PROBLEME XIX

4^. Des six arcs de grands cercles qui joignent deux àdeu» quatre points quelconques pris sur la surface d^une sphère , cinq quelconques étant donnés y trouver le sixième.

Solution. Soient B, C»D>E> les quatre points proposés sur la fig. s. surface de la sphère 5 BC, BI>, BE, CD , CE, DE, les six arcs de grands ceï'cles qui joignent ces points deux à deux^, il en résultera le quadrilatère sphérique BCDE, dont les quatre côtés sont BC, CD, DE, fi£^ et les 4îagonales BD, CE, et il s^agit 4e troiwer la relation qui existe entre ces côtés et ces diagonales»

' ^Rappellerai arcs opposés ceux qui n^ont point d'extrémités eommunes : - ainsi )es six arcs du quadrilatère sont opposés deux à deux ; savoir, le côté BG au côté DE , le côté CD au côté BE , et la diagonale BD à la diagonale CE; oiais on peut considérer dans tout quadrilatère les jcôtés comme diagonales , et les diagonales conune côtés. Ainsi nous dirons en général que les côtés son£ opposés deux à deux^ et cela devra s'entendre aussi des diagonales.

Observons , en passant , deux choses : premièrement , que des trois arcs BC , CD , BD qui forment, par exemple , le triangle sphérique BCD , il n'y en a point qui soient opposés entre eux ; mais qu'ils ^ont tous respectivement opposés chacun àehacun def trois arcs s, q, r, qui partent du quatrième angle £ ; et la mémo chose a lieu pour chacun des autres triangles JUEID, CBE, CDE^ qui ont leurs sommets aux angles du quadrilatère* Secondement^ que si du centre A de la surface sphérique sur laquelle .est trac^i^to-^ le quadrilatère, on imagine des rajons menés aux quatre angles B , C, D, E, ceux de ces rs^rons qxû embrasseront l'un des arcs^ seront Pun et l'autre différens des deux rajons qui embrasseront l'autre arc *, au lieu que lorsqu'il s'agit d'arcs qui ne sont pas opposés, il jr a parmi les rayons qui les embrassent, un de ces rayons qui appartient en même temps aux deux arcs , et l'on voit que ces quatre rajrons forment les quatre arêtes d'une pyramide quadrân-

g^laixp ,. d9^ts ^«quelle nou9 appellerons foces oj^osées , celles qui

sont comprises Tune entre deux quelconques de ces quatre rayons > l'autre entre les âeut autres , sans qu'il j ait aucun de ces rajrons commun à l'une et à l'autre. Ainsi il jr a au sommet d^une pyra« ramide quadrangulaire ABCDE ^ six faces qui sont opposées deux à deuxj savoir, AfiC et At)É; ACD et ABËj ABD et ACE.

D'après ces éclaivcissemens > nous allons re{Mrendre la solution de. viG, 7. notre problème. Soient donc dans le quadrilatère considéré BCDE,

^» ^3 Pf 1^^ t^^'i^ ^<^ o^ côtés BC, CD> BD, de l'un quelconque.

des quatre triangles qui ont leurs sommets aux angles du quadrilatère •

#, q^tf leKS trois arcs ou côtés £D, £B, EC, respectivement

opposés aux premières*

Far le lemme m (3) , nous avons entre les (rois angles qui o&t leur sommetau points, par exemple; sayoir, CBE, CBD , DBE,* dont l'un est la somme des deux autres : nous avons, dis-je^ Téquation suivante :

a — co*CBË--ci08»C]^^coB*BDE + flCosCBE.côsCBÏ).C08lJBE£ïO. . . * . . W

Mais, fe lemme 11 (a) aious donne pour trom^ef les angles qui entrent dans cette fornmle,'les trois autres équations

cos CBE

cosr— edS7n«co8(A ■

cos it— • CÛ8 m . C08J

•COI DBE » '^'"T'^P""??!

Substituant c€a valeurs drat l'équation précédente (A), on aura,» après avoir fait disparaître les dénominateurs, et multiplié paff lin*m.sin*/7«sin*^, l'équation suivante.: .

. sin'm . 8in^ . ésfq — 8m*p (cos ?*— Côsm.c^os ç)* •^rin^ç (cosn — cosm. cosp)*— 8in*m (cos j— cosp.cos 7)*

-|*'â(^08r^C08m«C0S9)(C08ll— C087ll.C08p)(C0SX— 'C08p.COS9)=:0 * • • (Q

n ne s^agit donc, plus ^e d^é£Fectu6r les opérations, indiquées,' «t de Biettre ensuite ila plaœ de ûuVtij fàsfp^ ûs^q^ )taie« ««Valeurs

inespeciiVeSi i— ^ cos*/« i t — cos*;i , i — co**^ j alon on obtiwdrt la formule suivante qui satisfait à la question proposée ^ *

I — co8^» •- C08»» — coa^ — C08*^ — cosV — cos*.* •+• co8*iif « co^s •+• coâ*n . co^-ç + cos^ . co«*r •f- â cosm . C09/I • coep + acosm . coe^ « cosr 4* A C08 n . cosr .coes -^ a coap., cosç . cq»«.

— <âCOSm.C08n.COf</.C08^— aC087ll.C09p.C08r.C08J

r— âeôftTt.cosp.cosf.cosrrco.l •••••• (JOy

ce quHl fallait trouucrm

n est à remarquer que dans cette formulé il n'entre que les

cosinus des arcs proposés ^ et que chacun d'eux ne s*j trouve élevé

qu'au carrée d'oik il suit que l'équation à résoudre n'est jamais

que du second degré. Cette formule revient au même que celle

qui a déjà été trouvée (47) > comme cela doit être évidemment»