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Celte notation est moins commode , mois aussi claire et aussi précise que la nôtre, pourvu que i'on convienne, une fois pour toutes, que les chiffres signifient des unités lorsqu'ils sont placés daus la première colonne k dniile: di^s di/.;iini;s, djus la ri'limne suivante; des mille dans la troisième, et ainsi de suite. Le tableau à colonnes fournit donc nu moyen d'écrire tous les nombres, quelque grands qu'ils soient, au moyeu de neuf cliitircs, eu donnant A ceux-ci des valeurs différentes, selon leur position , f.l sans laire usage du zéro.

gorea), mais qui reçut plus tard le nom à'Abacus (a posterioribus appellabatur Abacus ).

4° Description de trois modes différents en usage chez les Pythagoriciens, pour figurer les neuf caractères employés dans l'exécution des calculs sur le tableau à colonnes. Ces trois modes consistaient en ce que les uns (quidam) se servaient de chiffres (note, notulae) dune forme particulière, les autres xles neuf premières lettres de l'alphabet, d autres encore de jetons 1 marqués des neuf premiers nombres naturels 2 .

5° Explication du principe de la valeur de position que Ton donnait aux neuf caractères, au moyen du tableau à colonnes.

6° Règles de la multiplication exécutée sur le tableau à colonnes avec neuf caractères prenant une valeur de position.

7° Règles de la division d'après le même système.

Si ce passage a réellement Boèce pour auteur; si , comme il paraît l'affirmer, Pythagore est l'inventeur de la valeur de position; si certains Pythagoriciens ou Néopythagoriciens ont calculé avec neuf chiffres, et si les figures que l'on trouve à cet endroit dans lés manuscrits de la Géométrie de Boèce sont, d'une part, identiques au fond à nos chiffres actuels et sont,

1 Ou d'autres objets semblables; le texte porte : t apices naturali « numéro insignitos et ioscriptos. ■

1 Probablement au moyen des chiffres romains ordinaires, ou d'un nombre de points ou de traits , correspondant au nombre que l'on voulait inscrire sur le jeton.

d'autre part, des représentations fidèles, ou à peu près, des chiffres qu'employaient les Pythagoriciens auxquels ce texte fait allusion; si on peut démontrer, en outre, que Gerbert n'a jamais visité les écoles des Arabes, la thèse d'une origine indienne de nos chiffres et d'une transmission par les Arabes devient fort invraisemblable; on ne pourra pas s'empêcher de considérer comme très-probable que le moyen âge chrétien ait puisé la connaissance des chiffres et de leur usage dans l'ouvrage de Boèce , et l'on sera disposé à chercher l'origine de nos chiffres dans l'école de Pythagore.

Mais, comme il est certain que les nations chrétiennes du moyen âge ont effectivement reçu , plus tard, l'arithmétique indienne, par l'intermédiaire des Arabes ; comme il est peu probable qu'entre deux systèmes issus de deux sources complètement différentes il ait pu s'établir une fusion tellement facile que la transition est presque imperceptible ; comme l'invention indépendante des chiffres et de la valeur de position, une fois dans l'Inde, une autre fois chez les Pythagoriciens, serait peu conforme aux lois qu'on observe généralement dans l'histoire des progrès de l'esprit humain, on conçoit la nécessité de scruter plus profondément qu'on ne l'a fait encore l'histoire de l'arithmétique dans l'antiquité , et de concilier, par la découverte de faits nouveaux, les résultats contradictoires auxquels paraissent aboutir les recherches entreprises jusqu'à présent.

En premier lieu, il faudra soumettre à un examen soigneux les questions que je viens de proposer concernant le passage de Boèce et les sources auxquelles Gerbert puisa ses connaissances. Il sera désirable d'obtenir, avant d'aller plus loin, une solution de ces questions , affirmative ou négative , mais claire et précise.

Une grande partie de cette tâche a été remplie avec un succès incontestable par M. Martin, dans un mémoire intitulé Recherches nouvelles concernant les origines de notre système de numération écrite, qu'il a publié dans les cahiers de décembre 1 856- et de janvier 1857 de la Revue archéologique 1 . Surtout le paragraphe IV de ce mémoire, consacré à un examen critique de la biographie de Gerbert, est un modèle d'érudition et de méthode. M. Martin établit d'une manière cpncluante que Gerbert n'a pas été le disciple des Arabes, mais de Boèce ou d'autres auteurs , comme saint Odon , qui paraissent avoir écrit sur l'arithmétique d'après le système de Boèce déjà antérieurement à Gerbert, et que le savoir mathématique de ce dernier se rattachait exclusivement à la tradition grecque et romaine. Il accueille , avec

1 Je regrette d'avoir ignoré l'existence de ce mémoire au moment où je rédigeai les recherches ci-dessus citées sur l'introduction de l'arithmétique indienne en Occident. Ayant passé en Allemagne les années de i856 à 1 858,. et occupé par les devoirs d'un enseignement qui venait de m* être confié , j'avais été empêché de suivre aussi attentivement que d'habitude les publications relatives aux sciences mathématiques paraissant à Paris. C'est vers la fin du même espace de temps que j'écrivis le mémoire auquel j'ai fait allusion plus haut, et dont l'impression fut terminée en 1859.

la réserve que mérite une semblable assertion, l'invention de la valeur de position par Pylhagore luimême, en rappelant que «les Pythagoriciens d<! « loutes les époques aimaient a rapporter à Pytha- «gore la première origine de toutes leurs décou- « vertes, » Mais il montre que « rien ne nous empêche » d'attribuer a des Néopyihagoriciens d'une époque h peu antérieure à celle de Boèce la première application de la méthode de l'Abacus. h

M. Martin a réuni aussi, avec une habileté judicieuse, des arguments nombreux et valables en faveur de l'authenticité de la Géométrie de Boèce et du passage Snr l'Abacus, et je pense que les conclusions du savant critique doivent être prises en sérieuse considération. Mais j'aurais vivement désiré que M, Martin eût répondu à une grave objection soulevée par M.Halliwell, dans l'intéressant recueil qu'il a publié sous le titre de Ram matkematica. Dans l'appendice de cet ouvrage 1 , on lit ce qui suit :

aï! est fort probable que le passage bien connu »sur l'Abacus, dans le premier livre de la Géomé- «trie de Boèce, est une interpolation; car dans un «manuscrit qui a appartenu autrefois à M. Ames, non ne voit rien d'un semblable passage, et dans «un autre manuscrit qui se trouve actuellement « dans la bibliothèque de Trinity Collège , il manque «pareillement.»

11 me semble aussi que, si l'on divise la Géomé-

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trie de Boèce en deux parties, dont Tune finit et dont l'autre commence à la quatrième ligne de la page 1 5 1 6 de l'édition faite à Bâle en 1 570 des Œuvres de Boèce, la démonstration de M. Martin (principalement le témoignage de Cassiodore Variaram I, Epist. 45 ] ) ne prouve peut-être que l'authenticité de la première partie ; que la seconde pourrait être l'œuvre d'un continuateur; et que l'authenticité de la première partie est bien confirmée par la seconde, mais non celle de la seconde par la première. Telle à peu près paraît avoir été aussi la pensée de M. Lachmann 2 ; et M. Bœckh, dont la haute autorité philologique commande une attention particulière, exprime en ces termes son sentiment sur l'authenticité du passage de la Géométrie de Boèce, relatif à

FAbacus :

« Haec etsi a Boethio profecta esse vix nobis per- « suademus, quum universa de abaco disputa tio maie « cohaereat eu m Boethii de Geometria libro primo et «stilo satis horrido scripta sit : tamen dubitari ne- «quit, ex antiquo et Graeco fonte dériva tam hanc «illius Appendicis partem esse, quœ in abaci ratio - « nibus enucleandis versatur, sive ex Boethii aliquo

1 Tome I, p. 20, col. i M de l'édition de Venise, J729, in-folio, des Œuvres de Cassiodore. Un autre passage de Cassiodore , signalé par M. Martin , où Boèce est mentionné comme traducteur d'Euclide , se trouve t. II, p. 558, col. 2* de la même édition, clans l'ouvrage intitulé : De artibus ac disciplinis liberalium litteraram.

* Die Schriften der rœmischen Feldmesser, herausgegeben und erlaeutert von F. Blume, K.. Lachmann und A. Rudorff. Berlin, 1 348 à i852, in-8°, t. II, p. o,3 à 94 ; et comparer p. 90.

J. As. Extrait n° 1.(1 86 3.) 2

— 18 ~ u libro sive ex alio auclore Lalinn (înixiirum liltflii ratura perito sua petiit compilalor '. «