PROBLÈME XXV

55. De ces six choses , savoir , les trois angles formés tm sommet 4*une pyramide triangulaire f par les arêtes qui sy réu* nissent , chacune at^ec la face qui lui est opposée, et les trois angles que forme auec ces mêmfis faces une droite qui trauer^serait la pyramide sidyant une direction quelconque ; . de ces six choses, dis-je^ cinq quelconques étant données p trouver la sixième.

Solution. Far le commet de la pyramide , pimagiDe une droite parallèle à la transversale. proposée. Cette droite fera par conséquent avec les faces de la pyramide , les mêmes angles que la transversale elle-même* Hais si.de. plus ^ par le même sommet^ nous imaginons trois droites respectivement perpendiculaires. à ce» faces ^ il est évident que ces droites feront avec la parallèle ci-dessus, des angles qui. seront complémens de ceux que cette parallèle fait avec les mêmes faces. Donc si l'on, désigne les trois arêtes par f 9 §9 h, les faces respectivement apposées ^ ces arêtes au sommet de la pjraraîde par F^ G^ H, la droite menée parallèlement à la transversale par L, et énfînle quart de circonférence par nxr} il arrivera que les angles formés pait^^cette parallèle et le» droites élevées perpendiculairement aux faces F ^ G ^ H ^ seront respectivement

w— wL F> «-^LOj «r-^L H;

pareillement les angles formés par ces perpendiculaires aux faces V et.l^ arêtes qui. leur sont respectivement opposées , seront les com« plémens de ceux que ces mêmes arêtes et ces mêmes faces font entre elles.

Donc ces trois perpendiculaires et la parallèle à la transversale^ sont quatre droites partant d'un même point , et formant entre elles deux à deux les six angles suivans^ dont les trois demierf sont respectivement opposés aux trois premiers ,

/ar— yV, v^g^G, ^— A"^, * — L F, as-— L G, or— L H. Donc la formule trouvée (5o) est applicable i.^ess|;x atij^ea ;, .Q*e|tr.

à-dire, que si Ton wppose

yV = m, /'G=7i, h^—p, if^^s, l''g=:^, iTïL^r,

il n'j aura qu*à substituer dans la formule, au lieu des quantités m, ri, p, s, q,r,\e complément de chacune d'elles, ou , ce qui revient au même, le sinus de chacune d'elles à son cosinus. Cette substitution donnera la formule suivante qui satisfait à la question proposée /

-f fiin^i» . sia^s + sin»» , «in^^f + «in^p . abV «f- dsiUTit . sinil . sinp -f" i^JiiiLfn . daq^, énr ^ âmn ^ànr ^ tins «-f* A<m^ • nn? • 8la4 «—flèiiim.flinn.sinf.âii^-— a^7n.8mp;.8inr*8in^

ûc quHl fallait trouver»

Bemarque»

56. Nous poornons facilement pousser plus loin le nombre de ces questions , et nous livrer aux applications dont elles sont susceptibles; mais ce serait perdre de vue notre objet priqcipal, qui est de reehericlier la relation qui existe entre Ips distances respectives de cinq points quelccmques pris dans Tesp^ice» C'est ce don^ nous allons nous occuper dans le problèine suivant. Mais je Ae^ puis quitter ce qui regarde la pyraoïide triangulaire, sans souhaiter encore qu'on fasse par elle, pour la Géométrie aqx trois dimeijsions, ce qu'on a fait pour la Géométrie plane, par la résolution du triangle dans tous les cas possibles* Nous avons bien dpnpé ci-dessus (45) la solution du problème général; mais nous n'avons fiait, à propnement parler , que mettre ce problème en équations, de même qufon met le problème général de la Trigonométrie ordinaire en équations , en exprimant toutes les parties du triangle en valeurs de trois seulement d*entre elles, comme par exemple les trois côtés; maitf il s'agit ensuite de développer ces équation^ primitiv.es, pour les appliquer à chaque problème particulier ,* et leur donner la forme la plus avantageuse pour le càlctil desT nombre i i^rdinaires /st celui des logarithnies. De même ici, nous avons bien

exprimé touted les parties de la pyramide triangulaire en valeurs de ses six arêtes seulement ^ mais il y a im travail immense à faire , pour que de ces. formules primitives on puisse passer immédiatement A la résolution soit algébrique > soit numéricjue delà pjratnide dans tous les cas particuliers ; ef c'est ce travail qui serait infiniment utile.

5j. J'observerai > en terminant ce qui regarde cette matière^ que dans presque toutes les formules trouvées se rencontrent certaines classes de quantités dont ^ pour abréger les calculs, on peut représenter la somme par une seule lettre. Considérons ^ par exemple , la formule (A) du problème IV (i^)^ les six premiers termes du facteur qui multiplie 4^* , ne sont autre chose que la somme des produits de la 4^ puissance de chacune des arêtes, par le carré de l'arête opposée :. ainsi nous pouvons représenter cette somme par une seule lettre M, et employer Tune pour l'autre dans toutes les autres formules où elle peut se rencontrer.

De même , les quatre terqies qui suivent , composent la somme des produits des carrés, des trois arêtes qui forment les côtés de chacun dés quatre triangles , qui sont les bases de la pyramide ; ainsi nous pouvons, une fois pour toutes, prendre N pour représenter cette somme connue*

Les douze termes suivans composent la somfttie des produits des éarrés^des arêtes, multipliées trois par trois, en les prenaht consécutivement, de manière qu'il y en ait deux d'opposées dans chacun des produits : ainsi nous pouvons représenter dans toutes les fo^ ihules où elle entrera , «ette quantité conxlue, par O.

Les trois termes qui suivent composent le double de la somme des produits des carrés dés arêtes prises quatre à quatre, de ma- Dière quQ ces quatre arêtes soient opposées deux à deux». Ainsi nous pouvons représenter cette somme connue^ par P.

Enfin , les trois derniers termes composent fa somme des produits ^es quatrièmes puissances des arêtes opposées deux à deux; ainsi nous pouvons exprimer cette somme connue , par Q.

, Ces dénominations une fois adoptées, la formule en question pourra s'exprimer ainsi :

De tnème ^ la formule (A) du problème II (6) pourra s'exprimer ainsi :

a;* (am^n^ 4- ^m^p^ 4- %n^p^ —• m* — »* — f>*)

De même encore > la formule (A) du problème Ttl (g) pourra s'exprimer ainsi :