THÉORÈME IL

7. Si tous les côtés d'un polygone plan, ou leurs prolongemens^ sont coupés par une transversale quelconque indéfinie, il y aura sur chacun de ces côtés , ou sur son prolongement, deux seg^ mens formés par la transversale , tels que le produit de tous ceux de ces segmens qui n'ont point d'extrémités communes sera égal au produit de tous les autres, et chacun de ces produits aura autant de facteurs qu'il y a de côtés au polygone.

ne. 7* Démonstration^ Soit, par exemple, le pentagone ABCDEj

coupé par la transversale mnpqr : je dis qu'on aura

Km . B/2 . Cr . Yip . Ey = Kq . Bm . Cn .Dr.Ep,

équation à deux termes, dans laquelle on voit que chacun d'eux est composé de cinq facteurs^ nombre égal à celui des côtés du poljgone , et tels que tous ceux de ces facteurs qui entrent dan» le même terme n'ont point d'extréqiités communes, puisqu'on effet aucune des dix lettres A, B , C, D, E, m, n, p, q, r, s, ty qui désignent les extrémités de ces segmens^ ne se trouve deux fois dans le même membre.

Pour démontrer cette proposition , de Pun quelconque des angles

du polygone, comme A, menons des diagonales AC, AD , à tous les autres, et prolongeons , tant ces diagonales que les côtés du polygone , jusqu'à la transversale en m, n, p, q, r, s, t. Cela posé^ par le théorème premier, les triang1e$ ABC, ACD, AED^ considérés séparément comme coupés par la transversale proposée^ donneront

( 70 Am.B/? . C^ = A^ . Bm. C/î

A^.Cr.^D/ = A/.C^..Dr

A t .Dp .Eq :=s Aq .D t.Ep.

Multipliant ensemble toutes ces équations et effaçant les termes qui se détruisent^ nous aurons

Am.Bn.Cr.Dp.Eç^siAq.Bm.Cn.Dr.Ep (A),

ce qiûil fallait prouver.

Ce théorème est une généralisation du tbéor&me premier et un cas particulier du suivant.

THEOREME II L

8, Si tous les côtés d'un polygone gauche, ou leurs prolon^ gemens, sont coupés par un plan que j'appellerai transversal, il y aura sur chacun de ses côtés ou sur son prolongement , deux segmens formés par le plan transversal, tels que le pro* duit de tous ceux de ces segmens qui n^ont point d^ extrémités 'communes, sera égal au produit de tous les autres , et chacun de ces produits aura autant de facteurs qiûil y a de côtés au polygone.

Démonstration. En regardait mnpqrst non comme une droite, nc^» mais comme le plan transversal dont il s'agit^ projeté sur un autre plan qui lui soit perpendiculaire, le raisonnement sera absolument le même que celui qui a été fait dans la démonstration du théorème précédent, et l'on trouvera pareillement

Am.Bn.Cr,T)p.Eq=iAq.Bm.Cn.Dr.Ep (A),

ce quHl fallait prouver.

Il faut remarquer que dans cette formule, Am, Bn, Cr, etc. expriment les segmens même formés sur les côtés du polygone

(70 gaucbe proposé, et non pas leurs simples projections sur le plan perpendiculaire au plan transversal.

Le théorème suivant montre que cette théorie s'étend au cas où la transversale est une ligne circulaire.