i6.S* + M-|-N — = ..(Cj

T1 en sera de même de la plupart des autres fornlutes trouvées jusc{u'au n"" 4^ , qui ne sont guères que des combinaisons de ces mêmes quantités M^ N^ 0,T , Q. Par ce moyeu on pourra faire des rapprochemens curieux entre ces diverses formules. Par exemple^ en combinemt la première des formules précédentes avec la troisième j on aura cette relation entre les quatre quantités P ,

ainsi des autres.

Puisque nous at'ons

Si dans ces dernières équations non» mettons pour^ g^ h,m,n,pi leurs valeur» respectives trouvées (47) $ nous auront

Q =; i6R»((i — cos my (i — cos/0' + (1 — cos/)»( 1 — ces rt^)*

-f- (i — cos A') (i — cos;/^)*)

P s=::a. 16^(1— cos n')(i — coSf/)(i— cos^)(i— cosV) + (»— cosm') (i —cos;/) (t — cos/') (1 —008//) + (ï — cos??*') (1 —cos»') (1 —cos/') (i — cos^\

Substituut ce» valeurs de Q et de P dans la formule précédente (D)^ et divisant tout par 16R* ; nous aurons la formule suivante^ qui donne la solidité delà pjramide en valeur du rayon de la sphère

circonscrite , et des six angles formés au centre , par les rajrons menés de ce centre à chacun des sommets de la pyramide.

S=^R' t/((i ^co8m0*(i — cos/7-h(i ^co$gy(i —cosnO* •4- (ï "^ cos h'y(i — cos^* — a.(i — cos n') (i — cos;?') (i — cosg^) (i — cosA') — 3 .(i — cosm') (i —cosp') (i — cos/') (i — cosh")

— a.(i— cosm') (i— cos7z')(i— cos/')(i— cosg^))ot(E). PROBLÈME XXVL

58. Des dix droites qui joignent deux à deux cinq points quelconques pris dans l* espace, neuf quelconques étant données-^ trout^er.la dipcième.

no. 8. Solution. Soient A > B ^ C ^ D , E , les cinq points proposés > et les ayant joints deux à deux par des droites ^ désignons ^ pour abréger ^ ces dix droites comme il suit ;

BEœy, CE=r,DE=5:i.

Je prends maintenant Tun quelconque des cinq points proposés , Ki par exemple ^ pour centre d'une surface sphérique d'uu rayôA quelconque ^ et je prolonge les quatre droites ou arêtes qui partent du point A i jusquà la rencontre de cette surface sphérique^ en B', C, ly, E'} enfin je joina les quatre points B', C, D', Ê', deux à deux ^ par six grands arcs de cercle , que je désigne comme il suit:

Fc=î)7/, CU^ri, ^iy±tLp\ D'E'sc^', B'E's?^^, 0^=^: Cela posfS , nowi avQps (48) entre les six arps /n'^ nl^ p', s', (/, f ^

(47) réquation suivante :

-f-acosm' . cosn' . co8p\ + acosm' . cosç' . cos/ -f-fl cos n' . cos / . cos / + a cos // . cos ç' . cos / — ficosTii'.cosii'.cos^.cos/— scosTii'.cosp'.cos/.cos/ — acosn' •cos/y'.cosç'.cos/zso. ••...•• (A)

Mais puisque les arcs m% n\ etc. sont les mesures des angles BACv CAD^ etc. nous aurons par ïe lenune i les six équations suivantes :

cos m

Substituant toutes ces valeurs dans Téquation précédente (A); réduisant tout au même dénominateur i^f'^^hH^, et effaçant le8 termes qui se détruisent ^ o|i obtiendra ^ après un calcul fort long^ mais qui n'a point de difficultés^ la formule symétrique suivante entre les dix quantités ou arêtes y^ ff^^>h^i^fP>9>^}^>^^ qui résout le problème proposée