PROBLÈME V

i5fc Trouver le rayon de la sphère inscrite à une pyramide triangulaire , en valeurs des six arêtes.

Solution. Soient y comme' dans les problèmes précédens r

'>^' ^'Mf n» p f les trois côtés ou arêtes de la base j

f > g y^> 1^3 trois arêtes montantes respectivement opposées^

S».. ^- le solide de la pjrramid'e ;.

r.....^.. le rajon cherché de la sphère inscrite»*

Si du centre de cette sphère on imagine des droites menées auT quatre angles de la pjramide , ces^ droites partageront le solide ou volume de cette pjramide en quatre autres pjramides partielles^ qu'on trouvera chacune* en particulier , en multipliant sa. base par le tiers^ de sa hauteur , qui est le rayon cherché. Donc la pyramide proposée étant la somme de toutes eeapjramides partiellea^ oaaura

S=: Fr (BGD + ABC+ ABEr-f- ACD7 (A)

Mais par le lemiAe I^ on a chacune des aires BCD> ABC; ABD^ ACD , en valeurs des six arêtes de là pyramide r et par le problème JII (9) on a le solide S de la pyramide entière j.substi* tuant donc dans Téquation (A) toutes ces valeurs , nous aurons la £)rmule suivante >. qui satisfait à la question proposée :

— m*g*A*— n*^**— -p^g*— mVp*)y • • •^•'« -•^•'* •'• 'iL*-. . .'. ^. . ^. - -. - (B)

« quHl fallait trouver.

i6. Lagrange observe très«f>îen > qn^ind<^pendammené de la spb&re' inscrite^ il y en a quatre autres^ qui sont aussi bien qu'elle tangentes y chacune aux quatre faee» de la pjramide , mais qu'alors il j a toujours une de ces quatre faces qui n'est qu'extérieurement tangente à la sphère. Il est aisé, d'après cela^ de trouver le rajon de ces quatre nouvelles sphères; car il n*j a qu'à regarder comme négative celle des faces à laquelle la sphère est extérieurement tan-' gente , c^est-à-dire 9. donner successivement le signe -^ à chacun des radicaux qui les exprimentr Par exemple y si l'on veut trouver le rajon de la sphère qui touehe intérieurement les trois face» ABC, ABD, ACD, et extérieurement la face BCD, il n'y aura qu'à donner dans la formule précédente (B) le signe -^ au radical ^{jkm^n* + :xirCp^ + ^n^p^-^m^ — n^ — p^) qui exprime (lemme IJ quatre fois l'aire du triangle BCD , ainsi des autres*

eO-ROLLAIRB^ t^

17. Puisque la fbrmufe (B)r contient les sept quantités m, n, p^ S^S*^^ ^J ^ ^3* évident qu'elle résout cette question plus générale r

Parmi les sept quantités suivantes ; sat^oir , les sixarétes d'urre' pyramide triangulaire, et le rayon de la sphère inscrite i. sixfuelconques étant données > trouver^ ta septième^

cro A 0r.l1 AI R'B rn.

|Sl Si Pon suppose* que toutes Tes arê^tes dé fa^ pyramide soient égales entre elles , ce qui est le cas du tétraèdre régulier, et que' m soit prise pour représenter l'une quelconque de ce» arêtes^ ouaura