THÉORÈME I

3. Si tes trois côtés d*un triangle au leurs prolongemens sont coupés par une transi^ersaîe quelconque indéfinie > il y aura sur la direction de chacun des côtés du triangle y deux segmens formés par la transversale, et tels que le produit de trois d* entre eux y n^ ayant aucune extrémité commune y est toujours égal au produit des trois autres.

Démonstration. Soit ABC le triangle proposé, abc la transver*

3 4et5. Il

sale menée dans le plan de ce triangle , et coupant les côtés BC>.

AC , AB , ou leurs prolongemens respectivement en a , h y c\ il y aura sur la direction de chacun de ces côtés ou sur son prolongement , deux segmens formés par la transversale, c'est-àrdire.

Fie. 1,

deux portions comprises entre cette transversale et les angles placés sur cette direction ; savoir :

A^, Bc sur AB; Ab, Cb sur AC; Ba, Ca sur BC.

Il s*agit donc de prouver que le produit A^.Bc^.Ca , qui a pour facteurs les trois segmens Ab , "Bc, Ca , non contigus^ ou qui n'ont point d'extrémités communes ^ est égal au produit Ac, Ba,

Cb, des trois autres segmens Ac , Ba, Cb, qui sont également non contigus entre eux.

Or par le sommet de Pun quelconque des angles du triangle proposé , comme B , soit menée une parallèle au côté opposé

AC> et qui rencontre en k la transversale*

Les deux triangles semblables Abc, Bkc , d'une part^ et de l'autre^ les deux triangles semblables Cab, Bak donnent les deux proportions suivantes :

Ab l Ac y. BkiBc , CâiCb ::Bâ\Bk.

Multipliant ces deux proportions , et effaçant les termes qui se détruisent 9 on a* en égalant le produit des extrêmes au produit des mojens,

A^ . Bc . Ca == Âc • Bâ . C^ • (A)

ce qu'il fallait démontrer.

On voit que la même démonstration a lieu ^ soit que la transversale coupe l'aire même du triangle^ ou qu'elle passe au dehors.

Ce théorème qui doit être regardé comme le principe fondamental de toute la théorie des transversales, est susceptible d'une très-grande généralisation : car il, s'étend, comme on le verra par les théorèmes qui suivent , à tous les polygones soit plans , soit gauches , et même aux polygones sphériques»

COROLLAIRE I

4. Les trois côti^s du triangle et la transversale peuvent être regardés comme les quatre côtés d'un quadrilatère BCbc, et chacun des côtés de ce quadrilatère peut être pris à son tour pour trans^ versale^ à l'égard du triangle formé par les trois autres prolongés jusqu'à leurs rencontres respectives : ce qui donnera par la même raison , les quatre équations suivantes , parmi lesquelles est comprise la formule (Â) trouvée ci-dessus :

Ab . Bc . Ca = Ac . Ba • Cb

AB . C & • a c = AC . Bc . ab , .^jx Ac . BC . ab :=: AB . Ca . bc

AC • Ba ^ bc :=: Ab . BC • ac

Mais il faut remarquer que ces quatre équations se réduisent & trois essentiellement différentes : car si , par exemple > on multiplie ensemble les trois premières ^ on aura la quatrième»

COROLLAIRE II

5. Si Ton multiplie Pnoe par l'autre la première et la troisième des équations (B) ^ et qu'on efface les termes qui se détruisent > on aura

BC . Bc . Z^A . ^a = ^C . *c . BA • Ba (C)

ou

BC .Bc\bC .bc :: BA. Ba : bA . ba (D)

c'est-à-dire^ que dans le quadrilatère BC^ç, le produit des deux

côtés BC , Bc , adjacens à l'un des angles comme B , est am

produit des deux côtés bC , bc , adjacens à l^angle opposé b,

comme le produit des segmens BA, Ba, interceptés sur les premiers, depuis l^angle B d'où ils partent , jusqu'aux directions des deux autres prolongés au besoin , est au produit des segmens.

bA, ba, interceptés depuis Taogle ^ d*oii ils parlent^ jusqu^aux directioDS des deux premiers.

Remarque.

6. On obtient une formule de même nature en multipliant deux k deux les autres équations (B) du corollaire précédent; et comme la même démonstration a lieu , quelle que soit la disposition respective des quatre points B, C, b , c, tant qu'ils ne sortent pas du même plan , nous pouvons prendre ici le nom de quadrilatère , dans un sens plus étendu qu'on ne le fait ordinairement.

Nous entendons donc par quadrilatère en général^ l'assemblage de quatre lignes droites qui joignent quatre points pris à volonté sur im plan , en les prenant dans quel ordre on veut^ puis passant du premier au second^ du second au troisième^ du troisième au quatrième et du quatrième au premier; d'où il est aisé de voir que les quadrilatères peuvent être de trois formes différentes , savoir^ le quadrilatère ordinaire ïiCbc(ûg. 2), que je nomme quadrilatère de la première espèce; le quadrilatère à angle rentrant BCbc (fig. 5), que je nomme quadrilatère de la seconde espèce, et le quadrilatère HCbc (fig. 5) , qui a la forme de deux triangles opposés par le sommet ^ et que je nomme quadrilatère de la troisième espèce.

Chacun de ces quadrilatères^ considéré séparément^ s'appelle quadrilatère simple; mais la figure qui résulte de leur assemblage, et qu'on obtient évidemment , en prolongeant tous les côtés d'un quadrilatère simple quelconque, jusqu'à leurs rencontres respec-* tives; cette figure, dis-je, se nomme quadrilatère complet.

Le quadrilatère complet ABFCGDA est donc formé des trois ^^^ ^ quadrilatères simples ABCD , AFCG , BFDG : les diagonales de cbacun d'eux sont les droites qui joignent le premier angle avec le troisième, et le second avec le quatrième. Ainsi les deux diagonales du quadrilatère ABCD de la première espèce sont AC , BD y celles du quadrilatère AFCG de la deuxième espèce sont AC, FG, et celles du quadrilatère BFDG de la troisième espèce sont BD , FG ; ces six diagonales se réduisent , comme on

le voit, aux trois AC, BD, FG; d'où il suit que le quadrilatère simple a seulement deux diagonales, mais que le quadrilatère complet en a trois. Les points h, k, l indiquent les trois intersections de ces diagonales prises deux à deux, et cette figure a des propriétés infiniment remarquables, comme on Ta déjà vu par le théorème précédent, et comme on le verra encore dans ce qui doit suivre*