IDENTITÉ DES CHIFFRES DES NÉOPYTHAGORICIENS ET DES CHIFFRES GOBAR

Le mécanisme des institu lions de l'Empire romain était éminemment propre à répandre, dans des espaces fort étendus, la connaissance d'idées et de conceptions nées sur un point quelconque de cette vaste masse de pays. On sait le puissant se-

hasard les initiales des numératifs dans d'autres langues et leurs alphabets, par exemple, l'arabe et le latin :

^ t l£> I £ (JM (JM t£> c?

UDTQQS SON

On voit sur-le-champ l'impossibilité absolue d'établir un rapport quelconque entre ces lettres et les formes des chiures gobâr et du moyen âge, même par les rapprochements les plus forcés.

cours que cette circonstance a prête* an développent du christianisme ; elle ne devait pas être moins favorable à la propagation de l'arithmétique pratique, fondée sur la Valeur de position, que possédaient, d'après le passage de lioèce, les Néopythagoriciens. Mais, de même que la vérité divine, l'invention scientifique ne trouvait pas partout un terrain également bien disposé. Je dois m'associer entièrement à l'opinion émise, au sujet de la propagation du système de i'abavas, par M. Martin, dans son mémoire sur les origines de noire système de numération écrite '. Il a exprimé cette opinion en si bons termes, que je ne crois pouvoir mieux faire que de reproduire textuellement quelques passages de ce mémoire.

«H ne faut pas s'étonner, dit M.Martin, que ii celte méthode se soit propagée en Occident plus «qu'en Grèce, car en Occident le système de i'itba-. « eus était venu disputer la place à la numération «écrite des Romains, à laquelle il était préférable. «En effet, dans cette numération, il fallait deux on « plusieurs caractères pour exprimer tel ou tel nombre «au-dessous de 10, tel ou tel des multiples les plus «simples de 10 ou de ses puissances, ce qui était « très-incommode pour écrire les calculs. » Et plus

loin; «Cette invention- a été faite surtout au

n profil des peuples latins, qui en avaient grand bc-

' S VII. » H mM aaatt èe F«ta«M de Koéce ehei les Grecs et cMi tw Riiitmiiii. • • ' l.'invKiitiiiii .li- f ttocaf.

«soin, à cause de l'incommodité extrême que leur

« numération écrite présentait dans les calculs

« Faite ainsi surtout pour les Latins , peut-être par «quelque grec écrivant en latin, comme le géo- « mètre Archytas, cité par Boèce, il est peu surpre- « nant que cette invention tardive ait eu peu de cours <( chez les Grecs , à qui leur numération écrite , moins «imparfaite que celle des Romains, pouvait plus «facilement suffire pour la pratique des calculs. . . «Ce qui a empêché les Grecs d'arriver de bonne « heure à ce changement si simple 1 , qui aurait été u pourtant un perfectionnement notable, c'est qu'ils «en étaient précisément trop près pour en sentir «vivement le besoin. »

Ainsi donc l'arithmétique pratique des Néopythagoriciens, calculant avec neuf chiffres auxquels elle donne une valeur de position au moyen d'un tableau à colonnes, devait se répandre peu ou point dans les provinces orientales de l'Empire romain, mais bien en Italie où Boèce en expose les principes , dans les Gaules où Gerbert la fait revivre, et en Espagne où les Arabes devaient la trouver au commencement du vm e siècle.

Lorsque les Arabes sortirent du désert, pour conquérir un empire qui s'étendit depuis TOxus et l'Indus jusqu'à l'Ebre et à l'Atlantique, ils possédaient à peine l'écriture 2 . Il est certain qu'ils ne connais-

1 À notre notation numérique moderne.

* Voir dans les Mémoires de l'Académie des inscriptions et belleslettres, t. IX de la nouvelle série, le Mémoire sur quelques papyrus

saient point encore l'usage des chiffres. Mais ayant à administrer sur-le-champ les immenses revenus que les impôts el la capitation faisaient refluer au centre de l'empire, et dont il fallait rendre compte, ils firent la chose la plus naturelle et presqui seule possible en pareille occurrence; ils adoptèrent partout les signes de numération employés par les peuples établis avant eux dans les pays où ils arrivèrent. Ceci n'est pas une hypothèse, mais un fait avéré par les documents historiques.

Voici d'abord ce qui eut lieu en Syrie 1 . A Damas le khalife Walid, qui régna de yo5 à 7 i5 de J. C. défendit de tenir en langue grecque les registres du trésor public, et ordonna qu'ils fussent rédigés en langue arabe. Cependant il fut obligé de faire une exception pour les signes de numération, «parce «qu'il était impossible d'écrire en arabe 2 un, ou "deux, ou trois, ou huit et demi, etc.» Ainsi, en Syrie, les Arabes continuèrent encore après la fin du vu" siècle de notre ère à conserver la notation numérale grecque.

En Egypte, ils adoptèrent pareillement le chiffre copte, qui, du reste, ne consiste que dans une mo-

ierïtt ta arabi et rèccninunt trouvés en Egypte, par M. le baron Silv. du Saey. |>. 78 a 80.

' Voir Tkeopkanis chranograpltia, Parisiis, iG55, in-folio, p. 3i S.

* C'csl-à-dire : d'écrire an inoyen Je signes numériques parcilsà l.i uolilion ;il|)linbt'li<]iic arw.jur pour les entiers el les [raclions; car il va sans dire que, si le» Arabesélaieiil en cl al d'écrire en arabe li- reste des registres, ils peinaient écrire aussi . en toutes lettres . les noms de nombre tin, <lcu\, tic, oit les noms des fractions un demi,

dificatioii à peine sensible, et concernant seulement la forme extérieure, de>s lettres numérales grecques. 1 . On sait en outre qu'en Egypte l'administration des finances resta pendant longtemps presque exclusivement entre les mains des chrétiens, c'est-à-dire des Coptes, employés comme officiers des gouverneurs arabes. Aussi le manuscrit 1912 du Supplément arabe de la Bibliothèque impériale, en énumérant le chiffre copte parmi ceux dont la connaissance est nécessaire aux gens de bureau, prouve-t-il que ce chiffre resta en usage pendant longtemps dans certaines localités 2 .

A Bagdad, une ambassade arrivant de l'Inde à la cour du khalife Almançoûr, en 773 de notre ère,

1 On pourrait être arrêté par la forme du 90 copte , qui ressemble (par exemple dans le tableau de M. de Sacy, Gr. arabe, 2* édition , t. I, pi. VIII) entièrement au ^y> arabe, lequel signifie, cbez les Arabes de l'Orient , également 90. Mais cette forme n'est qu'une des variantes de l'épisème xdinta. (Voir Montfaucon, Paheoyr, grœca, p. 122 et 1 32, et BœcLb, Staatshaashaltung der Athener, Berlin, i8i7",in-8°, t. II, p. 386.) Pareillement le 900 copte est une des variantes de l'épisème cra/xTr?.

' Ce manuscrit est un recueil de pièces relatives à fart du secrétaire ou écrivain (qâtib), qu'une personne fort attentive aux notations particulières des écrivains coptes paraît avoir réunies pour son propre usage dans le courant de Tannée 1 57 1 de notre ère. Du moins on trouve à la page folio 1 ôo r° du manuscrit (lig. 9 à 1 7 ) le 4 djoumâdâ premier de l'année 979 de l'hégire (24 septembre 1671) comme date de l'achèvement de la copie d'un morceau; et à la page folio 1 80 r°, qui est en même temps la dernière du manuscrit , le i5 djoumâdâ premier de l'année 979 de l'hégire (5 octobre 1571) comme date de l'achèvement de la copie d'un autre morceau. C'est de ce manuscrit que M. do Sacy a tiré aussi le spécimen des chiffres (jobâr qu'il a publié dans les planches jointes au tome*! de sa Grammaire arabe.

apporta des tables astronomiques indiennes, et probablement aussi des traités d'algèbre et d'arithmétique pratique 1 . On sait du moins que les Arabes reçurent de l'Inde un traité d'arithmétique pratique qu'un bibliographe arabe déclare avoir été très-facile à comprendre, très-expéditif et très-ingénieux. On sait aussi que Mohammed Ben Moùcâ Alkhârizmî , le contemporain du khalife Almàmoûn, prit ce traité indien pour base d'un ouvrage plus développé , dont il faut placer la rédaction dans la première moitié du ix° siècle de notre ère. Un fragment d'une traduction latine de cet ouvrage d'Alkhârizmî a été découvert et public, il y a quelques années, par le prince Don Balthasar Boncompagni 1 .

Tous ces faits rendent plus que probable que les Arabes, en arrivant en Espagne, y adoptèrent pareillement les chiffres et, pour l'exécution des calculs , le tableau a colonnes et les méthodes , dont les Néopythagoriciens avaient répandu 3 l'usage dans les parties occidentales de l'Empire romain. Mais lorsque, cent ans plus tard , les méthodes indiennes,

1 II est possible? aussi que les préliminaires des tabies astrono iniques aienL contenu. Comme ta BrtdmaridJltémtm de Brahmaguupta, des ilupitres relatifs ;i l'iirilliiiiiîliipe el à l'algèbre.

* Trallati d'aritntetica pubblicali du Btiltlassitrre litmconipagni. I. Aiijurilmi de numéro Indaruni , Roma, i85y, in-8°. Je n'ai pas besoin de dire combien celte découverte est précieuse pour l'histoire des m a thématiques. J'ai tâche! d'en montrer l'importance dans le mé-

■>.' ci-ijfssiis i.iir .Sur- i' introduction de t'arithméti

3 • Ut, quod altii mente conceperanl, tnelius ii « transi'iindcre possent ■ dit le passage de Bofcce.

infiniment plus simples et plus pratiques, commencèrent à être connues dans la partie orientale du monde musulman, elles ne pouvaient pas manquer de s'introduire peu à peu aussi dans le Maghreb. C'est ainsi que M. Reinaud 1 signale un traité composé vers 950 de J. C. probablement à Kayrowân 2 , dont l'auteur cite un autre de ses ouvrages relatif au « calcul indien connu sous le nom de calcul du agobâr ou calcul de poussière.» Ce dernier nom, donné au calcul, est en effet essentiellement d'origine indienne; car h la preuve contenue dans le titre que je viens de citer d'après M. Reinaud, se joignent non-seulement un passage de Planude 3 , un

1 Addition au Mémoire sur l'Inde, p. 565 du t. XVIII des Mémoires de l'Académie des inscriptions et belles-lettres.

* Ville du nord de l'Afrique, située actuellement dans la régence de Tunis.

3 Voici ce passage , qui fait partie du « Traité de calcul indien » (yyÇotyopla x<xt' IvSoés) de Planude, et que Delambre a déjà signalé (Hist. de ïaslron. ancienne, t. l,p. 5a3), mais sans en donner la traduction ni le texte.

• « Il ne sera peut-être pas superflu de faire connaître encore une «antre méthode de multiplication. Mais cette méthode est extrême- «ment incommode à exécuter sur le papier avec de l'encre, tandis «qu'elle est naturellement propre à êlre employée dans du sable «répandu sur un tableau. Car il est nécessaire (dans cette méthode) «d'effacer certains nombres, et d'en écrire d'autres à leur place; ce «qui donne lieu, pour l'encre, à des confusions nombreuses et «inextricables, tandis que dans lé sable il est facile d'effacer certains «nombres avec le doigt, et d'en écrire d'autres à leur place. Cette «manière d'écrire les nombres sur le sable est employée avec un «très-grand avantage, non-seulement dans la multiplication, mais «aussi dans les autres opérations, tant celles dont nous avons déjà « parlé que celles dont il sera question dans la suite. »

Ou xsepnlov Se ï<ra>s xa\ érépav pédoSov èxdéaOai xov isoXXaitXa-

paasagc d'/Ubîroûni que je traduirai plus loin , et des recherches de M. Taylor ', qui établissent que l'usage Ai calculer wr mn tableau couvert de sable a existé dans l'Inde h différentes époques, niais peut-être d'autres circonstances encore, remontant à une antiquité bien plus reculée, et que je ferai connaître dans la suite de ce mémoire.

H n'est pas douteux que, dès que les Arabes d'Afrique et d'Espagne eurent connaissance des méthodes indiennes, ils durent s'empresser d'abandon ncr les méthodes incommodes et compliquées du . \ . i l ■ i l n - latin; car les traités composés par des auteurs chrétiens aux x° et xi* siècles nous donnent de ces dernières méthodes une idée peu avantageuse. Mais lorsque cette transition s'opéra, un usage de cent, peut-être de deux cents ans, avait habitué les Arabes de l'Occident aux chiures des Néopythagori-

oinauoO - àiJ' nÛTi) iii fièv ^apTou Sii fié'Aavos jevéoOal , eavt Sva^sptatiiif iv App-f Si èti -to/vaxos xmaTHnlofiêvn, fiveaQai raepusvfu" Sii ti) Sein ehm , toi)s pèv t&v àpiBpâv è^xXsifisiv, iiipovt Si «W aMv inl mû ti-xov èxdvaiv ypdQtiv û'irep eu piv ™ fiéXavi, vtitlalitv xaï dStdxpirov T^e trûy^uaiir ifi-naiEi- eu ftp-pty Se, paSiuv

■■■ ■: i ' r'f. "::■ 7 . '::■:■,,.-:. ... ; ■ ' ï ■..'■: '. ■'■ : ■ !;■-.- IV-.-Yv

jpApric- ià Si in' ippov toiIs àpifljioils ypâfyeiv, ai p-ovuv i-wï ■boX- /anAaninafiotî, àAJà jtii faj -i&t> tfMaw fitSàlta.tS* le 1tSv ie^Oeiaiiu Ha! ^i^>v énsm pTjOnaopÀvav, y pnaip.in7.iott rasfwnj xaBialatai.

(Ancien l'omis grec de la Bibliollicqui; iitijH rialu du Paris, mss. n*«Mi, fol. 5 v°, lig. 3c, à 35; n' 3 38s, fol. s i* % .3 à a5; n" ][>i)y, lui. io5 v", lig. a A 10.)

1 l.ilawali, lira Trcatise on arithnielk aiid geomcliy , by llhascnru .'i<'hui;7'H,ti , iiii9l!iiuMrii]iiilic('ii'i^iiin[siii]s(.'[-itii}J<<ltii , ra}'lor.lionilw]i, |M, in-/,°,p. (i. (Comparer Delambre . Histoin de l'astronomie a>\- •ituiu, I. I.p. 54o.)

riions. En même temps, l'avantage des nouvelles méthodes qui employaient, comme les anciennes, neuf chiffres avec valeur de position, en remplaçant seulement par un dixième signe l'emploi du tableau à colonnes, était entièrement indépendant de la forme des chiffres. Il fut donc bien naturel que les Arabes de l'Occident conservassent, avec les méthodes nouvelles, les anciens cbitl'res, elles désignassent bientôt par le nom des chiffres du gobâr 1 , parce qu'ils les employaient dans les calculs faits d'après la méthode du gobàr, désormais la seule en usage, Que cette méthode soit réellement la méthode indienne, c'est ce qui est mis hors de doute par les traités relatifs au calcul gobàr que nous possédons actuellement dans des manuscrits arabes 3 . Le souvenir de l'origine indienne du calcul gobàr se maintint d'ail leurs, et nous le retrouvons, sous une forme un peu légendaire, dans les passages ci-dessus traduits. Les chiffres anciens et les nouvelles méthodes s'ideotifianl de plus en plus, on finit, dans la suite des temps, et avec le manque de précision historique qui caractérise les savants arabes 3 , par croire que

1 jIjjuI <j 2j=*haariiùfal-<jobtir, par opposition au\ J^JI (jjjS. hotiroûf al-djoumal, c'est-à-dire au* lettres tir l'alphabet arabe employées comme si^iie» nuiii(Tii|ii(.'5 . nrilntimi éçralenienl en usage cliei tes Arabes, et dont j'aurai prieure :\ m'oeciiper dans un des paragraphes suivants de ce mémoire.

' J'ai traduit un de ces traités, ( Voir les Actrs de l'Académie ponajicali: de Nuovi Lincei, XII* année, p. 2Î0 il 27a et 399 à 138.)

' On pourra se faire une idée de cette absence i)e précision historique en lisant, par eiemple, les récits étrangement confus et

les chiffres gobâr devaient être, de même que le calcul gobâr, d'origine indienne , et beaucoup d'arith méticiens l'affirmèrent, arrivant ainsi à la vérité par l'erreur. D'autres, au contraire, voulurent que le nom de chiffres indiens fût réservé à ceux que les Arabes orientaux employaient avec les nouvelles méthodes qui eurent cours en Orient sous le nom de calcul indien 1 . De tout cela il résulta, au sujet de l'origine indienne ou non indienne des chiffres gobâr, l'incertitude dont nous trouvons l'expression dans les passages ci-dessus traduits.

J'ai encore une observation à ajouter. Je viens de dire que les nouvelles méthodes remplacèrent, chez les Arabes occidentaux, le tableau a colonnes par l'emploi d'un dixième signe , c'est-à-dire du zéro. Il ne faudrait pas croire cependant que ce signe fut inconnu aux Néopylhagoriciens, car il se trouve dans le tableau que contiennent , comme nous l'avons vu, certains manuscrits de la Géométrie de Boèce, accompagné d'un nom dont la forme indique une origine grecque ou sémitique 2 . Mais l'emploi du

riTonvs ([ne l'oit vra^r '!'■ Ilmlji kli;tlf;t contient an sujet 'i'EuclicIeel d' Apollonius ; édition de Fluegel, 1. 1 , p. 38o et 38i, et t. V,p. ia8.

1 Que les mêmes méthode» aient été do signées îous le nom de calcul iudiea par les Arabes de. l'Orient, et sous le nom de calcul de ponstièrt par ceui de l'Occident, cela ne peut pas plus nous surprendre que devoir, a une. époque plus récente, une même partie de l'analyse infinitésimale s'appeler cnfcuZ de Jlaxîoai en Angleterre et calcul différentiel sur le continent.

■ Voir ei-deïius, p. 16, I. aa. On a proposé aussi do dériver le nom Sipos de l'arabe yX*> cifron. Mais celte éiymoiogie me parait inadmissible. Elle suppose d'abord la suppression du r, c'est-à-dire

tableau à colonnes, dont l'usage se rattachait directement aux abacus manuels, familiers aux Grecs et aux Romains, comme le souanpan aux peuples de l'Asie centrale, ne permit pas au zéro d'obtenir sa véritable signification, qu'il reprit aussitôt qu'eut lieu l'introduction des méthodes indiennes 1 . Nous

d'une radicale essentielle , suppression dont les autres noms d'origine sémitique certaine, Arbas, Quimas, Temenias, ne nous offrent point d'exemple; car pour Quimas le /♦* se conserve dans les, et

pour Arbas le c. dans le a de la terminaison as. Ensuite le s ne correspond point au son du u> arabe, car nous voyons plus tard les

Grecs byzantins rendre >-&*» par rltypa ou riutppa. Enfin et surtout cette étymologie est contraire aux faits historiques ; car, ou bien les Néopytbagoriciens ont eu le zéro avec le nom Sipos, et alors ce nom appartient à une époque ou il serait impossible de songera une influence arabe quelconque en matière scientifique ; ou bien la liste des noms Igin, Andras, etc. jusqu'à Sipos inclusivement appartient à l'époque de Gerbert, où les recherches de M. Martin rendent encore une influence arabe très-difficilement admissible; ou bien cette liste appartient aux temps postérieurs à l'introduction bien constatée des traités arabes chez les chrétiens de l'Occident, qui commence environ au milieu du xii* siècle, peut-être un peu avant. Mais, en ce cas, si on formait ces noms sous l'influence de la doctrine arabe nouvellement importée, pourquoi aurait-on tiré de l'arabe seulement quelques-uns de ces noms, et rattaché les autres à des spéculations qui n'avaient plus aucun rapport avec les idées reçues et dominantes à cette époque?

1 Je voudrais dire ici un mot d'une notation que l'on a crue inhérente aux chiffres gobâr, parce que la première fois qu'on l'avait remarquée , on l'avait trouvée appliquée à des chiffres gobâr. Cette notation consiste à superposer aux neuf chiffres des unités respectivement un, deux, trois ou quatre zéros ou points pour désigner les

dizaines, centaines, mille et dix mille; par exemple 5 = 5ooo. Mais j'ai déjà montré (Journal asiatique, cahier de septembre-octobre i854 » p* 358) que cette notation se pratiquait aussi avec les chiffres indiens des Arabes orientaux , et c'est avec ces mêmes chiffres qu'elle

voyons de même le zéro, dans le traite ci-dessus cité de liadulphe de Laon , écrit environ au commencement du xif siècle, servir a marquer successivement les chiffres d'un multiplicateur et d'un multiplicande, pendant qu'on exécute l'opération partielle qui les concerne, afin que l'on ne se Irompe pas de

est employée dans le scolie Je Néophyte* qui se trouve dans les mss. ii°' iga8 et z35o de l'ancien fonds grec de la Bibliothèque impériale, et qu'ont cité M. de Humboldt dans son mémoire sur les systèmes de chiffres (Journal de Crelle, t. IV, p. 3 57) et M. Boeckh dans lt programme ci-dessus menti 011111' di-s fours de l'iiniii'fsilé de Berlin, pour le semestre d'été 1841 (p- vm et ix). Enfio dans le manuscrit iyi2 suppi. arabe, dont il a été question précédemment , la notalion des pointa superposés est employée (voir loi. si v° et îs r°) simultanément avec les chiffres indiens des Arabes orientaux et avec 1rs clii lires Lrobài.dans 'les tableau t juxtaposés; ut . fol. 17 v" du même manuscrit, cette notation est appliquée encore une fois aux chiffres indiens des Arahcs orientaux exclusivement. Je suis fort peu disposé à croire que cette notation représente pour ainsi dire un étal intermédiaire pur lequel passi-rcut lit notation utriqui' el rinveûlion du

zéro, avant d'arriver a la perfection J.iih la 1 nk.-nc de position et dans l'emploi du léro pour désigner les places vides. Les deux notations sont au contraire coexistantes; car autrement, comment la notation qui emploie les points ou les zéros superposé* pourrait -clic se trouver dans des m a nu se ri (s arabes du xvi 1 siècle, el dans le scolie d'un moine byzantin du xrv" siècle qui doit avoir reçu la connaissance de cette notation des Arabes, puisqu'il désigne le léro par ie mot TÎiiÇpa, transcription de l'arabe »i-5 1 1 C'était sans doute une de ces notations comme le clnlliv diivïiui le chiffri- copte . le chiffre siylili , qui se sont conservées en Orient a côté des chiffres indiens pour toutes les occasions ou il s'agissait sculemrnl de noter des valeurs numériques et non d'exécuter des calculs. D'une manière semblable nous employons nous-mêmes le chiffre romain, notation très- imparfaite, concurremment avec nos chiffres modernes. J'irai même jusqu'à dire que peut-être cette notation des points ou zéros superposés n'a été jamais employée que lorsqu'il s'agissait de présenter en forme de tableau la notation indienne. C'est ainsi qu'au loi. 17 v" du ms. 1913

chiffre 1 ; tandis que, aussitôt que les vraies méthodes indiennes sont introduites dans l'Occident chrétien , par les traductions des traités arabes, le zéro reprend sa véritable signification et fait disparaître le tableau à colonnes.

Cette circonstance nous permet en même temps

du suppl. arabe, un chapitre d'un traité d'arithmétique pratique commence par présenter les chiffres indiens en forme de tableau avec les points superposés , comme il suit :

m PFF r v r v r v YÏY Mil

444 AAA VVV HH*

tandis qu'immédiatement après, lorsqu'on explique comment doivent s'écrire avec ces chiffres les nombres dix, cent, mille, vingt, trente, quarante, cent dix, mille cent, mille cent dix, cent vingt, trois cent trente, quatre cent dix, huit cent cinquante, sept cent millions dix mille cent quinze, ces nombres sont écrits au moyen dd zéro sous la forme d'un petit cercle placé à côté ou au milieu des autres chiffres, comme il suit: lo, |oo, looo, fo, t"o, I e », Mo, Iloo, lllo, ifo, r^o, Ptfo.'Aio, vooo|o||9. 11 se pourrait bien que le scolie de Néophytes ne fût que la reproduction légèrement modifiée, et accompagnée des éclaircissements les plus nécessaires, d'un de ces tableaux que l'auteur byzantin avait trouvé dans un manuscrit arabe.

1 Manuscrit 534 du fonds Saint-Victor latin de la Bibliothèque impériale de Paris, fol. 1 1 v°, lig. 4, à fol. 1 2 r°, lig. 6. «Memini»se «ergo debes quia, cum superius de descriptionc tabulas ioqueremur, «in ultima ternorum arcuum superductione quandam figuram cui «sipos nomen est, in modum rotulae formatam, nullius numeri «significativam, inscribi solere praediximus, cujus operam insequen- «tibus proraturam praemittebamus. Si quidem figuram hujusmodi cprovidus abacista in calculis effigiabit, et ad eum quo de agitur «usum in ter alios caractères reservabit. Cumque aliquam talem mul-

• tiplicationem facere necesse fuerit, ut metuendum sit, ne dispo-

• sitorum caracterum multitudo in errorem inducat, unam ex his «rotnlismnltiplicatoribus, altérant mnltiplicandis , ad elimioandum «errorem, pro aigno superponet, ita ut, dum primus mnitiplicator

J. As. Extrait n° 1 . (1 863.) 5

de nous faire une idée plus exacte de la manière dont les Néopythagoriciens reçurent de l'Inde la forme de leurs chiffres, fait que nous révèlent les figures de ces chiffres, d'après les documenls placés ci-dessus sous les yeux du lecteur. Si les Néopythagoriciens avaient reçu les méthodes indiennes de l'arithmétique pratique, telles que nous les trouvons dans l'ouvrage d'Alkhàrizmî et dans les traités arabes postérieurs à cet auteur, ils auraient trèsprobablement adopté ces méthodes, dont la simplicité et l'élégance sont trop frappantes pour ne pas séduire des savants obligés d'exécuter des calculs numériques. Il faut en conclure qu'il n'arriva à Alexandrie que des rapports plus ou moins vagues, touchant le fait d'une existence de dix signes employés dans l'Inde, et propres à exprimer tous les nombres imaginables , en prenant une valeur de position; et que ces rapports étaient accompagnés de listes représentant les ligures des signes au moyen desquels on pouvait réaliser un effet si extraordinaire. Les Néopythagoriciens cependant, fatnilia-

■ multipiicandos caractères sun quanti in te percurret, ipse super ver-

■ liccm, danec mîmes inulliplicandos meiisus l'ucrit, ïnmobilsm

• rolulnm gerat. Qnum vero mu llipli candis rotula superponEtnr, per «singolos eornm a primo usque ail pnslremiun , prmit cuin eis prï- « mus multiplie iinr nilioni'm lialirhii. trauspoi'ialrilur. Sicqne per - primnm mulliplieatureui oprra l'ipleia , super St'cuuthim mullipli-

■ calorcin rotula ponelur, nli ultimo uiilem mulliplicandoruni ad

• primnm rutula repurliiliilur, duiii s-.iuii seemniiis midliplicator sua «ipiaulilalc nieUcliir; et Juin siii^uloii eorum multiplicande* proce-

• dcl, per ainguio.* mlulii usipie ad ultiuiai», eo <pn> prcediiimus or-

■ dinc, trunsfertur. Qui' vero, ut uîctwii esl . super mulliplicatoreni

risés avec l'étude des nombres, devaient reconnaître aisément que la même idée se pratiquait au fond sur les machines à compter, en usage depuis longtemps 1 chez les Grecs et les Romains. Ils ne pouvaient pas manquer de comprendre que les signes merveilleux de l'Inde étaient le moyen de transformer l'abacus manuel en un abacus écrit, et le syncrétisme alexandrin, amoureux du prestige mystérieux qui entourait les idées et les symboles venus de loin , et surtout de l'Orient , amalgama les figures indiennes avec les pratiques grecques et romaines dans le système de numération et de calcul dont nous trouvons l'exposé dans le passage de Boèce.

Mais il faut prouver encore que rien ne nous empêche d'admettre que l'emploi de dix signes, avec valeur de position, ait existé dans l'Inde, et ait pu être transporté de là à Alexandrie, centre de la civilisation néo-hellénique , dans les premiers siècles de notre ère. Je devrai pour cela examiner plus à fond qu'il n'a été fait jusqu'à présent, le développement de l'arithmétique pratique dans l'Inde pendant les âges antérieurs au commencement de notre ère.

«rotulaposita fuerat, inmobilîs permanebit, donec omnes superiores cmetiendo operam suam expleverit, et sic ad alium muUipiicatorem i transitât. Quod tamdiu faciendum erit donec per omnes multipli- • catores rotuia promota, per singulos eorum tota multiplicandorum « decursa fuerit su m m a. »

Les premières lignes de ce passage jusqu'aux mots « nullius mimerit ont été publiées déjà par M. Ghasles (Comptes rendus de I Académie des sciences, t. XVI, p. 1 407).

1 Comparer Revue archéologique, 3 e année (i846), p. 3o8.

Lorsque nous consultons l'histoire des sciences . nous trouvons chez les Indiens une prédisposition particulière pour les spéculations mathématiques qui se rapportent au nombre entier. L'astronomie, la théorie des quantités irrationnelles, l'algèbre, qui sont, chez les Grecs, essentiellement ou exclusivement fondées sur des considérations géométriques, deviennent , entre les mains des Indiens , des sciences puremeut calculatrices. C'est de là même que résulte chez les Arabes, qui recueillent les travaux des uns et des autres l , une combinaison toute nouvelle de la démonstration géométrique des problèmes avec leur résolution numérique, combinaison dans laquelle il faut chercher l'origine des applications modernes de l'algèbre à la géométrie et de la géométrie à l'algèbre. Dans la résolution des équations indéterminées, qui dépend entièrement de la connaissance des propriétés des nombres entiers, et qui est la

1 Dans l'histoire des sciences un des indices les plus sûrs des emprunta et de leurs origines ooniKta dans les termes techniques. surtout lorsque ces termes n'expriment pas simplement au nécessairement In chose ou l'opération qu'ils désignent. C'est ainsi que l'nri^inr indienne de l'arithmétique arabe est révélée, entre autres, pur le nom de la mullipliration t jy". imité des expressions sans- C ri tes pour la multiplication, qui signifient fnipprr, délrairt [par eiemple, iStHirya-iiiW/itîfllii, I ,v-70 ; comparer (Jolehrooke , Âii/ebra, '.n/i m il/dm-.').: > rie. p. 5, note 6 \ , r t par le nom de la racine carrée illlt- ) ■i.nlm'tioii du mut sanscrit moulu; tandis que l'influenra .;i-v,|ii. -■ montre d'autre part dans l'emploi du 1er me «Là, tra-

duction de n/.î^pi . dont degrés supérieurs.

• pour designer les r

source de la théorie moderne des nombres, les Indiens sont parvenus à des découvertes qui dépassent de beaucoup tout ce qu'ont fait les. autres peuples de l'antiquité ou du moyen âge, et auxquelles la science moderne elle-même ne s'est élevée que par les efforts d'Euler l .

Mais ce n'est pas seulement sur le terrain de la science proprement dite que Ton rencontre cette aptitude spéciale pour l'étude et le maniement. des nombres 2 qui forme, avec la tendance aux abstractions métaphysiques, un des traits les plus caracté-

1 Colebrooke, Algebra, witk arithmetic, etc. Vtdja-Ganita de Bhâskara , 3* chapitre , et Kouttaka de Brahmagoupta , 7* section.

* L'bypothèse qui sert de base aux systèmes astronomiques des Indiens, et qui consiste à prendre pour époque des mouvements des planètes le moment d'une conjonction générale, est également une preuve de cette disposition particulière de l'esprit indien. La conception d'une pareille époque, comme base des calculs astronomiques, ne se présentera guère qu'à des savants intimement familiarisés avec les spéculations de l'analyse indéterminée; car la détermination d'une telle époque, qui, naturellement; ne peut être que fictive, dépend d'un problème d'analyse indéterminée du premiçr degré.

En effet, soient l, V, l", F, etc. les longitudes moyennes des planètes à un moment donné, et p, p', p", p w , etc. leurs moyens mouvements respectivement ; pour déterminer le moment d'une conjonction générale en longitude moyenne, on aura à résoudre les équations simultanées :

l+tfi=x 36o°+A f + tft , «« , 36o°+A r-t-tp*=«*36o°+A r+tp'sjrtfo'+A etc.

d'où (W) + t(p-f*') = (*-V)36o° ((rj + t(p-p')== (*-•) 36o° {l-r) + t(tt-tt m )=(x-x m )Mo etc.

ment inhérente à la nature même de la nation, qu'on la retrouve dans les créations du génie indien les plus étrangères aux mathématiques.

Une des meilleures preuves de celte assertion ronsiste dans les mots propres que possède la langue sanscrite pour désigner des puissances très-élevées du nombre dix, et que l'on ne doit pas chercher dans des traités mathématiques, mais dans des ouvrages religieux et poétiques. M. Weber a publié 1 une notice fort intéressante sur l'emploi de ces mois dans la littérature védique. Il fait connaître un passage de la Vâdjtisanêya Sanhitâ du Yadjourvcda , où l'on énumère les pierres nécessaires à la construction de l'autel du l'eu sacré, en faisant usage des mois suivants :

Ayouta = 10.000.

Piiyouta= 100.000- Prayouta:= i .000.000.

. Arbouda as 10.000.000. Nyarbouda m 100.000. 000.

Satnourlra =f= 1.000.000.000.

Madhya =: 10.000. 000 .000.

Auta = 100.000.000.000.

Paràrcllia = 1.000.000.000.000.

I les différence!

yUo'-[l-f)

I i|ui rat un système de 11

x-x , x-x , elc. qui sonl reant-cli ventent,

équations simultanées du premier

Il signale un passage du Mahâbhârata où, dans ï'énumération des richesses de Youdhichthira, se "trouvent employés les noms :

Ajouta = 1 o.ooo.

Prayouta = 100.000.

Padma = 1.000.000.

Kbarva = io r ooo.ooo.

Àrvouda = 100.000.000.

Çankha = 1.000.000.000.

Mahâpadma = 10.000.000.000.

Nikharvaz= 100.000.000.000.

Kôti = 1 .ooo.ooo.ooo.ooo.

Madhya = 10. ooo.ooo.ooo.ooo.

Parârdha = îoo.ooo.ooo.ooo.ooo.

Sapara = î.ooo.ooo.ooo.ooo.ooo.

Enfin, M. Weber cite un passage du Râmâyana de Vâlmîki où le poëte, pour exprimer le nombre des singes qui composent l'armée de Sougrîva, établit l'échelle suivante :

i kôti = io.ooo.ooo.

i çankha = 100.000 kôtis.

î vrinda = î oo.ooo çankhas.

î mahâvrinda = î oo.ooo vrindas.

î- padma = î oo.ooo mahâvrindas.

î mahâpadma =z î oo.ooo padma».

î kharba = î oo.ooo mahâpadmas.

Les exemples que je viens d'emprunter à la notice de M. Weber appartiennent à des ouvrages brahmaniques. Jetons maintenant un coup d'oeil sur un des livres sacrés de la doctrine bouddhiste, le Lalitavistara , qui contient la biographie fabuleuse du « Saint de la famille des Çâkyas. » Choisissant

les exemples au hasard , nous y trouvons des réunions de dix mille religieux, de quatre-vingt-quatre milions d'Apsarases, de trente-deux mille lïôdhisattvas, de soixante-huit mille Brahmas, d'un million de Caleras, de cent mille dieux, de centaines de millions de divinités, de cinq cents Pi'atyêka-Bouddhiis, de quatre-vingt-quatre mille fds de dieux, puis de trente-deux mille et de trente-six millions d'autres fils de dieux, de soixante-imil mille kôtis de fils de dieux et de Bodhisattvas, de quatre-vingt-quatre centaines de mille de niyoutas de kùtis de divinités. Les signes principaux du Bouddha sont au nombre de trente-deux, ses signes secondaires au nombre de quatre-vingts, les signes de sa mère au nombre de trente-deux, ceux de la demeure et de la famille où il doit naître, au nombre de huit et de soixantequatre. La reine Màyà-Dèvî est servie par dix mille femmes; les ornements du trône dit Bouddha sont énumérés par centaines de mille; des centaines de mille de divinités et cent mille millions de Bodhisattvas et de Bouddhas rendent hommage à ce trône qui est le produit de mérites accumulés pendant cent mille millions de kalpas 1 . Le grand lotus qui éclôt la nuit de la conception du Bouddha a une étendue de soixante-huit millions de yôdjauas. Deux cent mille trésors paraissent a la naissance du Bouddha; cet événement remplit de joie les trois mille grands milliers de mondes, et les êtres viennent rendre hommage à sa mère, la reine Màyà- 1 Un Lalpa est une (triode de 4,3* 0,000,000 d'ans.

Dêvî, par troupes de quatre-vingt-quatre mille et de soixante mille. En fait de nombres plus petits . on remarque encore les quatre grandes méditations, les sept pas faits de chaque côté par le Bouddha qui vient de naître, les sept choses précieuses, les huit membres du corps, les vingt-huit chefs des Yakchas, les trente-trois dieux du ciel d'Indra , les cent vertus, les cent huit portes de la loi, etc. D'autres nombres qui se présentent très-souvent sont : quatre cents, cinq cents, huit cents, trois mille, cinq mille, huit mille, vingt mille, trente-deux mille, quarante mille, quatre-vingt mille, dix millions, cent mille kôtis, cent mille millions de kôtis.

Si l'on place en regard de l'exubérance de ces fantaisies arithmétiques la sobriété comparativement extrême des prophètes de l'Ancien Testament et même de l'Apocalypse 1 , ou de la mythologie grecque , on ne peut pas s'empêcher de reconnaître

1 On dirait que pour le génie sémitique pur le nombre ne sert qu'à représenter une réalité précise et ne devient presque jamais un instrument de l'imagination. L'Apocalypse est conçue dans un esprit tout différent. Les nombres y sont pour la plupart symboliques , et certains grands nombres y révèlent déjà une tendance à l'énorme, et eomme un souffle venu d'un Orient plus éloigné.

Voici les nombres supérieurs à cent que j'ai remarqués dans 1* Apocalypse : deux cents millions (ivo fivpidêeç pupidèav, ch. ix, v. 16) , des myriades de myriades et des milliers de milliers (ch. y, v. 1 1 ), cent quarante-quatre mille (ch. vu, v. 4 , et ch. xiv, v. i), douze mille (ch.vn, v. 5 à 8, et ch. xxi, v. 16), sept mille (ch. xi, v.i3), seize cents (ch. xiv, v. 20), douze cent soixante (cb. xi, v. 3, et cb. xii, v. 6), mille (ch. xx, v. 2), six cent soixante-six (x&* ' e °é* lèbre nombre apocalyptique, ch. xm, v. 18), cent quarante-quatre (cb.xxi, v. 17).

que le génie indien a pour les conceptions numériques un penchant, une facilité et une puissance qu'aucune autre nation n'a jamais possédés au même degré.

Mais le Lalitavhtara contient un document encore bien plus précieux pour l'objet qui nous occupe ici, document qui mérite un examen tout spécial.

Lorsque le Bôdhisattva est d'âge à se marier, Gôpâ. fille du ÇâkyaDandapàni, est destinée à être sa femme. Mais Dandapàni refuse de lui accorder sa fille , à moins que le fils du roi Çouddhôdana ne fasse publiquement preuve de son habileté dans les arts. Par conséquent, une espèce de concours, dont le prix sera la possession de Gôpâ, a lieu entre le Bôdhisattva et cinq cents autres jeunes Çâkyas. Les objets de cet examen sont l'écriture, l'arithmétique, la lutte et l'art de lancer des flèches. Entre l'arithmétique et la lutte, le texte fait une mention trèspassagère du saut, de la natation et de la course 1 . Il est vrai qu'à la fin du récit il se trouve encore 2 une longue liste de touies les sciences et de tous les arts de l'Inde, dans lesquels le Bôdhisattva aurait égiilement montre sa supériorité. Mais celte énumération n'est évidemment qu'une addition postéririiro . car lorsque les concurrents ont fini de tirer de l'arc, les lils des dieux qui avaient assisté à l'examen, chantant des hymnes à la louange du Bôdhi- «ittvii cl jetant sur lui des fleurs, s'en vont 3 .

' r»g* i -]i , lign* i , Ha texte sanscrit imprimé à Calcutta. ' t'«tf" 17 8, lig. lî.àp. 179. lig. 9.

1 HWPP^.

Remarquons d'abord que, sur quatorze pages du texte sanscrit qu'occupe la description de ce concours, l'examen concernant l'arithmétique en remplit six et demie à lui seul, et passons maintenant aux détails fort intéressants de cet examen.

Après avoir vaincu sans difficulté les autres jeunes Çâkyas, le Bôdhisattva est invité par son père à se mesurer avec le grand arithméticien Àrdjouna, qui avait été établi juge du concours. Interrogé par celui-ci sur les moyens d'exprimer des nombres supérieurs à cent kôtis *, il répond par l'exposé de l'échelle suivante * :

i ayouta =100 kôtis = 1 o *.

1 niyoutam 100 ayoutaszr: 10"

1 kangkara =r 100 niyoutas = 10 1S .

1 vivant =100 kangkara» = 10 15 .

1 akchôbbya =100 yivaras =10".

1 vivâba — 100 akcbôbhyas = 10 ï9 .

1 outsanga =100 vivâhas= 10".

1 bahoula =100 outsangas= 10".

1 nâgabala = 100 bahoulas = 10 ",

1 titilambha = 100 nâgabalas =10

1 vyavasthânapradjnapti = 100 titilambbas =10

1 hêtouhila =100 vyavasthânapradjnaptis = 10 S1 .

1 karahou = 100 hêtouhilas 10 ss .

1 Un kôti est égal à dix millions ou 10 7 ; je me servirai , dans l'échelle ci-après, de la notation des exposants, pour ne pas avoir à écrire des séries de zéros qui occuperaient trop de place et mettraient seulement de la confusion dans l'esprit du lecteur; 10 7 signifie 1 suivi de sept zéros, 10* signifie 1 suivi de neuf zéros, et ainsi de suite.

' Texte sanscrit imprimé à Calcutta, p. 1 68 , lig. 1 a , à p. 169 , lig. 18.

— 7fi — i lit'tviitclriyn ES lookorabou» = 10".

1 ''.Mii.ijii.il,'iuilili;r = 100 lui > indu v.-i.- — 1 giiiiitN:'i<;iiti - i m i s.tin;i|>Lnlmgil>liiis 1

1 niravudya = mogananàgatis = 10".

1 iiiodclrdbnla = 100 niravadyns =: 10". l sarvabnln — 100 moudràbalas =i IO* 5 1 viiiuiiljn.iynii = 1 00 sarvabalfls = 10" 1 snrvasaiidjïiii = 100 vbajuijôigatil = 1 1 vililuiiilangmnâ — ioo sarvasnndjfià* — 1 lallnkcliaiia — ion vibhoûtangamàs — 1

Arrivé ainsi au tallakchana , qui est le nombre que nous écririons par une unité suivie de cinquante trois zéros, le Rôdhisatlva ajoute que toute celle Oehelle ne Ibrme qu'une seule numération, la numération tallakchana 1 ; mais qu'il se trouve, audessus de celle-ci, la numération dhvadjàgravati; au-dessus de celle-ci, la numération dhvadjâgrani- ■ ; .! m. m i , et au-dessus de celle-ci encore . cinq ou (d'après la version tibétaine, traduite par M. Foueaux 3 ) six autres numérations* dont il donne les noms. Sî nous supposons à chacune de ces numérations un nombre de termes égal à celui de la nuiiHiaiinn tallnlchana, et formant également une |UV);ivssion dont la raison est 100, on arrive de 1 Aiiui appelée éiicteuiinetit du uom du dernier terme auquel cil* « KanivaA- ni f«, traduit par £d. Foocmu. II' partie. Paris.

wHiniliv*) «M t tfiiwm. •*• 11. F-NHWU ce» I»Jm1 a'a pas reçue •feu I* «Nto et m IndiM-tw*. e« bùaM «kerm <p* le son de tï*W ww*Wmt*>* .tumeur a*u iW*t iwx.iml itmnu du Ltliia- •WMM une puaaisjk- ta tkU^a^wr iiycnah Jr Parà.

cette manière jusqu'à 10 ( 7+9 * 4fl ), ou à un nombre qui s'écrirait par une unité suivie de 4 a i zéros.

Àrdjouna, qui ne désire plus désormais que de s'instruire par la science supérieure du Bôdbisattva , le prie alors de lui expliquer comment on peut entrera dans la numération qui pénètre jusqu'à la poussière des premiers atomes 1 , » et de daigner leur apprendre, à lui et aux jeunes Çâkyas, combien il y a d'atomes premiers dans un yôdjana.

Le Bôdbisattva commence par établir l'échelle suivante 3 , sur laquelle j'appelle l'attention du lecteur, parce que j'aurai à en faire usage ci-après :

i grain de poussière très-fine ~ 7 grains de poussière des

atomes premiers = 7a.

i grain de poussière fine = 7 grains de poussière trèsfine ==7x7*1 ou 7* a.