THÉORÈME IV

9* Si tous les côtés d'un polygone plan quelconque sont cou* pés par uriè transi^ersale circulaire, c'est-à-dire, s* ils sont tous ^ ou leurs prolongemens , rencontrés par la circonférence d*ùn cercle, cette circonférence coupant chacun des côtés en deux points , déterminera sur chacun d'eux quatre segmens entre elle et les angles qui terminent ce côté* Or de tous ces segmens, le produit de la moitié pris pour facteurs , sera égal au produit de tous les autres, en les prenant tous de manière qu'il n'en entre jamais deux dans le même produit qui aient pour extré'* mité un même point de la circonférence.

Fie ^ Démonstration. Je me bornerai à démontrer cette proposition sur le triangle^ te même raisonnement étant applicable à tout autre polygone. Soit donc ABC le triangle proposé, dont le côté

BC soit rencontré ^n a, a' , par la transversale circulaire , la

côté AC tfx h, V, et le côté AB en c, d, desorle que, par

exemple, les quatre segmens formés sur AB parla circonférence,

seront Ac, Kd , B^, làd\ il s'agit donc de prouver qu'on doit avoir

A^. AA'.Bc.Bc'.Ca.Ca' = Ac. Ac'.Ba.Ba'.C^.Cô' (A).

Or cette proposition est facile à-appercevoîr, car parla propriété des, sécantes au cercle, on a les trois équations suivantes:

Ab.Kb'^Kc.PLd, Bc.Bc' = Bû.Ba', Ca.Cd — Cb.Cb'.

Multipliant ensemble ces trois équations, on aura la formule (A), ce qu'il fallait prouver.

COROLLAIRE

10. II est aise de voir que la même démonsiration aurait lieu pour tout autre poljgone que le triangle^ et qu'elle serait appli-^ cable également, en la modifiant comme au théorème III, si ce poljgonè, au lieu d*ètre plan, était gauche, en supposant qu'alors tous les côtés fussent coupés par une surface sphérique, tenant lieu du plan transversal dont il a été question dans ce théorème III.

L'ellipse pouvant être considérée comme une projection du cercle, il est aisé de lui appliquer la proposition précédente, puisque les projections des parties d^une même droite sont entre elles en même rapport que ces parties elles-mêmes; d'où il suit que le rapport des deux membres de Téquation (A) étant i pour le cerclé, doit rester i pour l'ellipse.

Cette proposition' a lien également pour foutes les autres sections coniques, et lorsque le poljgone est gauche, elle s'applique aux surfaces formées par la révolution de ces courbes autour de leur axe.

Mais cette même proposition est susceptible d'une beaucoup plus grande généralité, car elle s'étend à toutes les courbes géométriques prises pour transversales lorsque le polygone est plaiy,' et à toutes les surfaces dont les sections faites par des plans quelconques sont des courbes géométriques , lorsque le poljgone est gauche. Mais mon intention étant de ne m'occuper ici que des transversales droites et circulaires , je me borne à indiquer Ciet objets, sur lesquels on peut consulter ma Géométrie de position*

THÉORÊMEV.

^ 1 1 • Si par un point quelconque pris dans le plan d*un triangle ^ on mène sur chacun des côtés une transs^ersale qui passe par Vangle opposé , on obtiendra sur chacun de ces côtés deux seg-» mens , tels que le produit de trois d^entrc eux n^ ayant aucune extrémité commune > siéra égal au produit des trois autres.

lO

(74) FI6. 9, Démonstration. Soit ABC le triangle proposé > D le point pris

à volonté dans le plan de ce triangle ; Aa ^ B^ , Ce les droites menées de ce point sur les côtés BC , AC. , AB , en passant par les sommets A ^ B , C > des angles respectiyement opposés. On

obtiendra sur le côté BC, les deux segmens ha, Qa, sur le côté

AC les deux segmens Ab , C6 , et enfin sur le côté AB les deux

segmens Ac , B^ ; il s*agit donc de prouver que le produit Ca

des trois segmens Ab , Bc , Ca, non contigus, ou quin^)nt point d'extrémités communes , est égal au produit des trois autres segmens qui sont également non contigusj c'est-à-dire, qu'on a

Ab . Bc • Ca ae= Ac . Ba • Cbm

Considérons 9 par exemple, les deux triangles AaB, AaC, coupés

respectivement par les transversales Co, B^} ils dkmQeront par le théorème I,

Ac . BC . aD = AD . Bc . Ac;

Multipliant ces deux proportions, et effarant les termes qui se détruisent, on a

A? . Bc . Ca s± Ac . Ba . C? (A)

ce çu* il fallait démontrer.

Cette proposition a également lieu comme on le voit , soit qu6 le point D d'où partent les trois transversales , soit pris sur l'aire même du triangle , soit qu'il soit pris au dehors.