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4- if^l^mY'¥^f'^nY'{'3f*lY'* 4-a/"w*«Y4.a/OTV** 'hqf'm^r^s''^a/myT*-^2/*nYi^-h3/Y9*'''-j'!il'm*nY 'ir^l*ni*nY+il*mY^+^mYr*+»l*nYf-jr^i^n,Yt*^Q- .- • (A)
^;& gt^U fallait trouver.
Remarque.
59. Quoique cette formule qui a i5o fermes, paroisse d'abord fort compliquée , elle est symétrique et assujétie à une loi facile à saisir» Car^ i*. les quinze premiers termes composent la somme des produits de^^^uatriëmes puissances des arêtes opposées deux a deux-, c'est-à-dire, de celles qui n'ont pas d'extrémités communes* Soit cette somme s= F»
' s"". Les trente termes qui suivent composant deux fois la somme des produits de la quatrième puissance de chacune des arêtes , par le produit des carrés des arêtes qui lui sont opposées , prises deux à deux. Soit cette somme = G.
3% Les dix termes suivans composant quatre fois la somme des produits du carré de chacune des arêtes , par le produit du carré de chacune des trois arêtes opposées , c*est-à-dire qui n'ont point d'extrémité commune avec elle. Soit cette somme = H.
4''» Les quinze termes suivans composent deux fois la somme des produits des carrés des quatre côtés de chacun des quadrilatères gauches qui entrent dans la construction de la pyramide. Soit cette somme. « =: K«
S''. Enfin les soixante derniers termes composent deux fois la somme des produits des carrés des quatre arêtes qui formeraient le contour d'un pentagone gauche , dont on aurait retranché un côté. Par exemple, ABCDEA exprime le contour d'un pentagone
gauche dont les côtés successifs sont AB , BC , CD , . DE , E A ;
qu'on ôte l'un quelconque de ces côtés , par exemple CD , il restera
les quatre côtés AB, BC, DE, AE, ou ^, m, ^, / : or le double du produit des carrés de ces quatre quantités est a^*/*m*5*, qui se trouve être le 14^™» terme des soixante de cette dernière classe. Soit cette somme = L, la formule (A) pourra donc s'exprimer simplement comme il suit :
Cette formule extrêmement remarquable , et qui fait particulièrement l'objet de ce Mémoire , donne la solution d'une mui-
titude de questions difficiles. Par exemple , celles-ci : quatre points étant donnés dans l'espace , trouver un cinquième point dont les distances aux quatre premiers soient en raisons données^ ou qui aient entre elles telle autre relation donnée j et cette autre , quatre sphères étant données dans l'espace^ en trouver une cinquième qui soit tangente aux quatre autres, ou qui en retranche des arcs donnés^ etc.
COROLLAIRE I
6o. Si des cinq points considérés dans l'espace , on suppose que quatre soient les sommets d'une pjramide triangulaire^ et que le cinquième soit le centre de la sphère circonscrite , on trouvera par la formule précédente le rajron de cette sphère. Car supposon&> par exemple > que E soit le centre, et que les quatre, autres points A ^ B ^ C , D , soient les sommets de la pjramide circons-
crite ; les droites £A , EB , EC / ED , seront donc égales entre elles et au rayon cherché. Ainsi, désignant ce rajon par R, il ny aura qu'à substituer dans la formule précédente, R à la place de chacune des quantités Ij ç , r , s ^^ et Téi^uation qui en résul* tera, donnera R en valeurs des six arêtes ^y*^^, h, m , n, p ^ de la pyramide» Cette opération donnera la ibf*mule suivante ^ qui s'accorde avec celle que nous avions déjà trouvée par le pro^» blême IV (la) ,
— 7i*^*/i» —p^g^h"" —m^n^'f^' — my/* ^n^h^ —^m''p*h'''--^m'f*h^—p'f^h^}
— .my^^ — ^/24~ /l^;7^ = G. (A)
COROLLAIRE II
6i. On peut, par le corollaire précédent, trouver la relation qui existe entre les distances respectives de cinq points quelconques pris sur une ndême surface sphérique. Car supposons que les citfq,
points Â^B^C^D^E^ soient tous dans une même sqrface sphérique dont le rayon soit R. .L'équation (A) trouvée dans le problème précédent, donnera la valeur de R en //i, w, py/tS^^j "^«^î* puisque par hypothèse , E est aussi sur la surface sphérique y une pareille équation doit eùster en substituant aux arêtes y, gy ti, les arêtes s , q , r respectivement. Egalant donc les deux valeurs de R* tirées de chacune de ces équations > on aura la relation qui doit exister entre les 9 arêtes m , n^ p ^ f, g^h , s , q , r , pour que les cinq points proposés se trouvent tous sur une même surface sphérique ; et par la même raison , une semblable relation existe entre les distances m, n^p,/, gfhySyqyTyly prises neuf à neuf, de toutes les manières possibles, ce qui fait en tout 10 relations de même nature que la précédente.
PROBLÊME XXVIL
62. Connaissant les distances respectiues de cinq points quel'^ conques pris dans V.espace , trouver V angle d'inclinaison de la droite qui passe par deux quelconques de ces points , sur le plan qui contient les trois autres.
Solution. Supposons que les cinq points donnés soient A f B,C, D,E, et qu'il s'agisse de trouver l'angle d'inclinaison fia. 10.' de la droite qui passe par A et B sur le plan qui contient les trois autres, C , D , E. De chacun des points A> B, j'abaisse une per« pendiculaire sur le plan CDE , et pjar ces deux perpendiculaires )*imagine un plan. Ce plan sera donc perpendicu^ire au plan CDE, et contiendra la droite qui doit passer par A et B. Soient donc
Aa , B^ , les perpendiculaires abaissées des points A , B , sur le plan CDEj menons par a et ^ une droite indéfinie qui représfsn-
fera évidemment le plan CDE, et prolongeons AB jusqu'à la rencontre de cette droite au point K ; il est clair que l'angle KKa est précisément l'angle cherché. Cela po^é , du point B je mène
Ba' perpendiculaire à Aa: Tangle ABa' est le même que Tangb
AKa ) donc nous aurons
sm AK^ = ^=7 , ou sm AKa = — = — .
