THÉORÈME X

' ai. Si dun point quelconque A pris hors d^une droite BK ^vr«*>4*

m^gm^^^^m ^fmmm^m^ mmmf^^mamm^ ^ma^immti^m

on mène à cette ligne tant d'autres droites AB , AC, AD, AE

qu^on voudra, et qu^ ayant mené du point K une transversale Kh^ qui coupe toutes ces droites partant du point A en b, c, à, e,

on trace les diagonales Bc, Ch, Cd, De, etc. de tous les qua* drilatères BCoh, CDdc, BDdh, etc.; je dis que tous les points de croisement m> n^ p^ etc., des diagonales de chacun de ces quadrilatères , seront dans une même droite qui passera par le point K.

Démonstration. Prenons^ par exemple^ le point m ; la droite ISjn est l'une des diagonales du quadrilatère complet KcdmBCK^

et les deux autres sont 'Bb , Ce. Or par le théorème YI, chacune

de ces trois diagonales est coupée par les deux autres en segmens

proportionnels ; donc si la droite Km coupe Bb en K' , les points A et K^ couperont cette droite B3 en segmens proportionnels. Donc

par le théorème VU, chacune des autres droites Ce, Drf, Ee ,.

sera pareillement coupée par la même droite Km, en segmens proportionnels.

Mais par la même raison, la droite K/z doit couper de même

toutes les droites B6 , Ce , Dd, 'Ee en segmens . proportionnels ; ainsi des autres, comme/?, etc.

Donc toutes les droites Km , Kn , Kp ne forment qu'une seule et même droite partant du point K. Ce <juHl fallait proui^er.