THÉORÈME IX

ig. Si une même droite sert d* intersection commune à quatre /s^^^^*^ phinS^ différensy et qu* ayant mené à volonté entre deux de ces^ plans une transversale indéfinie -, cette transversale se trout^e coupée par les deux autres plans en segmens proportionnels ; toute autre transt^ersale menée entre les deux premiers plans , sera coupée aussi par les deux autres en segmens proportionnels.

. Démonstration. Supposons que tout le système soit représenté ^ projection , sur un plan perpendiculaire à la droite qui sert d'intersection aux quatre plans proposés. Que A soit la projection

ric.i3.de cette intersection commune AB^ AD^ Au, Axl, celles des-

quatre plans proposés , BD la droite qui , par hypothèse étant

menée entre les deux plans AB, AD , est coupée en segmens pro«

portionnels aux points b, d, par ]es deux autres; enfin B'D' une

autre transversale quelconque comprise entre les plans AB, AD^ et rencontrée par les deux autres en b', d'. Il s'agit donc de prouver qu'on doit toujours avoir

Bb' : Bd' :: Db' : Dd".

Je mène la droite Bid, et par les droites Bd, B'd, j'imagine un plan qui ira couper la droite A en un point quelconque. Quel que soit ce point , la droite ^B'D' .sera (i4) coupée en segmens pro« portionnels aux points b', d. Maintenant^ imaginons par les deux

droites Bfd, B'd' , un nouveau plan qui coupera encore l'inter-*

C8i) section comMtine A ^^ ^^ point quelconque. Quel t{ue soit ce' point,

la droite B'D" étant > comme on vient de le voir, coupée en seg-*

mens proportionnels aux points If, d\ Pautre B'D' sera également coupée en segmens proportionnels aux points V ^ d \ donc on aura

B'Z^'iRf :: D'A' : D'^ (A)

Ce qiCU fallait proiwer»

COROLLAIRE

20« Il suit de là évidemment > que si quatre plans quelconques AB^ Ab, AD, Ad ajant une intersection commune A > la relation des angles qu'ils forment entre eux , est

sinBAd : sinBA^ :: sinDA3 : sinDA^.

La même relation existera entre les angles formés par les inter* sections de ces quatre plans avec un cinquième plan quelconque»