PROBLEME XX

49. Des six angles que forment entre elles deux à deux les quatre aréles qui partent du sommet d'une pyramide quadrangulaire, cinq quelconques étant donnés , trouver le sixième.

Solution. Soit À le sommet de la pyramide quadrangulaire 4.8.

proposée, BCDE sa base, AB, AC, AD, AE, les quatre arêtes qui partent du sommet. Ces quatre arêtes prises deux à deux, forment évidemment six angles, et la question est de trouver l’un quelconque de ces angles lorsque les cinq autres sont donnés.

Prenons A pour le centre d'une sphère , et supposons que les quatre arêtes de la pyramide aillent rencontrer la surface de cette sphère aux points B', C’, D”, E”, respectivement. Joignons ces points deux à deux par un arc de grand cercle; il en résultera visiblement un quadrilatère sphérique B'C'D'E", dont les quatre côtés et les deux diagonales sont précisément les mesures respectives des six angles que nous avons à considérer, Donc nous pouvons appli-

(36) quer à ces six angles la formule (D) du problème précédent ; c’està-dire que si nous faisons (4);

FFAC=m, ACÂD=En, AB AD) AE AD=s, AE AB—g, ACAE=—7, on aura la formule suivante qui satisfait à la question proposée ,

I — COS’M — COS°I == COS — €O0Sq — COST — COS?S + cos°m . coss + cosn . cos’q + cos p . cos’r + 2 cos m . COS 1 . COSp + 2 COS M . COS . COST + 2 cos n . cos r . COS $ ++ 2 COS p . Cosq . Coss — 2C0SmML. COS 11. COS q . COSS == 2COS 71. COSP . COST. COSS

Il ne faut pas oublier d’observer que les trois angles s, 9, r, sont respectivement opposés aux trois premiers 3%, 2, p, Conformément à l’explication qui-a été donnée dans le problème précédent.