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THEOREME XI.

, âa. Si d'un point quelconque irf pris hors d^un plan représenté

par la droite BK , on mène à ce plan tant de droites jiB, AC,'

AD , AE qu*on voudra ; et qu'ayant mené un plan transversal

représenté par hK , et dont r intersection aùec le premier soit représentée par le point K , lequel coupe les lignes menées du point A aux points b> c, d, é; on trace dans chacun des qua^ drilatères BCch , CDAq, BDàh, etc. qui en résulteront, les deux

diagonales Bc , Cb ; Cà, De, etCé Je dis que tous les /oints de croisement m, u, p de ces diagonales , se tr outrer ont dans un même plan , qui passera par la ligne d'intersection K des deux

plans BK, hK.

\ Démonstration. Par Tintersectioa K et le point de croisement m, jUmagine un pjan ^ et )e suppose que ce plan coupe, sni^vant la

droite Km, celui qui contient les droites Afi^ AC; il ^^ clair, > par le théorème Y J, que %ïK' e^t le poifit.d^'intecsection' de cette droite

'^.m avec 'Bb, cettç dernièriQ 36 sera Qoupée par les points A| K\ en segmens proportionnels. Donci par le théorè,m.e VITI, toutes les

«litres droites C^, D^, £^, interceptées entc^ les deux plan? KB, Jib',

seront coupées de même en segmens proportionnels par le plan KK' et le point A.

Mais^ par la mêfne raison^ le plan cjui passe par Tintersection

K et le point n, coupe avec ]e point A toutes ces droites Tàb, Qc ^

Dd, lEe, en segmens proportionnels. Ainsi des autres, comme p, etc.

Donc les plans qui passent par l'intersection K et par chacun des points m , n, p, ne sont qu'un seul et même plan. Ce qu'il fallait prouver.

THÉORÈMEXII.

â5. Si chacune des arêtes qui partent du sommet A d'une no. is. pyramide triangulaire ABCD , on prend à volonté un point m , n, p, pour former le triangle mnp sur la surface extérieure de

cette pyramide, et qu'ayant imaginé les diagonales Bn, Cm, Cp,

Da, Dm, Bp, on mène encore par le sommet A et les points de

croisement f Lf ^ B', C , les transi^ersales Aa,, A^ , Ab^. Je dis

que ,

i"*. Les transversales Vsl, Baf, Ca.', se croiseront toutes en un m^me point A' dfi la base.

a*. Les quatre transversales AA! , BB , CC , DU se croî'seront aussi toutes en un même point K de l'espace.

5*. Le plan qui passera par les trois points h' , Cf, Lf, et lés deux autres plans BCD, h, c, d, auront tous trois une inter*section commune.

Démonstration. Par le théorème Y > les trois triangles ABC , ACD , ABD , coupés cfaadun par trois transversales partant de ses angles , et se croisant en un même point D^, B^, G, donnent ces trois équations

Am . Ha . Cn =: An . B/ti • C0,

A n 4 Ca' . Dp z=. Ap . Qn . Da', Ap . Da*. Bwï = A/71 . D;^ . Ba*.

Multipliant foutes ces équations^ et effaçant les termes qui se détruisent^ on aura

3a . Ca' • Da" = Ca . Da^ . Ba';

équation quî^ par le même théorème^ prouve que les trois transversales Day Ba^ Ça" , se croisent toutes en un même point A'; 'Ce qui est la première partie de la proposition que nous avons à démontrer.

Maintenant j menons AA^ Cette droite est donc tout-à-la-fois

dans les trois plans ADa^ ABa^ ACa^ Donc^ puisque Aa passe

par le point de croisement D' de Cm et 3n , la droite DD^ sera

dans le même plan qui contient AA% et par conséquent la coupera pn un point. Par un semblable raisonnement^ on prouvera que les

quatre droites AA', BB', CC, T>D', se coupent toutes deux à deux.

Donc la droite CO, par exemple ^ qui n'est pas dans le plan ADa^

où sont contenues AA', DD', les coupe cependant Pune et l'autre; ce qui ne peut avoir lieu> sans qu'elle passe par leur point de

croisement. Donc les quatre droites AA', BB', CC, DD', se croisent trois à trois dans un même point : donc elles se croisent toutes quatre au même point. Ce qui est la seconde partie de la proposition que nous avons à démontrer.

Puisque le point B' est^ par bjpothèse^ le point de croisement

des droites imaginées Cp^ Dri} si par ce point B' et le point de

concours des droites CD , np , on conçoit une transversale ^ elle

coupera (12) avec le point A^ chacune des droites Cn y Dp en segmens proportionnels. Pareillement , la transversale menée par

C et par le point de croisement des lignes imaginées Bp, Dm, cou-

pera avec le point A , chacune des droites 3m, Dp , en segmens

proportionnels. Donc le plan qui contient B'^ C , et le point où Dp est coupée par A et parles transversales mentionnées ci-^dessus^ en segmens proportionnels , passe par les points de concours des droites

CD et np , BD et mp , . et par conséquent par l'intersection corn-

tntiDe des plans BCD y mnp. On prouvera de même que le point D' est contenu dans le même plan; donc le plan qui contient B^ Ct Jy et les deux autres plans BCD^ mnp , ont la même intersection. Ce gui restait à démontrer.

Il est à remarquer que la même démonstration a lieu soit que les points m j n , p se trouvent placés sur les arêtes mêmes de la pyramide , soit qu*ils se trouvent sur le prolongement de ces arêtes au-delà des points D^ C , D; alors le point K peut se trouver hors de la pyramide. Ainsi A^B^C^D^K peuvent être consi» dérés comme cinq points quelconques pris à volonté dans l'espace , auxquels on peut appliquer ^ en les prenant quatre à quatre, dans un ordre quelconque^ tout ce qui vient d'être dit de la pjramide ABCD.

Les points af, j8', y, où se rencontrent respectivement les côtés

correspondans BC et mn , BD et mp , CD et np des triangles BCD, mnp, sont évidemment tous trois dans rintersection de ces deux plans, et par conséquent toujours en ligne droite, quelques

angles que fassent entre elles les trois arêtes AB, AC^ AD; donc

si Ton conçoit que AC se rapproche insensiblement du plan ABD jusqu'à se trouver tracée dans ce plan même, les trois points ctf , /3', y ne cesseront pas , pour cela, d'être en ligne droite; d'où suit qu'en général, si d'un point quelconque A , on mène dans

un même plan trois droites quelconques AB, AC, AD ,.et qu'on fasse deux triangles BCD , mnp , qui aient chacun ses trois angles sur ces trois droites partant du point A, ou sur leurs prolongemens soit d'un côté, soit de loutre, les trois pointa de concours a', ^', yf des côtés correspondans de ces triangles , seront toujours en ligne droite.

Far la même raison , on voit que les trois arêtes AB, AC, AD; étant supposées dans un même plan , et qu'ayant mené les diagO'*

nalesB/2, Cm, Cp, Dn, Bp, Dm; les points de croisement de ces

diagonales soient D', B', C ; les trois droites DD' , BB', CC, devront se croiser toutes en un même point K.

Remarque.

24^ La théorie des transversales droites que nous vecons d'exposer^ 8*étend facilement aux transversales sphériques; c'est-à-dire^ que tout ce que nous avons dit des poljgones plans ^ s'étend aux polygones formés d'arcs de grand cercle, tracés sur une sphère, en substituant les. sinus de ces arcs aux côtés des poljgones plans.

riG. 17. Par exemple , si un triangle sphérique ABC est coupé par un arc de grand cercle transversal abc qui les rencontre tous trois, chacun des arcs AB, AC, BC, sera coupé en deux segmens, et le produit des sinus de trois de ces segmens sera égal au produit des sinus des trois autres , en les prenant de manière que ces segmens n'aient point d'extrémités communes ^ c'est-à-dire, qu'on

aura

sin Ac • sinBa • sin Cb ss sin AB . sinBc . sin Ca (A)

En effet , par la proportionnalité des sinus des angles avec les sinus des côtés dans les triangles sphériques, les triangles Acb, Bac, Cab, donnent

sinA^ : sinA& :: sin^ : sine; sinBa : sin Bc :: sine : sina^ sin Cb : sin Ca :: sina : sin^.

Multipliant ces trois équations, et effaçant les termes qui se détruisent, on aura la formule (A) qu'il fallait démontrer.

riG.18. 2S. Pareillement, si sur l'aire d'un triangle sphérique ABC, on prend un point D, et que par ce point on mène trois arcs de grand cercle Aa, Bb, Ce, qui passent par les angles, ces arcs couperont les côtés du triangle en deux segmens chacun, et le produit de trois de ces côtés non adjacens sera égal au produit des trois autres } c'est-à-dire, qu'on aura

sin Ae • sinBa • sînC^ = sin A& • sin Ca • sinBc (B)

tiQ. 19. 26. De même encore , si l'on a un quadrilatère sphérique ABCD , et qu'on trace ses trois diagonales AB, CD, FG, on trouvera

(87) que chacune de ces diagonales est coupée par les deux autres en segmens , dont les sinus seront proportionnels : c'est-à-dire , par exemple > qu'en désiguant par / et A les points ^'intersection de la diagonale AC par les deux autres BDj GF^ on aura

sinÂ/ : sinÂ^ :; sinC/ : sinCh. (C).

Je ne crois pas qu'après tout ce qui a été dit sur les transversales rectilignes> il soit nécessaire d^entrer dans le détail de là démonstration de cette proposition, ni de pousser plus loin l'analogie entre la théorie de ces transversales rectilignes avec les transversales sphériques : c'est pourquoi j'abandonne ces conséquences il la sagacité du lecteur.