya , comme de signes particuliers auxquels on donnait la valeur de position avec l'idée de laquelle on était familiarisé depuis longtemps.

Les relations suivies qu'un commerce florissant établissait entre la ville d'Alexandrie et la côte occidentale de l'Inde favorisaient, entre les Grecs et les Indiens, un échange de leurs connaissances scientifiques. Il paraît donc tout naturel que les Grecs, observateurs originaux en astronomie et excellents géomètres , aient communiqué aux. Indiens leurs

1 Comparez Mueller, History of ancient sanskrit Uterature. London , 1860, in-8°, p. 497 à 5 2 4.

théories astronomiques 1 , ainsi que le calcul sexagésimal dont ils faisaient usage en astronomie, tandis que les Indiens, spécialement doués pour la spéculation métaphysique et pour l'étude des propriétés des nombres, donnèrent une partie de leurs doctrines philosophiques et leurs chiffres aux Néopythagoriciens d'Alexandrie.

Ceux-ci ne manquèrent pas d'enrichir la masse do leurs découvertes pratiques ou abstraites sur la n.iline dus nombres, d'un élément aussi précieux, (il donnèrent aux chiffres des noms dont les étymologies gréco-sémitiques révèlent l'époque de syncrétisme a laquelle ces noms durent leur origine. Ku même temps, les Néo pythagoriciens reconnurent, dans les chiffres indiens, le moyen de transl'oinu'i' l'ahacus manuel des Grecs et des Romains M) un ahacus écrit; mais, n'osant pas s'affranchir entièrement de la forme de l'abacus, familière aux peuples auxquels s'adressaient leurs doctrines, ils ne purent assigner son usage propre au zéro, qui resta

1 Tel est le résultat, entrevu déjà par Delambrc dans son Histoire de l'astronomie ancienne, auquel sont arrivés Colobrookc dans la préface de son Algebra, etc. from tke sanscrit, et Biot dans ses Etudes d'astronomie indienne. (Comparer Trandiiiinu n[ t)\? Hùrva-Siddhânta , liy E. Burgeas assifltcd by thc. commiltceof publ. ofllie amer, orient. Sne. Newliaveu, 1860, in-8°, p. 3ag à 33 l.) On a été enclin aussi à songer A mie influence grecque pour l'al^i'bie indienne; mais je pensu que ce point d<-ni;inùY encore à être mieux approfondi avant qu'on puisse espérer d'arriver à un résultat un peu sûr. Avec les données bisloriquis que nous pnsséduiis jusqu'à piési'nl , rien ne nous impMicrail pi'iil-ètie d'admettre aussi bien une influence indienne »nr l'a Igi' lire grecque.

remplacé par le tableau à colonnes. G est sous cette forme que les Néopythagoriciens répandirent l'arithmétique pratique, fondée sur le principe de la valeur de position décimale , chez les nations latines , et c'est sous cette forme que nous la trouvons dans le passage de Boèce (que Boèce en soit réellement l'auteur ou non) , chez Gerbert et ses prédécesseurs, et dans les traités latins du moyen âge «jusqu'au commencement du xii e siècle.

Au vii e siècle, les Arabes commencèrent la suite de conquêtes qui aboutirent à la formation de l'empire des khalifes. J'ai déjà montré qu'ils adoptèrent les lettres numérales grecques et coptes en Syrie et en Egypte, et très-probablement, en Espagne, les chiffres indiens et le système de l'abacus, que les Néopythagoriciens avaient introduit dans l'occident de l'empire romain. Les Arabes avaient, en outre, la ressource d'écrire les numératifs tout au long, usage qu'ils ont conservé concurremment avec celui des chiffres, quelquefois même dans l'exécution de calculs, encore longtemps après que les chiffres et leur emploi leur furent parfaitement connus.

Une autre notation que les Arabes paraissent avoir adoptée de bonne heure, probablement à l'imitation des Syriens ou des Juifs *, est celle des lettres de leur

1 Je fais observer du moins que la valeur numérale des lettres arabes s'accorde avec l'alphabet numéral syriaque et hébreu , mais non avec l'alphabet numéral grec. Dans une notice sur les Anecdota Syriaca de M. Land, M. Wright donne (p. 16 à 18 du tirage à part) des détails intéressants sur d'anciens chiffres syriaques qui se trouvent dans des manuscrits appartenant principalement à l'espace

J. As. Extrait n° 1. (i863.) 9

propre alphabet, en donnant ù celles-ci des valeurs numériques. C'est même le mode de notation que les Arabes paraissent avoir considéré comme leur appartenant essentiellement et de préférence, car ils l'appellent l'arabe j;,*Jl.

Une circonstance qui peut-être n'a pas été suffisamment remarquée, me paraît indiquer que cette notation ne fut introduite, chez les Arabes, que vers la fin du i" siècle de l'iiégire, au plus tôt. En effet , les lettres numérales servant ;i désigner les dizaines supérieures à 5o, les centaines et mille, ne sont pas tout à fait les mêmes dans l'écriture africaine et dans récriture asiatique ' ; et il me semble

compris entre le vi" et le lx* siècle de l'ire chrétienne. Ces chiffres . dont la formation repose sur le principe de la juxtaposition, sont étrangers à la question oui l'ail l'objet du ju -l'ai ut mémoire. Mais ce qui n'est pas sans importance pour le point que je discute en ce moment, c'est une observai ion de M. Whl'IiI [toc. cil. p. i 6 , lignes as et n3), d'après laquelle, dans un grand nombre des plus anciens manuscrits syriaques du Bnlish Muséum (ce qui noua reporte, au moins, an Vl" siècle de notre ère) , tin trouve employées, conjointement avec ces chiffres, les lettres de l'alphabet pour numéroter les cahiers des manuscrits. Je remarque aussi que le tableau de ces chiffres que M. Wright reproduit [loe. cil. p. îli) d'après le manuscrit n°id630. donne précisément les signes pour les nombres qui correspondent aux 1 étires de. l'alpbalnl numéral, et s'arrête, comme l'alphabet numéral , au nombre o.oo. On doit peut-être conclure de ce fait qu'à réplique où les chiffres dont il s'agit étaient en usage l'alphabet numéral était, non-seulement employé, comme le prouve déjà M. Wright, mais aussi considère en quelque sorte comme la notation normale e( plus autorisée.

1 Chci les Arabes d'Orient, le jw vaut Go, le j ç,o, le , ù 3oo, , le Jj 900 et le 4. 1000; au contraire chez les Arabes e -j vaut 60 , le ~s 00 , le , „ 3oo , le s 800 , le t. 900

le -a

TAIn...

que l'on peut conclure de là que l'usage de l'alphabet numéral chez les Arabes est très-probablement postérieur d'un certain temps, peut-être même de beaucoup, à la conquête du nord de l'Afrique et de l'Espagne. D'autre part, l'introduction de cette notation doit être antérieure au milieu du iv e siècle de l'hégire, car dans un manuscrit de la Bibliothèque impériale de Paris 1 , écrit à Chîrâz, entre 358 et 36 1 de l'hégire, j'ai trouvé deux tables de triangles rectangles numériques 2 dans lesquelles toutes les lettres numérales, jusqu'à £ = îooo inclusivement, sont employées (selon la manière de l'écriture orientale).

J'ai montré aussi, par la traduction de la préface d'un traité de Mohammed Sibth Almàridînî, sur le calcul sexagésimal 3 , que les Arabes se sont servis, pour les tables astronomiques, de la notation alpha-

1 N° 95 a* du Supplément arabe. J'ai donné une description détaillée de ce manuscrit dans un mémoire intitulé Etsai d'une restitution de travaux perdus d'Apollonius sur les quantités irrationnelles, t. XIV des Mémoires des savants étrangers de l'Académie des Sciences, p. 663 à 671.

* J'ai traduit et commenté le traité dont ces deux tables font partie > dans un mémoire intitulé Recherches sur plusieurs ouvrages de Léonard de Pise, etc. III. Traduction d" un fragment anonyme sur la formation des triangles rectangles en nombres entiers, et d'un traité sur le même sujet par Abou Dja'far Mohammed Ben Alhoçaïn ( Atti deir Accademia Pontificia de* Nuovi Lincei, anno 1861, vol. XIV, p. 21 là 227, 241 à 269, 3oi à 3a4, et 343 à 356). Les deux tables dont il s'agit se trouvent loc. cit. p. 355.

3 Voir le mémoire ci-dessus cité Sur l'introduction de l'arithmétique indienne en Occident, pages 66 à 70, et particulièrement page 68, lignes a5 et 26.

lietiqui' prclerableiiient aux cliilTres. Il parait qu'ils trouvaient, pour cet emploi, Ja notation alphabétique plus expéditive. Outre que les paroles de l'auteur que je viens de citer le confirment, cet usage Ml constaté par les manuscrits arabes qui contiennent des tables astronomiques, et dans lesquels on ne rencontre que rarement des chiffres. Les Arabes M -servaient quelquefois de ceux-ci, dans les quaniiit s.tstronomiqiies, lorsqu'il s'agissait d'exprimer de grands nombres, par exemple des nombres de demies .supérieurs a celui de la circonférence '. Cependant il n'eût pas été nécessaire de faire cette exception A la règle; carie calcul sexagésimal, de même qu'il avait subdivisé le degré en minutes, secondes, tierces, etc. avait conçu des ordres ascendants, supérieurs au degré, de sorte que, si on voulait, on n'éltiit jamais obligé de dépasser, dans la notation, le nombre 5g. Une circonstance qui me paraît indiquer aussi une relation toute parliculière entre le l'ttleul sexagésimal et la notation alphabétique, c'est

Sue c'est précisément à partir du nombre 60 , inutile, v même que les nombres supérieurs à 60, dans le wttHil sexagésimal rigoureusement entendu, que HHMO01 lu divergence entre les notations alphalionque* africaine et asiatique.

| . .1 toi le lieu de faire observer qu'il faut distin-

.,11! t le /iiu de la notation alphabétique, c'est-à-dire

■ .Irsiinéà indiquer l'absence d'un ordre dans

'. iHftNr Joiint. asial. cahier d'avrii-mai 1860, p. 587. a86 el

les tables astronomiques et dans d'autres tables semblables , du chiffre zéro. Le zéro alphabétique des tables arabes , de même que le zéro des Juifs \ me paraissent être une imitation du zéro des tables astronomiques grecques , lequel était un omicron sur* monté d'un trait, probablement comme abréviation du mot oùSév 2 .

Je fonde cette opinion sur une comparaison attentive du zéro de la notation alphabétique sexagésimale des Arabes , tel qu'il se trouve dans des manuscrits arabes appartenant à différentes époques, avec le signe qui indique l'absence d'un ordre dans les manuscrits de la Grande Syntaxe de Ptolémée

1 Voir le mémoire de M. Vincent Sur les notations scientifiques à V école d'Alexandrie, 'Revue archéologique du 1 5 janvier 1 846 , p. 607.

* D'après une autre opinion , on aurait choisi l'omicron pour désigner les places vides , parce que c'était la première lettre de l'alphabet après celles qui trouvaient un emploi dans la notation sexagésimale rigoureusement entendue. Mais cette opinion repose sur une double erreur. D'abord, si nous avons égard à ce qui a lieu dans la notation sexagésimale rigoureusement entendue, c'est le £ = 60, et non le o = 70, qui est la première lettre qui n'y trouve plus d'emploi. Car la notation sexagésimale rigoureuse, aussitôt qu'elle arrive à 60 unités d'un ordre quelconque, les remplace par l'unité de l'ordre immédiatement supérieur. Ensuite, si nous avons égard à ce qui se pratiquait réellement, nous n'avons qu'à ouvrir l' Aimageste pour y voir l'omicron parfaitement employé avec sa propre valeur de 70 dans les tables de quantités sexagésimales, par exemple pour marquer 70 degrés dans les latitudes des étoiles. L'extension des ordres sexagésimaux dans la direction ascendante , la création des sexagènes , n'est qu'un perfectionnement postérieur dont les commencements se trouvent chezThéon. (Voir Encyclopœdia Métropolitain, vol. I. London , i845 , in-4°, p. 4o5 , col. 1". Theonis Alexandrini in Claudii Plolemœi Magnam Constructionem commentariorum libb. XL Basile», i538, in-fol. p. 217.)

que possède la Bibliothèque impériale de Paris, et particulièrement dans un de ces manuscrits, écrit en lettres onciales, datant du ix* siècle de notre ère 1 , et coté ancien fonds grec n° a38g.

Cet admirable et précieux document nous place au milieu des temps mêmes où les Arabes apprirent à connaître l'Almageste dans des manuscrits originaux. Car, si les premières versions de cet ouvrage , faites sous les auspices des Barmequides, n'eurent pour base peut-être que des versions syriaques, la traduction arabe définitive, corrigée parTbâbitBen Korrah (mort en 288 de l'hégire, 901 deJ. C), fut faîte et revue sans doute sur des manuscrits grecs 2 . C'est en effet le ix e siècle et déjà la dernière partie du vin* siècle qui forment principalement l'époque où, sous l'impulsion des plus puissants et des plus éclairés des khalifes abbassides, notamment d'Almàmoùn , les manuscritsgrecs furent , en grand nombre el à grands frais, d'abord apportés a Bagdad, puis traduits et commentés avec un zèle extraordinaire. Dans le manuscrit 238o a. f. grec, le zéro sexa-

1 Voici le passage, du Catalogue relatif à ce manuscrit : «MMCCCi.WXI \.CodfS iiiiiiilirnir.ii-ciiji, rjnocoiiLinenturC/anrfii « Plolcmœi magna: coiistnictioiiis Mb ri Irnlccim, Is codei litleris on- «cinlibus nono sapculn cîiaratus viiMliu.- [Cfii,il,iyus tvtïicum manuscriptarum Bibtiotlicite reyite. Toinus sicimdns. Parisiis, 17^0, in-fol. p. âg3, a* col.) D'après Halma, 1. 1 , p. xlvi de son édition de l'Aimogeste. ce manuscrit appartiendrait même au tu' ou Tin', sinon

1 Voir Wenrich . De auclorum Gracnrum 1 eninnibus nii Syriacii, Arabica, ârmeatacis. /Vfsit «(;<«.. Lip-uc. p. ik à3o,et î37, 2j8.

gésimal a constamment l la forme d'un omicron surmonté d'un trait fin , terminé à droite et à gauche par deux points plus forts et tournés vers le bas. Ce trait est tantôt plus court q 1 , tantôt plus long t q^; quelquefois le point à gauche est tourné en haut q\ ce qui s'explique par la direction du trait de la plume ; on remarque aussi des cas où le trait superposé s'est tellement rapproché de l'omicron, qu'il a fini par le toucher l "{p, *"fl~\

Ces formes 2 sont les prototypes les plus parfaits de celles que nous rencontrons dans les manuscrits arabes.

1 II va sans dire que , dans un manuscrit où un même signe se trouve répété des milliers de fois, de quelque façon que Ton précise la manière dont ce signe est formé, on pourra signaler quelques exceptions. Ainsi dans le catalogue d'étoiles, lorsque les degrés et les fractions de degrés manquent à la fois , les deux omicrons qui marquent cette absence sont surmontés quelquefois d'un seul trait placé au milieu au-dessus ; j'ai remarqué aussi l'omicron surmonté d'un signe qui ressemble au signe du bélier de nos calendriers, ou d'un simple trait non terminé par des points plus forts , ou sans aucun trait , ce qui est un véritable oubli du copiste , eu égard à la signification de l'omicron comme 70. Mais ces exceptions sont très-rares.

* Les autres manuscrits de l'Almageste que possède la Bibliothèque impériale, cotés ancien fonds grec 2390 à a 396, appartiennent à des époques plus modernes , depuis le xm* jusqu'au xvi* siècle, et ne peuvent, par conséquent, fournir des arguments décisifs pour la question que je discute en ce moment. Voici cependant les résultats de l'examen auquel j'ai soumis ces manuscrits. Dans le n°s39o (du commencement du xm* siècle) , le zéro sexagésimal est un omicron surmonté d'un trait ondulé ou d'un trait droit; dans le n° 2 391 (du xiv* siècle), c'est un omicron surmonté d'un trait très- légèrement ondulé. Dans le n° 2392 (du xiv* siècle) , c'est au commencement un omicron surmonté d'un trait légèrement ondulé ou droit; mais dans la majeure partie du manuscrit, environ à partir du

Dans le manuscrit ci-dessus mentionné, écrit à Cliîrâz environ en 970 de notre ère, le zéro a bétique est formé comme il suit 5", ce qui n'est autre chose que l'omicron surmonté de la ligne droite, tonné d'une manière cursive de façon à pouvoir être écrit d'un seul trait. Ce signe figure, dans ce manuscrit, un grand nombre de fois dans des tableaux relatifs à la composition des rapports, pour indiquer que certaines combinaisons n'ont pas lieu. Ces tableaux font partie d'un traité de Thàbit Ben Korrah , dans lequel cet auteur désigne le zéro alphabétique dont il s'agit parle mot j**s [vide] ', qui sert aussi. comme on sait, à désigner le chiffre zéro.

Dans une copie en caractère africain de la traduction de l'Almageste fuite par Honaïn Ben Ishâk et revue par Thâbil Ben Korrali, copie contenue dans le n° i 1 07 de l'ancien fonds arabe de la Bibliothèque impériale et datée du mercredi 28 chawwàl de Tannée 618 de l'hégire ( i5 décembre 1231 de

Jll'livre, o'ert presque constamment h, l'abréviation bien connue de la combinaison o-j, cirrausliinci; qui paraît corroborer l'opinion que le signe aei âgé si mal iluiii il s'nuilest lui-même une abréviation du mot aiiiv. Dans le 11° 2 3y3 (copié rn i j iS). le signe qui indiqua les ordres absents est un omicron surmoulé d'un trait droit ou ondule; dans le 11° =3oi (delà un du xvi" siècle), c'est un omicron surmonté d'un Irait droit, qui souvent s'en rapproche jusqu'à le loucber, ce qui produit non rarement la figure -ç; enfin dans le a' 33g5(du xvi* siècle 1, c'est un omicron surmonté d'un trait droit, rarement d'un Irait ondulé; du reste, dans ce manuscrit, presque toutes les laiiii's siinl laissérs en blanc.

1 Voir, par exemple, ms. 951' suppl. ar. de la Bibliothèque impériale , fol. 63 v*. 6S I», 65 1*. 67 r°. Comparer ;

J. C), ie zéro sexagésimal est formé comme il suit "tt, forme qui dévie quelquefois en "Ç". La première de ces figures 1 est tout à fait celle de l'omicron dont le trait superposé s'est rapproché jusqu'à le toucher; la seconde figure forme la transition à celle qui a été reproduite dans le Journal asiatique, cahier d'avril-mai 1860, p. 287, lignes 7, 12, i3, 18, et p. 288 , ligne 5, d'après un manuscrit arabe, copié à Soultâniyeh en i3^2 de notre ère, et appartenant à M. SchefFer.

Une donnée particulièrement intéressante se trouve dans le manuscrit 9672 du supplément arabe de la Bibliothèque impériale, qui est écrit en caractère oriental. Ce manuscrit renferme une copie, faite en 1 546 de notre ère 2 , du traité de Mohammed Sibth Almâridînî 3 sur le calcul sexagésimal, et la préface de ce traité contient 4 un passage conçu

1 La première de ces deux figures est aussi la forme du zéro sexagésimal employée dans une copie de TUranograpLie d'Abdourrahmân Alsoûfï (contemporain du célèbre Adhad Aldaoulah), copie écrite en caractère africain, paraissant fort ancienne et contenue dans le manuscrit 1111 ancien fonds arabe.

' Au verso du feuillet dont le recto est numéroté Y \Y , près de la fin du traité dont il est ici question , on trouve comme date de copie la fin du ramadbân de Tannée 953 de f hégire (2a novembre i546 de notre ère).

3 Bedr Eddîn Mohammed Sibth Almâridînî florissait au commencement du x* siècle de l'hégire; il termina un de ses nombreux ouvrages en 880, et mourut probablement en 934 de l'hégire.

4 Ligne avant -dernière de la page du manuscrit qui forme le verso du feuillet numéroté Yàà , jusqu'à la ligne 1 de la page numérotée r*d*1.

me il suit ' : « Si dans quelques-uns de ces ordres «il ne se trouve pas de nombre, posez à sa place «un zéro qui maintiendra les nombres dans leurs «ordres, de manière à empêcher que l'espèce d'un «nombre ne soit changée. La forme du zéro est «comme il suit m, ou ainsi TJ, ou ainsi ^\.s Une glose marginale ajoute encore «ou ainsi tr, ou ainsi « m. » La quatrième de ces cinq formes est celle que je viens déjà de signaler dans les manuscrits i 107 et 1 i 1 1 de l'ancien fonds arabe. La cinquième est celle de l'ancien manuscrit grec n" a38g, le Irait superposé à l'omicron s'étant tout à fait rapproche de celui-ci, et les deux points plus forts qui terminent ce trait ayant pris plus d'extension. De cette forme est résultée la première des cinq formes, l'omicron suspendu au trait horizontal s'étant réduit à un simple trait. La deuxième des cinq formes est celle que nous avons déjà remarquée dans le manuscrit de M. Scheffer, éeril à Soultàniyeh, et dans les manuscrits ancien fonds arabe i 107, et ancien fonds grec 1 3gi. Enfin, la troisième des cinq formes est une modification de la première , et le manuscrit même nous laisse voir comment ce changement s'est fait ; car le copiste emploie dans le courant du traité très-souvent les deux formes m et'Ç", ainsi qu'une troi-

-liWiJl ,j*Ài jAAiJ' ^A Ij1^jcù.! L*j>ij^> j .Mo— c-ït Jîb ^ ;

sième qui leur sert de transition, à savoir ev). La forme ^ ne s'y trouve que rarement employée.

Ce qui confirme l'opinion que je viens d'émettre, à savoir que toutes ces formes arabes du zéro sexagésimal dérivent de celle que les Arabes avaient trouvée primitivement dans les manuscrits astronomiques grecs, c'est que les formes arabes s'écartent de la forme originale grecque et se diversifient, au fur et à mesure qu'elles appartiennent à des époques plus récentes.

La plus importante des notations numériques employées par les Arabes fut celle des chiffres indiens. Il est possible que les Arabes aient appris à connaître ces chiffres dès le commencement du vni* siècle de notre ère, époque à laquelle une armée arabe, envoyée par le célèbre Hadjâdj, et commandée par Mohammed Ben Alkâcim , soumit toute la vallée de l'indus 1 . Mais il est plus probable que cette communication des chiffres indiens aux Arabes n'eut lieu qu'en 773 de notre ère, lorsqu'une ambassade indienne apporta à la cour du khalife Almancoûr un traité d'astronomie indienne. Cet événement est raconté par l'auteur du Târîkhal-Hoqamâ, dans les termes suivants 2 :

ZJuJJL ^c p«X* Ait «XibJl jjàju ô^l^ujfl x&j 4

1 Voir Reinaud, Fragments inédits relatifs à Vlnde, p. 191 et suiv. * Manuscrit 672 du supplément arabe de la Bibliothèque impériale, p. 322, 1. ii, à p. 2 23, 1.6.

f-JSftf £* *=^)S i**aj !x«i^J iijy~*& taWijSje 53j-«Jt*

.V>,™-3^ CAjlTj ^JUJ ^bHkJ JÙgJi L^J jX* y-. iiUj Jl Aj,-—-L-l

tjtff-»- i 5*— w! OjjJI o.Xâ^j ijL^5 *i* Otij!! glj

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4-**l jw« Jt J0w iil>i 5 Joli Ju4ij JoiUïJI £ Xt)U.j cj-JLi-tj ( jw ^ *^.ia. .i i-JJu je Aij (j«^wJl J^*j u-jjLII ^j ia-i Lç ^J J) ÂJLwo- Lj1j-jI V^**" flyl fcr* ***

1 Le leïte manuscrit porte j , mais Cnsiri (I. I, p. 4ig, fig. g remonlanl] u qa, leçon qui me paraît préférable. 1 Le teitc manuscrit porte jjlfî. J'emprunte la leçon (j|, , qui I parait meilleure à CmUÎ , toc. tiutd.

Jî-wAJLjJl i kJu^> ^c Jl^Jl fcjjjJI UaJÎ y* M-ke Jl JsuJuull, ^LuJI JM aàs Uib Jlj u, gttfl A **

«Alhoçaïn Ben Mohammed Ben Hamid, connu «sous le nom d'Ibn Aladami, rapporte dans sa (i Grande Table, connue sous le nom du Collier de «perles, qu'il se présenla devant le khnhTe Alman- «çoûr, dans l'année cent cinquante-sis., un person- « nage venu de l'Inde, Irès-versé dans le calcul « connu sous le nom du Sindhind (Siddhânta) et «relatif aux mouvements des astres, possédant des « méthodes pour calculer les équations , fondées sur «des cardadja ' (sinus) calculés de demi-degré en «demi-degré, et en outre diverses espèces de pro- « cédés astronomiques pour déterminer les éclipses « du soleil et de la lune, les coascendants des signes « de l'écliptique, et d'autres choses semblables. (Tout « cela était contenu) dans un ouvrage composé d'un « certain nombre de chapitres, ouvrage qu'il disait « avoir extrait des Cardadja portant le nom d'un des

1 Le mot cardadja [c.nr,li :i l,i , riif,h:ija.\. al ler.it ion du sanscrit liramajyû, s'est conservé dans les traités latins du moyen âge, écrits sous l'influence de la tradition indienne, lransuii.se par les Arabes (par eiempte a. f. lttt.de la Bibliolliéunc irupénale, n" -/iqti A, Tôt. toa et suiv.). Du moyen âge il a passé aux modernes où on le trouve encore chei des auteurs assez récents. On l'a employé pour ilésignei certains area fuiidtinienliiui dans la cous» ruetion des tables de sinus.

u rois indiens appelé Figar, et qui étaient calculés ii pour une minute 1 . Almançoiir ordonna que cet

1 Jusqu'à présent aucun des auteurs qui ont cilé ce passage n'a songé A restituer la forme sanscrite du nom que le texte arabe rend par yL-J- Je considère comme certain qne ce nom est Vyiufra, H qu'if s'agit du roi Vyàij' ra mo uk'a , sons le règne duquel Bratimagoupta, âgé alors de trente ans, composa (et auquel peut-être il ikili.i) mmi l;ri<lmui-.'i''ouUi-tù}<f<'mla en G28 de notre ère. Ce Tait est établi par Bliâo Dâji dans un article récemment publié que cite M. Weber (Actet de f Académie de Berlin, 186a , p. 9) , mais que je n'ni pas pu me procurer. L'astronome indien qui arriva à Bagdad en 773 de J. C. avait donc très-probablement extrait son ouvrage de celui de Brabmagoupta. Cette circonstance donne une nouvelle confirma tin 11 A l'opini'Hi tic Culebrnoke ( .ilijebra, etc. p. LXv, lig. 4 A ï5). d'après laquelle le système astronomique désigné parles Arabes sous le nom de Sindliind est celui qui est exposé dans l'ouvrage de Brabmagoupta, dont ColebrooLe nous a fait connaître, par sa belle traduction, des parties importantes. Si cet ouvrage est appelé ici « les Cunltdjii du roi Vyàglira, > c'est probablement une désignation non indienne, mais arabe , qui s'eiplique par l' importance fondamentale des sinus pour le système. La table des sinus est en effet la base de (oui calcul trigononiétrique et parlant de tout calcul astronomique. L'identité du mot Sindhind avec sïdd'tinla, que Colcbroolie a clé également le premier ù soupçonner, n'est plus, je pense, révoquée en doute par personne; au surplus, elle est explicitement constatée par Albiroûni dans le xiv" chapitre de son ouvrage sur l'Inde. Au même endroit, Aibirounî donne la table suivante des titres des chapitres du Brahnia-Siddhâ nia de Brahmagoupta :

■ i" De ce qui concerne la sphère , ej de la configuration du ciel et > de la terre. 2° Des révolutions des planètes, de l'emploi des périodes de temps, de la dé lermi nation des longitudes moyennes des .planètes, et delà construction des sinus des arcs. 3° Des longitudes

■ vraies des planètes, a" Des trois quantités demandées, a savoir, de . l'ombre, de la parlie passée du jour, et du point ascendant, et de 1 la manière de les déterminer les unes au moyen des autres. 5" De « l'émenion et de l'immersion Je* plunètes par rapport aux rayons j du «oleil. 6° De l'apparition de la nouvelle lune et de l'état de ses • dem cornea. 7° De l'éclipsé de la lune. 8° De l'éclipsé du soleil.

■ n" Un l'ombre de la lune. 10° Du pass.itte ries planètes auprès de*

<( ouvrage fût traduit en arabe , et que Ton composât, d'après (cette traduction), un ouvrage que les

étoiles, et de leurs conjonctions. n° Des latitudes des planètes. ia° De la critique du contenu des traités et des tables astronomiques , et de la manière de distinguer ce qui est juste de ce qui est défectueux. 1 3° Du calcul et de son application à la géométrie pratique et à d'autres usages. 1 4° De la rectification * des longitudes moyennes des planètes. 1 5° De la rectification des longitudes vraies des planètes. i6° De la rectification des trois quantités demandées. 17 Des déflexions [c^lâL^f évidemment traduction du terme sanscrit valana] des éclipses. 1 8° De la rectification de l'apparition

de la nouvelle lune et de ses deux cornes. 1 9 Du houttaha ( (JXXjT) ,

ce qui signifie l'action de broyer, expression par laquelle on entend assimiler l'effort dans la recherche à une action de broyer de laquelle résulte l'intelligence; cela veut dire : de l'algèbre, y compris les équations renfermant plus de deux termes , et d'autres problèmes concernant les nombres. 20 De ce qui concerne l'ombre. 2i° Des calculs des mesures des vers et des mètres. 3 2° Des cercles et des. instruments. 23° Des saisons et des quatre modes de mesurer le temps, à savoir le solaire, le sidéral, le lunaire, et celui qui se rapporte aux mansions lunaires. 2 4° Des notations employées pour les nombres et les chiffres dans le contexte d'ouvrages écrits en vers; Ce sont vingt-quatre chapitres. L'auteur dit : Et le vingt- cinquième est le jyyânagrahâ&yâya [je pense du moins que c'est le mot sanscrit qu'Albîroûnî a voulu rendre en écrivant

UoLbJCliUo], et ce qui en résulte est la résolution des problèmes par le raisonnement, sans emploi du calcul. Je n'en ai pas fait mention ici , parce que les raisons sont inhérentes au calcul , et je crois que ce que l'auteur veut indiquer sont les démonstrations irdes opérations ; car sinon, quand donc arriverait-on à un résultat «quelconque dans cet art, sans l'aide du calcul?» (Comparez Colebrooke, Algebra, etc. p. xxviii, note B.)

Il faut examiner encore ce qu'Ion Aladamî a voulu dire par l'expression : c calculés pour une minute. » S'il avait voulu exprimer que

1 Ou «vérification». Le mot arabe est tahkîk. Il faudrait pouvoir examiner le texte du Brahma-Siddhànta pour décider d'une manière sûre laquelle des deux significations doit être adoptée ici. La même remarque s'applique aux titres des chapitres 1 5, 16 et 18.

«Arabes pussent prendre pour base (de leurs cal- «culs) des mouvements des planètes. Ce travail fut

les sinus étaient calculés de minute en minute, il aurait probablement dit *iu3 3 ÏJLJJOJ ii «j nr ^ En même temps, il est peu vraisemblable qu'un ouvrage indien ait contenu une table de sinus calculés de minute en minute ; car dans la table du Soûrya-Siddhânta , les sinus sont calculés de 2 25 minutes en 2 25 minutes; et dans l'appendice du Siddbânta-Cirômani , achevé en 1 1 5o de J. C. , des deux méthodes enseignées pour la construction d'une table de sinus , lune donne les sinus de degré en degré , et l'autre encore de 2 2 5 minutes en 2 25 minutes. Je crois donc que l'expression du texte veut dire que, dans l'ouvrage dont il s'agit, les sinus étaient calculés à une minute près, ou en négligeant les fractions de minute. Tel est en effet le caractère des méthodes indiennes, aussi bien dans le Soûrya- Siddhânta que dans le Siddhânta-Cirômani. On fait le rayon égal à 3438, ce qui est le nombre des minutes contenues dans un arc égal au rayon. La valeur plus exacte serait 3437,7668. L'unité du calcul est alors la minute , et c'est ce que, je pense, l'auteur a voulu dire. S'il mentionne plus haut des sinus calculés de demi-degré en demi-degré, cela parait indiquer que l'Indien, arrivé à Bagdad, avait complété sa table par des interpolations, probablement afin qu'elle ne parût pas inférieure à la table des cordes de Ptolémée, qui est également calculée de demi-degré en demi-degré. Mais en réalité cela était inutile, parce que, si l'on se borne à une exactitude aux minutes près, les interpolations se font très-aisément, au moyen d'uno simple proportion. Delambre (Hist. de l'ast. anc. 1. 1, p. 46o) remarque que Playfair [Transactions ofthe Royal Society of Edinburgh, t. IV, partie II, p. 83 et suiv.) «ne dit pas pour quelle «raison les Indiens se seraient bornés aux arcs multiples de 3°;,» sans cependant répondre lui-même à la question qu'il pose. Dans une note publiée en i854 dans le t. XIII des Nouvelles annales de mathématiques, j'ai cru pouvoir indiquer cette raison de la manière suivante (page 390) : «Les Indiens connaissent les formules

«sm

ôo = j rayon =1 7 1 9 , sin -= ( 1 , r a = sin *a -4- cos *a\

« conséquemment ils peuvent déterminer, par des bissections suc- «cessives, les sinus de i5°, de 7 3o', de 3° 45', toujours exprimés « en minutes. Or, dans cette succession de sinus , celui de 3° 4 5' est « le premier qui contient le même nombre de minutes que l'arc auquel il

«confié à Mohammed Ben Ibrahim Aifazârî, qui « rédigea , d'après le* ( traité indien ) , un ouvrage «que les astronomes appellent le Grand Sindhind. « Le mot Sindhind signifie , en langue indienne , la « durée éternelle. Ce furent surtout les savants de «ce temps-là qui opérèrent d après (les théories ex- « posées dans) cet (ouvrage) jusqu'à l'époque du «khalife Almâmoûn. Pour celui-ci un abrégé de «cet (ouvrage) fut rédigé par Aboû Dja'far Moham- «med Ben Moûçâ Alkhârizmî, qui s'en servit aussi «pour composer ses tables, célèbres dans les pays «de l'islam. Dans ces tables, il se fonda sur les «moyens mouvements du Sindhind, et s'en écarta « pour les équations et la déclinaison. Il établit ses « équations d'après les méthodes des Persans , et la «déclinaison du soleil à la manière de Plolémée. «H proposa aussi, dans cet ouvrage, de belles règles « inventées par lui pour diverses espèces d approxi-

« correspond; donc, si Ton ne demande qu'une exactitude aux mi- «nutes près, on s'arrêtera naturellement au sinus de 3° A 5', parce cque les sinus des arcs plus petits seront à plus forte raison égaux à « ces arcs , et s'obtiennent par conséquent sans calcul. » J'ajouterai encore que le terme technique arabe pour sinus, <>£>> a été évidemment, dans l'origine, la transcription o^o^ du mot sanscrit.

jtvâ, signifiant proprement la corde d'un arc avec lequel on tire, et employé ensuite, comme synonyme de j^d, pour désigner en trigonométrie le sinus. Cette identité de Owç> avecjfrd* reconnue déjà par M. Munk, est une preuve de plus que les Arabes ont dû aux Indiens la connaissance des sinus. Le latin du moyen âge a ensuite

rendu o*^ par sinus, comme si le mot était o^s> (racine c jb>

secnit)> qui signifie en effet la poche formée sur la poitrine par l'ouverture d'un vêtement.

J. As. Extrait n° i. (i863.) io

«mations, mais qui sont insuffisantes à cause decerh taines erreurs évidentes que l'ouvrage renferme, et » qui montrent la faiblesse de l'auteur en géométrie. «Ceux des astronomes de ce temps-fa qui suivaient «les méthodes du Sindhùid apprécièrent beaucoup «cet ouvrage et le répandirent rapidement au loin; « et il est encore aujourd'hui très-recherché par les «personnes qui s'occupent du calcul des équations « des planètes, n

C'est probablement à la même époque, et peutêtre à la même occasion, que les Arabes reçurent un traité indien d'arithmétique, relativement auquel

l'auteur du Târîkh al-Hoqaraâ s'exprime comme ii

suit 1 :

*k — ; ^ JJI à<>ixJ1 yUa. *^*jJi£ ^.t LfcjJI J-tsj L C^— , e>L«j- j-»jf j-Aj ^jjlj-il <$»j-^ (jJ •*j£ jÀxa- fi -^1 <XJi$U O^Û-i !>X£.U Ak-g-Jj il^LiLï *-y-Sl) Sy*a-) } jU*-i-JIt JL*Sj~jj J^*Jj iJI (jj-^^-a-j ^t>lj=l e^-v

« Parmi ce qui nous est parvenu , en fait de leurras

«sciences 2 , (il faut mentionner aussi) le (irai ""*e «de 3 ) calcul numérique reproduit sous une fornne « plus développée par Aboû Dja'far Mohammed Ben

1 Manuscrit 67 s, supplément arabe de la Bibliolbèipe impériil^ • p.xo.l. ,i.o.

* C'est-à-dire des sciences des Indiens.

3 Casiri(t.I,p.à37,lig.8enremonlanl)aJojJI tjL^. ^X^^J au lieu de -liMJI ujL- a. simplement.

u Moùçà Alkhârizmî; c'est la méthode de calcul la «plus compendieuse et la plus expéditive, la plus «facile à saisir et la plus aisée à apprendre; elle at- « teste chez les Indiens un esprit pénétrant, un beau «talent de création, et de la supériorité de discer- « ncment ' et de génie inventif. «

Nous venons de voir que Mohammed Ben Moùçà rédigea pour le khalife Almàmoùn un abrégé des labiés indiennes, apportées à Bagdad en 77a de notre ère; c'est à la prière du même prince qu'il avait écrit son célèbre Traité d'algèbre. La rédaction de son Traité de calcul indien doit êlre postérieure à celle du Traité d'algèbre, parce que celui-ci est cité dans le premier. Mais nous ne pouvons pas être loin de la vérité, en supposant que le Traité de Mohammed Ben Moùçà Alkhârizmî, qui répandit cliez les Arabes la connaissance de l'arithmétique indienne, fut composé vers le milieu du ix" siècle 2 .

' Casirî(t. I, p. ii-j, lig. G en remontant) a ,l*^il ncipérience, habileté. ■

1 Néanmoins i'éïéuement scientifique dont j'ai reproduit le récit d'après le Tdrihh al-Hoqamâ, et <jui arriva en 773 , rend très-vrai- Kemblable que des celte époque il eiistait, pour les savants qui vivaient à la cour de Bagdad , des moyens de s'initier à l'arithmétique indienne, Je tiens à faire ressortir etrlle probabilité , parce que je Viens d'apprendre que M. Belhmann , bibliothécaire à Wolfcnbuttel, a fait connaître, dans un mémoire lu il l'Académie de Berlin, mais dont il n'a pas laissé copie, certaines données d'après lesquelles <^harlemague aurait proposé au* personnes de sa cour des problèmes tl' arithmétique fondés sur l'emploi des neuf chiffres et du léro. On sait que Charlemagne reçut en 807, à Aiï-la-Chopelle, une ambassade du khalife Uaroûn Al-Rachid, qui apporta de nombreux et «nagnifiques présents, et entre autres une horloge mécanique en

— lia —

J'ai mentionné déjà ci-dessus que, grâce au zèle de M. le prince Boncompagni , nous possédons maintenant un fragment considérable dune traduction latine, faite au moyen âge, du traité d'Alkhârizmî, 5 le tilre de ■ Algoritmi de numéro Indorum. n J'en entrais le passage suivant', relatif à la forme des chiffres :

h«»i»k C'était n«e clepsydre marquant les fins des heures pur la cfcutr il» don» petite globes d'airain, qui faisaient résonner une tn»»«tr ptacëe ati-desious. et par dôme, cavaliers qui sortaient de s et fermaient doute autres portes. «Cette horloge,! □tenait encore beaucoup d'aulres choses « serait trop longue en ce moment. ■ (Voir Pertz , '■ iutonru. Scriptorum tomus I. Ilannovene, t.*»*. MfiàiLp. 19J. lignes i et iâ à 33. Comparer Bouquet, Re- .■•Ht <1m iUttms in G* ski et de la France, t. V. Paris, 1744, w-M. f. ÎW, Kg. «3 i 11.) Un tel instrument suppose la pré- ■ o r * . f*mi I* personnel de l'ambassade, d'un homme possédant ■if* CMMÛMacri savantes cl techniques pour monter l'horloge «fr*» l'arrivé*, et la mettre en état de fonctionner. Il est assez naturel de croire qu'une telle personne était au courant de l'aritbméifqii* indienne, li. comme il est probable, celle-ci était, dès le coin- ■MMsMMOtdu 11' siècle, connue aui mathématiciens et astronomes ' li : i,|. 1 ,'kirli ■ui.ijiu' retint l'ambassade pendant quelque temps à s» résidence (voir Perte, lac vit.), et, avec le désir ardent de s'instruira que ce monarque conserva jusqu'à la fin de sa vie, celte circonstance devait facilement amener pour lui «ne occasion de prendre quelque connaissance do l'arithmétique indienne et de l'emploi du HN| d'iulre part, un Arabe venant en Occident devait être porté & produire devant un prince , juste appréciateur de la supériorité inudlectuellf , ce qu'il pouvait montrer de plus ingénieux et de plus neuf eu fait de connaissances scientifiques. Si, dans les documente découverts par M. lielhmano, il ne s'agissait que d'un emploi de neuf chiffres mas :éro , en l'ail si-rail simplement conforme aui vues développées dans 1rs parties pivétvdimtos du présent mémoire , et en oit'r irait une nouvelle confirmation.

1 ÏVattali d'aritmefico, p. 1, 1. s5 cl suiv.

« Fecerunt igitur (Indi) IX literas *, quarum figu-

« rae sunt hae 2 Est quoque diversitas inter ho-

«iyiines in figuris eamm : fit autem haec diversitas « in figura quintae literae et sextae , septimse quoque « et octavse. Sed in hoc nullum impedimentum est. «Sunt enim note signantes numerum, et hae sunt « figure in quibus est illa diversitas 3 »

Ce passage est important parce qu'il s'accorde d'une façon remarquable avec une autre donnée que j'ai à faire connaître. Jetons les yeux un instant sur la planche placée ci-dessus, à la page àg. La quatrième ligne de cette planche présente un fac-similé des chiffres employés dans plusieurs tableaux de nombres 4 contenus dans lemanuscrit arabe écrit à Chîrâz , environ en 970 de J. C. , dont il a été question ci-dessus. Si nous comparons ces chiffres aux chiffres gobâr et aux chiffres des manuscrits latins du moyen âge , nous remarquons qu'une différence des formes a lieu pour les cinquième «sixième, septième et huitième chiffres, pour lesquels précisément une variété des formes est constatée aussi dans le traité d'Alkhârizmî. Or, il est résulté des recherches précédentes que les chiffres gobâr et du

1 L'original arabe portait évidemment <> *y^. * Ces figures manquent.

3 Ces figures manquent pareillement.

4 Ces nombres forment une suite de triangles rectangles numériques et de nombres congruents. Les tableaux ont été reproduits dans la traduction ci-dessus citée , faisant partie des Recherches sur plusieurs ouvrages de Léonard de Pise. ( Voir Alti delV Accademia Pontificia de* Nuovi Lincei, anno XIV, p. a 55 à 357. )

moyen âge nous présentent une forme très-ancienne des chiffres indiens. Rapprochant donc le fait que je viens de signaler de l'observation faite par Albîroûnî dune multiplicité des formes des chiffres existant dans l'Inde au commencement du xi e siècle de notre ère, nous concluons que les formes J , m , v, a étaient devenues dans l'Inde même , pendant l'espace de temps qui sépare le vin* siècle des premiers temps de notre ère, d'un emploi très-fréquent à côté des formes m, 6 , 1, 8, et que les savants ou les traités indiens qui arrivèrent k Bagdad dans le courant du vm e siècle, apportèrent déjà les formes ? , m , y, a aux Arabes de l'Orient, qui les adoptèrent de préférence. Les variantes f et h* pour £ et p paraissent aussi avoir existé chez les Arabes orientaux dès le milieu du x* siècle au plus tard; du moins nous trouvons des spécimens de la forme •* dans certains endroits du manuscrit écrit à Chîrâz , différents des tableaux ci-dessus mentionnés. Les chiffres dêvanâgaris du x e siècle qu'a donnés Prinsep dans le cahier d'avril 1 838 du Journal de la Société asiatique du Bengale (pi. XX, placée en regard de la page 348) ressemblent pour les formes des nombres un, deux, trois, quatre, six, huit et zéro, assez à ceux du manuscrit de Chîrâz, et confirment ainsi la remarque d' Albîroûnî, d'après laquelle de son temps les chiffres des Indiens étaient les mêmes que ceux des Arabes , sauf une plus grande variété des formés. Pour le cinq et le sept, les chiffres dêvanâgaris du X e siècle d'après Prinsep ressemblent tout à fait aux chiffres gobâr. Le neuf enfin ne res-

semble pas au neuf arabe , mais se rapproche sensiblement de la forme qu'il présente dans les chiffres sanscrits modernes , tels qu'on les trouve par exemple dans les ouvrages imprimés à Calcutta.

Un des derniers changements introduits dans les chiffres des Arabes de l'Orient paraît avoir été le remplacement du 9 par o pour le cinq, et du o par . pour le zéro. L'usage de désigner le zéro aussi par un point au lieu d'un petit cercle est cependant indien, ainsi qu'il résulte d'un passage de Colebrooke, que je reproduis en note l . Il paraît qu'Albîroûnî avait

1 Algebra, etcfrom the sanscrit, p. 4,1. 17 à 21. t D'après les Hindous, la numération est d'origine divine, l'invention de neuf figures (anca) , avec l'artifice des places pour les faire suffire à tous les nombres, étant attribuée au bienfaisant Créateur de l'univers, dans la Vâsanâ de Bhâscara et sa glose, et dans le commentaire de Criskna sur la Vija-ganita. Ici neuf figures sont spécifiées, la place, lorsque aucun chiffre n'y appartient, étant indiquée par un blanc [tànya) , lequel , pour prévenir les erreurs , est marqué par un point [le mot anglais est dot] ou un petit cercle.» Le Vîdja-ganita est a seconde des quatre parties dont se compose le Siddhânta-Ciromani, ouvrage de Bhâskara achevé en 1 1 5o de J. G. — On trouve aussi au fol. 1 62 r° et v° du manuscrit écrit à Gbirâz , en des endroits différents des tableaux ci-dessus mentionnés , une forme du chiffre zéro qui ressemble à un simple point. Mais il paraît que dans ces endroits, où les chiffres sont très-petits, cette forme provient seulement de ce que le cercle que le copiste voulait tracer est devenu tellement petit qu'il s'est réduit à un point; car on trouve dans le voisinage immédiat de ce zéro formé en point le zéro sous la forme d'un petit cercle. — Dans le scolie de Néophytes, qui puisait, comme nous l'avons vu , à une source arabe , scolie publié dans le Programme déjà cité des cours de l'Université de Berlin pour le semestre d'été i84i (p. iz) , cet auteur byzantin du xiv* siècle appelle le signe qu'il s'agit de placer au-dessus des chiffres, d'abord as o fuxpév, et à la fin o1iy\L-j\ y et dans le courant du scolie, il le désigne plusieurs

connaissance de cet usage, soit pour l'avoir observé chez les Indiens, soit parce que, à l'époque où il écrivit (en i o3 1 de J. C), cet usage avait déjà commencé à s'introduire chez les Arabes. Je conclus cela de l'explication dont Albiroûnî, dans le passage cidessus traduit (p. 1 o3 ) , fait suivre les mots sanscrits çoânya et Va, en disant qu'ils signifient le point l$j

fois comme 4) cfliypr\v il o (iixpév. Quant au tableau de la notation qui accompagne le scolie, les signes superposés ont été, dans le n° 2 35o ancien fonds grec, d'abord de petits cercles, écrits à l'encre noire comme tout le resle, mais ils ont été chargés ensuite, par une seconde main probablement , d'encre rouge , de manière à en faire des points , ou biffé» à l'encre rouge et remplacés par des points faits à l'encre rouge; dans le n° 1928 ancien fonds grec, ce sont de petits cercles pour les dizaines et les centaines, et de petits points pour les mille et pour la myriade. Quant au cinq, il a la forme d'un omicron majuscule, placé d'aplomb dans le n° a35o, et fortement incliné vers la droite dans le n° 1928. On peut conclure de là qu'au xiv" siècle l'usage des formes pour le cinq et ■ pour le zéro était déjà parfaitement établi chez les Arabes de l'Orient. — Dans le même programme de M. Bœckh , on trouve (p. tiii) le passage suivant relatif au zéro sexagésimal : t Apud Ptolemaeum ciphra in edi- «tis quidem libris comparet, ubi integer ordo sexagesimalis déficit, < qui signandus erat : sed in libris scriptis defectum hune solo puncto «notatum esse docuit nos G. B. Hasius. » J'ai soumis, comme on l'a vu dans ce qui précède, à un examen soigneux les manuscrits de la Grande Syntaxe de Ptolémée que possède la Bibliothèque impériale de Paris , mais sans y remarquer aucune trace de cet emploi d un point pour marquer les places vides. L'observation de M. Hase reposerait-elle sur un malentendu? J'ai trouvé quelquefois dans le texte des manuscrits parisiens de l'Almageste, lorsque Ptolémée énonce des quantités composées de plusieurs ordres de sexagésimales, des points placés entre les lettres numérales qui expriment ces quantités, points destinés seulement à séparer les différents ordres les uns des autres. Serait-ce là peut-être ce qui a donné lieu à l'assertion que je viens de citer?

jJi. Mais Alkhârizmî ne sait rien encore de l'emploi d'un point pour désigner le zéro; et cependant s'il avait eu connaissance dune variante pourla figure de ce signe , il est probable qu'il en aurait fait mention d'une manière semblable comme il le fait pour les formes des chiffres cinq, six, sept et huit. Voici le passage de son traité où il explique l'usage du zéro 1 .

«Cum autem ponerentur X in loco unius 2 , et «fièrent in secunda differentia, essetque figura cote rum figura unius, necesse fuit eis figura deceno- «rum, eo quod similis esset figurae unius, ut scirent «per eam, quod essent X. Proposuerunt igitur ei «unam differentiam, et posuerunt in ea circulum «parvulum in similitudine o literae 3 , ut per hoc sci- « rent quod differentia unitatum esset vacua , et ni- «bil numeri esset in ea prœter circulum parvulum, «quem diximus occupare eam.»

Ainsi donc, chez Alkhârizmî, le signe indien pour

1 Trattati £arilmelica, p. 3 , 1. 1 9 et suiv.

* On ne comprend ce latin qu'en le retraduisant mentalement en arabe. Voici ce que l'auteur veut dire : « Mais comme on désignait « dix de la même manière que l'unité , le signe se plaçant au second «rang, et sa Ggure étant la même que celle de l'unité : les Indiens «avaient besoin, pour la figure du dix, puisqu'elle était identique à «celle de l'unité, de (quelque artifice qui leur fît) savoir quand « elle signifiait dix. Ils placèrent donc devant l'unité un rang , etc. » Le commencement du passage, dans l'original arabe, était très-probablement tX^.LJ 1 «^9* oy£xJ\ %*>+->. (jo JL , le mot **>y qui signifie poser, étant employé aussi spécialement pour exprimer écrire, noter, figurer.

3 L'original arabe portait ici probablement la lettre hé ».

désigner le zéro est un pelit cercle. J'ai déjà dit que ce signe indien est essentiellement différent du zéro de la notation alphabétique sexagésimale dont il a été question ci-dessus, lequel est, comme on l'a vu, d'origine grecque. En effet, quiconque est habitué à la lecture des manuscrits arabes relatifs aux sciences mathématiques, distinguera toujours, à première vue, le zéro indien du zéro de la notation alphabétique. Mais comme ceci ne peut être qu'une raison individuelle , je citerai encore un passage du traité De numéro Indoram , qui montre clairement la différence entre les deux signes. Il se trouve , dans ce traité , un exposé du calcul sexagésimal, calcul qui forme une partie intégrante de l'arithmétique indienne, ainsi qu'on le voit aussi par la traduction de Colebrooke 1 du douzième chapitre de l'ouvrage de Brahmagoupta , par l'arithmétique indienne de Planude 2 , et par un traité arabe de calcul indien dont il sera question tout à l'heure. Dans cet exposé Alkhârizmî écrit les degrés, minutes, etc. les uns audessous des autres, et pour indiquer qu'un ordre est vide, il y place deux zéros indiens, ce qui est tout le contraire de la notation alphabétique qui n'emploie qu'un seul signe pour marquer l'absence d'un ordre. Voici le passage d'Alkhârizmî 3 :

<tCum volueris constituere numerum integrum

1 Algebra, etc. front the sanscrit, p. 3ia a 3ii.

1 Manuscrit 3J81 ancien fonds grec de ta Bibliothèque impériale de Paris, fol. 8 r°, tig. 8 et suiï. Manuscrit i38î du même ronds, fol. i5v°etsuiv.

J Trattaii d'ariimeiica, p. si, tig. ai et suiï.

«et fractiones, pone numerum integrum in altiori «differentia; deinde pone quicquid fuerit ex diffe- «rentia prima, quae sunt minuta, sub numéro inte- «gro; et secunda sub minutis, et similiter tertia sub «secundis, et caetera quae volueris ex differentiis. «Cujus rei exemplar est quod, cum vellemus con- « stituere XII gradus et XXX minuta , XL quoque V «secunda, et L quarta : constituimus XII; post haec «posuimus sub eis XXX in differentia minutorum; «et sub XXX, XLV in differentia secundorum. In « differentia vero tertiorum posuimus circulos *, «quare carebat tertiis, et ut sciremus quare adhuc

1 Le passage correspondant du Liber Algorismi de Jean de Sé- Yilie, publié également par M. le prince Boncompagni, et qui n'est à beaucoup d'égards qu'une sorte de paraphrase du traité d'Aïkbârizmî, est encore plus explicite [Trattati d'aritmetica, page 54, lig. 2 2 et suiv.) : t Cum autem aggregare vel diminuere, duplare sive • mediare gradus et fractiones volueris , singula quaeque per differen- « tias [j'adopte la leçon « singula quaeque per differentias » d'après le manuscrit 972 fonds Sorbonnede la Bibliol. imp. fol. 60 r°, lig. 24] «suas sic ordinabis. Pones enim gradus in superiori differentia, et « minuta sub gradibus , et secunda sub minutis , et terlia sub secun-

«dis, et ita consequenter descendendo, utsunt

« in ordine. Si autem aliqua vacua interciderit,

«ponentur in loco ejus circuli : propter cujus

c rei evidentiam talem subjicimus Gguram unius

«latéris. Ponuntur enim primum in superiori

« differentia 1 2 gradus, et in secunda 3o minuta,

«et in tertia 45 secunda. In quarta vero positi

« sunt duo circuli , quia erat vacua : nullum enim

«tertium erat in ea; et ut [j'adopte la leçon «et ut» d'après les

manuscrits ancien fonds latin 7359, fol. 92 r°, 2" col. lig. -3 2, et

fonds Sorbonne 98 1 , fol. 4 v°, 1 " col. lig 4] « ostenderetur quod quarta

«differentia, quae continet tertia, esset vacua. Et in quinta sunt 5o

«quarta. Quod subjecta figura déclarât. »

Gradua

Minuta

Secunda

Tertia

Quarta

a restabant quarta. Deinde posuîmus sub circiilis u quinquaginta în dilïércntia quartorum. Et hiec esl « figura eorum *. »