FPUBCD ABC ABDEL A CITE RP (A

Mais par le lemme I, on a chacune des aires BCD, ABC, ABD , ACD , en valeurs des six arêtes de la pyramide, et par le problème FT (9) on a le solide S de la pyramide entière ; substituant donc dans l’équation (A) toutes ces valeurs, nous aurons la formule suivante , qui satisfait à la question proposée :

(13) r(V/ (mn +ompLonp=mt-nt—pt) + (2g°h+oo°m+ohm--04 htm) +V(f°e +afp Has p—ft —5t—pt)+ V'(af°h+of?n +Hohn -ff-ht-nt ) =4/(nnf + mine + m°f°g° + m°f°h° + mp'f* + m°p°h® + n°f°9° + no°h> + mpeg + np + prete + ph — fm —mif5— gini—nig—hp—pirs — mg he — n° fhe — p°fg —mnp"),.......,.,.. LS nt ere MOT (B)

ce qu'il fallait trouver.

16. Lagrange observe très-bien , qu’indépendamment de la sphère inscrite, il y en a quatre autres, qui sont aussi bien qu’elle tangentes, chacune aux quatre faces de la pyramide , mais qu’alors il y a toujours une de ces quatre faces qui n’est qu’extérieurement tangente à la sphère. Il est aisé, d’après cela, de trouver le rayon de ces quatre nouvelles sphères; car il n’y a qu’à regarder comme négative celle des faces à laquelle la sphère est extérieurement fangente, c’est-à-dire, donner successivement le signe — à chacun des radicaux qui les expriment. Par exemple, si l’on veut trouver le rayon de la sphère qui touche intérieurement les trois faces ABC, ABD, ACD, et extérieurement la face BCD , il n’y aura qu’à donner dans la formule précédente (B) le signe — au radical VC272R° + amp + on°p°—mt—nt— pt) qui exprime (lemme I) quatre fois l’aire du triangle BCD, ainsi des autres.

COROLLAIRE 1

17. Puisque la formule (B) contient les sept quantités m, 7, p, fr Sr h,r;il est évident qu’elle résout cette question plus générale :

Parmi Les sept quantités suivantes ; savoir, Les six arêtes d'une pyramide triangulaire, et le rayon de la sphère inscrite; six quelconques étant données , trouver la seplième.

€EOROLLAIRE II.

18. Si l’on suppose que toutes les arêtes de Ïa pyramide soient égales entre elles, ce qui est le cas du tétraèdre régulier, et que m soit prise pour représenter l’une quelconque de ces arètes, on. aura

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