PROBLEME XV

39. Exprimer en valeurs des six arêtes d'une pyramide triangulaire , tous les angles que forment entre eux les éloignemens de perpendicule.

Solution. Je conserve les dénominations précédentes, et je me propose de trouver, par exemple, l’angle BEC, compris entre les "1°: 5: deux éloignemens de perpendiculeEB, EC,

Par le lemme 1, nous avons

(26 ) mais à cause des triangles rectangles ABE, ACE, on a BE —g—xX, CE = — 2x, et de plus on a BC=m; donc l'équation précédente devient

(G°+h°—m") 2x cos BEC EEE. (A)

formule dans laquelle, pour avoir l’inconnue cosBEC exprimée en valeurs des six arêtes, il n’y a plus qu'à substituer pour x sa valeur donnée par la formule (A) du problème II (6) ; ce qu'il

fallait trouver.

COROLLAIRE

40. Puisque ce problème donne la relation des sept quantités My N3 Ps fr &s h3 BEC, il est évident qu'il résout cette question plus générale:

Parmi les sept quantités suivantes, savoir, les six aréles d'une pyramide triangulaire , et l’angle compris entre deux quelconques des éloignemens de perpendicule , six quelconques étant données, trouver la septième. ”

PROBLEÉEME XVI.

41. Trouver en valeurs des six aréles d'une pyramide triangulaire, la plus courte distance de deux quelconques des arêtes opposées , c'est-d-dire, la droite qui est en méme temps perpendiculaire à l'une et à l’autre.

Solution. Je garde les dénominations des problèmes précédens, et je me propose de trouver, par exemple, la plus courte distance

ne. 5. de AB à CD ou deg à n.

me. 6... Reprenons la figure 6, qui nous a déjà servi à trouver l'angle LA L gn, compris entre les deux droites dont nous cherchons maintenant la distance. Puisque, par hypothèse, BO est parallèle à

CD, le plan ABO sera aussi parallèle à la même droite CD, et par conséquent, la distance cherchée est la même que celle d’un

(27) point quelconque de la droite CD, par exemple du point C, à ce plan ABO.

Cela posé, j'abaisse du point C une perpendiculaire Cu sur BO,

et je mène Az; CBA% sera donc une pyramide triangulaire qui, en prenant C pour sommet, aura pour base AB, et il est évident que la distance cherchée n’est autre chose que la hauteur de cette pyramide. Or nous avons (6) une formule qui nous donne la hauteur d’une pyramide triangulaire en valeurs de ses arêtes. Il n’y a donc qu’à chercher d’abord les six arêtes de la pyramide CBAv, en valeurs des six arêtes de la pyramide proposée ABCD; et les substituer dans la formule dont nous venons de parler.

Or, parmi les six arêtes cherchées de la pyramide CBA, il y en a déjà trois de connues, savoir, AB, AC, BC, qui lui sont communes avec la pyramide proposée,

Quant aux arêtes Cu, Bz, on les a par la proportionnalité des sinus avec les côtés, dans le triangle rectiligne BCz, qui donne Cu— BC.sin CBO —BC.sinBCD et B—— BC.cos BCD; il reste donc à trouver Au.

Mais par le lemme I, nous avons dans le triangle ABx Au = AD -r Bu —2AB.Bz.cos ABu.

Or AB est donnée; Bz vient d’être trouvée, et ABO est préci-

sément l'angle AB” CD, ou gn trouvé dans le problème précédent.

Nous avons donc tout ce qu’il faut pour appliquer à la hauteur cherchée de la pyramide CBAx la formule trouvée (6); car, d’après ce qui vient d’être dit, on aura, comme il suit ; les six

arêtes de cette pyramide en valeurs des six arêtes de la proposée (lg. 5 et 6).

£, AC=h, BC=m

ne —Jn 2) FETA)

L= = V (2m°n° amp +aonp—mtntÿpt)

<| LL c| ©

dE

— = Gatmi—pt}4{9n+om?pt+2h°m+ 2h°n°+0f°p—02km — 0f°n°—2h"p°)

De ces six arêtes, toutes exprimées en valeurs des données, les

trois AB, Bu, Au sont les côtés de la base ABz, et les trois

autres Cz, AC, BC sont les arêtes montantes, c’est-à-dire , partant du sommet C et respectivement opposées à ces côtés. Donc, pour appliquer au cas présent la formule trouvée (6); il n’y a

qu'à y substituer AB pour 71, Bz pour Z, Au pour p; Cu

pour f, AC pour g et BC pour 3; c’est-à-dire, mettre dans cette formule, au lieu de m,n,p,f;g, h, les quantités trou-

vées ci-dessus (A) pour AB, Bz, Au, Cu, AC, BC, respectivement; et alors æ exprimera par une équation du deuxième degré sans second terme, et en valeurs des six arêtes de la pyramide proposée, la hauteur cherchée de C, au-dessus de la base AC, de la nouvelle pyramide CAB, ou, ce qui revient au

même, la plus courte distance des arêtes opposées AB, CD de la pyramide proposée, dont les trois arêtes à la base sont 77, n, p, et les trois arêtes montantes respectivement opposées sont > 8 h; ce qu'il fallait trouver.

COROLLAIRE

42. Puisque ce problème donne la relation de ces sept quantités m, n, p, f; &, h, distance de g à n, il est évident qu’il résout cette question plus générale:

Parmi ces sept quantités , savoir, les six arétes d'une pyramide triangulaire, et la distance de deux quelconques des arétes opposées, six quelconques étant données, trouver la septième.