PROBLÈME XX
49- Hm six angles que forment entre elles deux à deux les quatre arêtes qui partent du sommet d^une pyramide quadran» gulaire^ cinq quelconques étant donnés , ttous>er le sixième^
Soluiion. Soit A le sommet de la pjramide qûadraagnlaire n^.%
proposée » BCDE sa base , AB , AC > AD , AE , les quatre arêtes tqui partent du sommet.- Ces quatre - arêtes prises deux à deux^ forment, évidemment six angles, et la question est de trouver l'un quelconque de ces angles lorsque les cinq autres sont donnés*
Prenons A pour le centre d'une sphère , et supposons que les quatre arêtes de la pjrramide aillent rencontrer la surface de cette sphère aux points K, C, D"^, "E, respectivement. Joignons ces points deux il deux par un arc de grand cercle; il en résultera visible* ment un quadrilatère sphérique KCD'£% dont les quatre côrés ^t les demr diagonales sont p):!écisément les mesures respectives des •ix angles que nous avons à considérert Donc nous pouvons appU*
^ùer à ces six angles la formule (D) du probl&me précédent ^ c'eslr à-dire que si nous faisons (4) >
AE AD = * , AE AB = 7 , AC AE = r ,
on aura la formule suivante qui satisfait à la question proposée ,
f .^ cos*m — co8*n — cos^ — cos^^ — cosV — cosV
+ C08*77l . COS*^ + C0S*71 . COS'Ç + COS^ . COflV
-|- 2 cos m . cos n . cosp -f- a cos m . cos q . cos r "^
-^ a cos n . cos r . cos 5 >-f- â cos p . cos q . cos j — âcosm. cosn . cos q . cos^ — - âcosm. cosp . cosr . cos^ ^-âCo8n.cosp.cosqf.co8r = o (A)
^(ce qu^il fallait trout^er.
II ne faut pas oublier d'observer que les trois angles s , q ^ r, sont respectivement opposés aux trois premiers m , n, p ^ conformément à Texplication qui a été donnée dans le problème précédent.
So. Des skt angles que forment entre elles deux à deux quatre 'droites menées d'un point pris à volonté dans V espace , suivant
è des directions quelconques } cinq quelconques étant donnés ^
"trouver le sixième.
' Solution. Les quatre droites proposées peuvent ^e considérées comme les quatre arêtes d'une pjramidé quadrangulaire ^ réunies au point pris à volonté dans l'espace > on peut donc appliquer aux six angles que ces droites forment entre elles la formule (A) du .problème précédent \ c'est-à-dire ^ que si ayant désigné ces quatre FiG. 8. droites par y^^j ^> ^> nous faisons (4)
/^As=m, /T/ss», f g=:p,flz=zs, g^l^q^ jC^t^=zr^
s y q , ry étant les trois angles respectivement opposés anx premiers ijifnypy on aura là formtile suivante qui satisfaite la question
pio. 8|
proposée #
-^- cos't» . co^s + co8*n . cos^q •+" cos^ . co»V •>}• â cosm . .C08 h . cosp •4' ^ cosin . cos(/ • cosr -^ 9 cos 1» • C08 r • cos 5 -)- a cos p . cos q • cos ^ —ficoam.cosn.cos^.cos^—acosm, cosp. cosr «co8f — âco8 n.cosp.cos^éCosrca o • ••« • (A)
ce quHl fallait iroui^ùt.
Soit ABCD la projection d*un quadrilatère gauclie quelconque ] et soient m^ ti, q ^ s, p, r^ les six àdgies fofftiés par les côtés de ^Îm.
ce quadrilatère gauche deux à deux , AB , CD , représentant les
deux côtés opposés } AD , BC ^ les deux autres ; de manière que 771 est Tangle compï'is entre les côtés représentés en projection par
AB , AD ; ^l'angle compris entre les côtés respectivement opposés aux premiers; n VangXe compris entre les côtés représentés par
BA , BC j ç l'angle compris entre les côtés respectivement opposés
à ceux-ci; 7" l'angle compris entre les côtés représentés par AB,
'CD, où plutôt à cause que les droites ^ne sont pai dans le même
plan , Tangle compris entre AB et une autre droite menée d'ua
-point quelconque de celle-ci parallèlement à CD#
Cela posé > pat l'un des angles du quadrilatère gauche > par exemple , par celui dont la projection est D^ j'imagine deux droites
DF", D£^, respeètivemént parallèles à BA, BC; et je désigne
les quatre directions DA> DC^ DE' , HF' jH^ises en partant 4u point D par g, />/", Aj il est visible qu'on aura
g h=:m, h^fz=:n, g^l=ç,/^lz=:s^/'g=isup.p^ h / = sup.r*
Or les quatre directions g* ^ ^ f ff ^f partant d'un même point, la formule trouvée ci-dessus est applicable aux six angles
mettant donè pour ces angles leuTO valeurs m, n, q^ s, 8lip./>^ sup.r, on adra à cause decossup.)[;s=;— -cos/>, cos sup.rss— cosr, la
Maî§ la formule trouvée (5o) est applicable aux Ht angles ukt ; ûki^, tktf , ukx , ikx , ukx , formés par les quatre droites qui partent du point A^ et dont les trois derniers sont prespectivemeut opposés aux trois premiers*, donc pour appliquer la même formula
aux six angles A^AD, BA^C, ED^EC, C^CD, DA^C,
FA Fp qui sont les supplémens des premiers^ il n'y a qu'à changeif'
\t signe des cosinus } c'est-à-dire que si l'on nomme
m, rij p ,\e% trois angles AB AD^ BA BC^ ED £C; s, q,r, les trois angles CbIcD, DA^bC, FA^D,
respectivement opposés aux trois premiers p <m aura lit formule suivante qui satinait à la question proposée ^
1 — C08*?îl — C08*n — C08*/l — • C08*f — COSV — €08*^ -f- C08*m • C06*^ + C08*/l . cot^q + C08^ . cosV
— flcosm , cosn , cosp — « ùcosm . cosç . cpâi' •^ a cos n • C08 r • coss — a cosp . co8 q . cos s 9»flco87ii.Q08n,co8qf.cosj— acosm.cosp.cosr.cos^ •-aco8m.co8yi.co8f .cosrs o. • « •(A}
ce quHl fallait ttoui^er.
COROLLAIRS*
5S. Il €st .évident que U même formule s^applique aux six angles formés par les quatre faces de la pyramide qnadrangulaira. qui a son >SQmmeit dii dcentre de la surface sphérique sur laquelle Qst tracé le quadrilatère BGDE ^ .et dont les quatre aiètes coupent cette surface sphériquç aux points B^ C^ D^E} ca^r les six angles que forment ejitre elles deux à deux ces faces prolongées ^ ne sont autre chose évidemment que les angles jmèmes du quadrilatère (|ue nous veupM (1^ considérer.
PROBLÈME XXI y.
54* De ces êix choses , sat^oir , les trois angles que forment e9itre elles les arêtes qui se réunissent au sommet d'une pyra^ rnide triangulaire ^ et les trois autres angles que forment ces méme^ arêtes auec la base de cette pyramide^ cinq quelconques étant données^ trouver la sixième •
Solution. Concevons du sommet de la pyramide une perpendi» culaire sur la base^ il est évident que les trois angles que formera cette perpendiculaire avec les arêtes au sommet^ seront les cornplémens respectifs des angles formés par ces mêmes arêtes avec la base. Donp la formule trouvée (So) est applicable au cas pré* tent, en substituant pour «ces trois angles les sinus aux cosinus-; e^est«à«dire , que si V^a désigne les trois arêtes p^tf, g , h, la base par L , le quart de la circonférence par ^r ; et qu'on fasse
.jgh=;;m, hf=n, fg:=rp, fh^^S t gX:=sq , h\z=^r,
les angles qull faudra substituer dans la formule (A) (5o) & Ig place de m^n^p, s, q,r jrespectivemeat , seront
ou> ce qui revient au même^ il faudra substituer dans cette fi)r« 4nule f an Ueu des quantités t *
cosm^ cos/ï^ cos;7j ;cps^^ cos^^ çqsr^
les quantités suivantes
«osm^ eosf2> cos;ey^ cos(4r-«^)^ cos(4r— ^^ cos(4r«»r);
par cette substitution y on obtiendra la formule suivante ^ qui satisfait à la question proposée »,
1 — 0Q9*m -r-cûs*» — cctf'p -^«ip*^ — 4ÎiiV — «înV -5I- cos^/ji . va^s -^ sin'n . ,m^q + ros^ .. »mV «f- acbsm . co8;t . cosp -f- oeos 7» . sin i/ • sin r -f- âCQàn . sinr . sini -^ iicos/7 . Askq . sinir >— ^osm . cosn» aii^^ . sinf — Acosm . cosp . sin nainf ^— '5icos7i.co6p-«8kif «lixirsso. ••«••••• «•...• (A)
M qvCH fallait trouikri ^:^
