Nous avons vu par le corollaire du théorème VI, que la

»iG. 6. droite VU , menée entre AB, AD , et passant par le point k, est coupée en segmens proportionnels aux points k et ï. Nous pouvons maintenant généraliser cette proposition ; car si l'on mène

la droite A A , et que par un point quelconque o de cette droite ,

on mène une transversale on^n j la droite mn sera coupée en segmens proportionnels aux points o, p\ c'est-à-dire , qu'on aura

jno : mp :: no : np (D)

ce qui est évident par le tbéorèaie VIT; puisque la droife Vg comprise entre les niêmes droites AV, AG^ que la droite mn

est coupée en segmens proportionnels par les droites AA, Ah ^ qui coupent l'autre aux points o^ p.

• * • THÉORÈME VJÏI.

i8. Si Von coupe un qurnàrilatère simple çuelconçue par une transuersale ; la portion de cette transversale interceptée entre les deux diagonales ^ sera coupée en segmens proportionnels par les deux droites menées du point d'intersection de ces deux dia* gonales , aux deux points de concours des çâtés opposés du quadrilatère.

Démonstration. Soit ABCD le qoadriUtëie simple proposé ^ tio. 1%.

AC p BD seront ses deux diagonales ^ K leur point de concours , '

F le point de concours des côtés opposés AB> CD du quadrilatère proposé, et enfin C le point dQ colicoiitfs des 4:ôtés oppûisés'

AD , BC du mime quadrilatère. Il s*agit donc de prouver que

toute transversale mn , menée entre ces deux diagonales > sera coupée en segnkens proportionnels par l#s points p, q ^ pu elle '

est coupée par les droites KG^ KF^ menées du point dlntersection K des diagonales, aux points d'intersection G, F des côtés opposés du quadrilatère; c'est-à-dire , qu'on doit avoir

mp : mq :: np : nq.

Considérons le quadrilatère complet GDAKBCG : ses trois diagonales seront KG , CD , AB j et •par le théorème VI , chacune d'elles est coupée par les deux autres en segmens propordonnels. Appliquant donc ce principe à la diagonale AB , il se trouvera

que cette droite AB comprise entre les droites KA^ KB, sera coupée aux points a et F ^ en segmens proportionnels par les deux

autres droites KG^ KF partant du même point Kj donc par le *

(8o) 4kiorëme. VII^ toute autre transversale^ comme mn ^ comprise entre les deux premières KA^ Kfi^ sera de même divisée par les deux autres KG^ KF en segmens proportiomiels. Or cette trans* Versale mn est rencontrée par ces dernières en p et ^ : donc on a

mp : mq :: np : nq (A)

ce qu'il fallait prouver.