ÂD", BC, CD, DE

Du pied E de cette perpendiculaire je mène aux angles B, C^ D,

de la base les trois droites £B, £C, ED, qui sont les éloignemens de perpendkmle , et |e fais pour abréger :

i\ Les trois arêtes qui partent du sommet

Âbs=:f, ÂBzsg, ÂCssh', Si*, Les trois côtés de la base respectivement opposé» à ces arête*

S*. Les trois éloignemens de perpendicule

Eèssq, ÊC^r, f^sss.

(8) 4*. La hauteur cherchée

Cela posé, comme î*ai conservé pour le quadrilatère BCDE, le^ mêmes dénominations que celles que j*avais adoptée; dans le problème précédent pour le quadrilatère BCDE {Jig. 5) j la formule (C) de ce problème I sera applicable au cas présent. Or les trois triangles rectangles ABE, ACE, ADE, donnent pour éliminer de cette formulé les quantités q , r , s , qui ne doivent point se trouver dans la valeur de x, les trois équations suivantes^

Substituant donc ces valeurs de g*, r*, s* ^ dans la formule (C) du problème précédent, nous aurons la formule suivante qui satis^ fait à la question proposée.

~ m^n'f^ — m^n*g* — rn'f^g* — w/ »A*

~ nYg^ ~ '^V*^* ^pY^* — ;^y*A* = (A)

ce qu'il fallait ironiser ^

COROLLAIRE I

7. Puisque la formule (A) contient les sept quantités m, n, p, /,g,h,x'yil est évident qu'elle résout cette question plus générale:

Parmi les quantités suivantes , savoir , les six arêtes d'une pyramide triangulaire et sa hauteur au-dessus de Vune des faces $ six quelconques étant données ^ troui^er la septième^

COROLLAIRE 11

8. Si Ton suppose que les trois arêtes montantes f, g, h^ soient égales entre elles ^ la formule se réduira à

Çf*^x^){2m^n^+2n^j?^'+'2n''p^'^m^^n^*^p^)^m*nY;=:>o,.. .ÇS)

(9) ict ^tfiî c«t <î*ainenrs facUe d'appcrcevoîr î car/* —a:* étant égal ii s% k r* et i, g* , k cause de /= gszzh'i s , r, ç , seront trois rajons du cercle circonscrit k la Jbase BCD. Or par le lemme I^ on a en effet

•équation qui revient au même que la formule (B)^ à cause de

Si l'on supposait aussi les trois c6tés m^n^pf àela base égaux «ntre eux, la formule (B) se réduirait à

et «nfin û l'on suppose ^s: m, on aura

c^est le cas du tétraèdre régulier^

PROBLÊME IIL

9* Troui^er la solidité d^une pyramide triangulaire tn valeurs de ses six arêtes.

Solution. Soient , comme dans le prol)lème pricédent i

9n$ n, p^lds trois côtés ou arêtes de la base , .

Jr 1 ^, A, les trois arêtes montantes respectivement opposées^ or. « • . ..^ «' la hauteur de la pjranûde au-dessus de la base BCD ^ S« .••••. « la solidité cherchée*

Le solide ou volume d'une pyramide étant égal an produit de la base par le tiers de la hauteur ^ nous aurons

Or par le lemme 1, on a

Substituant cette valeur de BCD dans l'équation précédente «

Itérant ensuite fout an oarré > puis substituant dans le résultat Ta valeur de ^^ tirée de la fornnde (A) du problème précédent , on aura la formule suivante qui satis&it à la question proposée ^

i?^ qu^il fallait iroui^er^

10. Puisque là formule (A) contient les sept quantités w, », py f} gf ^> Sj-il est évident qu'elle résout cette question plus générale.

Parmi les sept quantités suivantes ; sa4Joir , les six arêtes d^une pyramide triangulaire et le solide de cette pyramide , six quelconques étant données > trouer la septième.^

C; ORQLIi AIR B I^IV

11. Si l'on, suppose que les trpis arêtes montantes^y, gr^p soient égales entre eUes > fa formule se réduira à

Si l'en suppose au^si les trois c6tés m, n,pyàe lu base* égaux entre eux , la formule (B) se réduira h

^^i6.S^:^ Sf^m^-^m^'y ^. . (€)

et enfin si Ton suppose y=:77t , ce q\n est le cas- du tétraèdre fiégplier^ on aura«