PROBLÈME X

37. Exprimer en valeurs des six arStés d*une pyramide trian'^ gulaire^ l'angle formé par celles de ces arêtes qui sont respectiçemeht opposées deux à deux ; c'est-à-dire ( vu qu'elles ne sont pas dans un même plan), V angle que ferait auec Vûne déciles , la droite menée parallèlement à Pautfç^ dis l'un quelconque des points de la premier^.

Solution. Je garde led dénômin^ations du problème précédent :

910. 4. 1^^ arêtes respectivement opposées étaut ^ et n^ h et p , f et m*,

proposoû3>-nbus y par ^exemple; detrouver Tangle formé par g et n ,

c'est-à^(lire,PaAgle4]Qe formerait av^c £ ou AB, yne djroite menée

du point-B.paraUéliçsitiént à n ou CD> aAgle que^ ^'aprës la notation

expliquée (4) , je désigne pfir AB CD ou g n. Pour rendre la figure plus nette , traçons-la de nouveau (fig. 6)

avec ta parallèle dont nous Venons de parler^ et soit BO cette

parallèle au côté CD.

Concevons une surface sphériqué qui. ait son centre au point Bj

Yw. 6. ^' 9^^ <cit tencontrée pdr lés droites 'BA* , BO , > BD , BC , aux |f points a, o, d, c, respectivement* \Jt\ ^n8X]ui, contiennent ces

droites deux à deux , formeront sur cette surface sphériqué ^ un triangle sphériqueT Wo \ qui aura àVec le premiier àcd , un angle

cf^nppuA ca4^i>la4>o6éi piur k lenune II, le^deux tuftpgjba sphé*

(«9) riques ode f aco ^ donneront les deux valeurs suivantes pour le cosinus de l'angle acd qui leur est commun :

, COSOtl—- COSOC.GOSClf

• OOS<ak?asac ' . air.J.^' '

nntfc.sinca

, oos ao — cos oc. cosro

COS tiCd sss : ■ ;

âin oc. smco '

égalant ces deux valeurs i et réduisant^ .on. aura (cos ao — cos ac • cos co) sin cdzis. (cos oii^— cos ar . cos crf) sin co . . . .(A) mais il est évident que ac =: ABC ^ co^ OBC = supp. BCD / cd = CBD , ad = ABD.

Or touà ces angles sont connus et faciles à exprimer en valenra des arêtes de la pyramide; il n'y a donc plus rien d'inconnu dans Téquation précédente (A)> que Tare cherché ao qui est la mesura

de l'angle cherché BÂ^CD ou g\.

L'équation précédente devient donc^ ...

( cos/^/i 4- cos ABC . cos BCD ) sin CBD =a (éosABD— cosÀBC.cosCBD)«mBCD. (B)

d^où l'on tire cos^ n par une équation du premier degré en valeurs de ABC^ BCDj CBD^ ABC. Mais puisque noua voulons avoir cette inconnujd. en valeurs de9 arêtes seules de la pyramide , il faut cheroher ces angles en valeurs des arêtes. Or;^ par le lemme I# nous avons ( fig* 3 )

CosBCD=: ^'+"'""P^ ;