THÉORÈME VII

ne. II. 14. Si une droite quelconque BD est coupée aux points h, i, en segmens proportionnels , je dis que si d'un autre point quel-^

(77) conque A de Pespaee ; on mène aux quatre points de dwision

B, D , b, d, quatre droites AB , AD ^ Ah, Ad; toute autre

transversale B'D' , menée entre les droites - AB , AD , sera

coupée, comme la première BD, en segmens proportionnels par

tes droites Ah, Aé.

Démonstration, Par hypothèse , nous avons

Bb : Bd :: D^ : Bd.

Or les triangles BÂ&> BAd*^ DAb, DAd, donnent

smA6B ainAoB sinA6D smAdD

Substituant ces yaleurs de Bb, Bd, Db, Vd, dans la proportion précédente , et réduisant; on aura

sînBAô: sinBArf :: sinDAi: sinDAr/ r-.(A)

Donc réciprQquement ^ si cette relation a lieu entre les quatre

angles BAb , BAd, DAb : DA^^ la droite BD sera nécessairement coupée aux points b,d,en segmens proportionnels ^ puisque si cela n'était pas^ il faudrait pour que cela fât , prendre le point d plus près ou plus loin du point D , les trois points B, b,D restant les mêmes. Mais alors la relation des angles ne serait plus la même ;

donc^ puisqu'on la suppose donnée , la droite BD est réellement coupée en segmens proportionnels aux points B^ D»

Or ce que )e viens de dire de la droite BD^ peul se dire

également de toute autre droite B'D^ ^ donc cette droite B'D' est aussi coupée en segmens proportionnels aux points b^ , d' y ce qu'il fallait démontrer.

COROLLAIRE I

i5. On doit remarquer que la démonstration précédente est composée de deux parties qui forment deux propositions distinctes très-remarquables Tune et Tautre. La première est que &i une

droite Bï> étàtit Coapëe en segiAens proportionnels aux points b, d, on mène d'un point quelconque Adc l'espace , les qualre droites

AB, AD j A^ , Ad, les angles foraiés au point anrofit la relation suivante :

sin BA* : sin BArf :: sin DAft : sin DAd (A)

La seconde est que réciproquement ^ si quatre droites partant d'un même point A ^ et tracées dans un même plan , forment entre elles des angles qui aient la relation dont on vient de parler ,

toute droite comoae BD ou B'D' ^ tirée entre les cètés ÂB , AD

de Tangle BAD , sera coupée par les deux autres A^ ^ A^ en segmens proportionnels*

COROLLAIRS II.

i6. La proportion B^ : Bd :: T>b : Dd donne, en renversant les termesj

'^idB :: *D : ?B.. . . • (B)

* c*ést-à-dire que si une droite BD est divisée en segmens proportionnels aux points b, d) réciproquement db sera coupée en segmens proportionnels aux points D , B.

D*€Ù il suit> d'après ce qui vient d*être dit> qu'on aura aussi sin bAD : sin^AB .:: sia BAD : sin ^AB. ..... (C)

COROLLAIRE III