PROBLEME XXI

5o, Des six angles que forment entre elles deux à deux quatre droites menées d'un point pris à volonté dans l’espace , suivant des directions quelconques ; cinq quelconques étant donnés , irouver le sixième.

Solution. Les quatre droïtes proposées peuvent être considérées comme les quatre arêtes d’une pyramide quadrangulaire, réunies au point pris à volonté dans l’espace , on peut donc appliquer aux six angles que ces droites forment entre elles la formale (A) du problème précédent ; c'est-à-dire , que si ayant désigné ces quatre

rx. 8. droites par f,£, h, Z, nous faisons (4)

£h=m, Kf=n, Ffe=p,fl=s, g 1=39, LE Tr,

s, gr, étant les trois angles respectivement opposés aux premiers M; Hp; ON aura la formule suivante qui satisfait à la question

” (37) proposée »

1 —— COS? == COST me COS? D = COS? == COST == COS?S

+ cosm . coss + cosn . cos®q + cosp . cos’r

2 cos m . COS nm . COSP + 2COSM . COSq . COST

+ 2 cos n . COS r . COSS + 2 COS p . COS q . COS S

—2COsSm.COSs71.C08q.COSS — 2 COSM,COSp.CoSr.Ccoss

— 2008 7.CO3P.C08q. COST = O0... .mensosvees ses CRT ce qu'il fallait trouver.

Soit ABCD la projection d’un quadrilatère gauche quelconque ; et soient 2,n,gq,S,;p,r; les six angles formés par les côtés de ce quadrilatère gauche deux à deux, AB , CD , représentant les deux côtés opposés; AD , BC, les deux autres; de manière que m est l’angle compris entre les côtés représentés en projection par

AB , AD; s l’angle compris entre les côtés respectivement opposés aux premiers ; Z l’angle compris entre les côtés représentés par

BA, BC; gq l’angle compris entre les côtés respectivement opposés à ceux-ci; r l'angle compris entre les côtés représentés par AB, CD, ou plutôt à cause que les droites ne sont pas dans le même plan , l'angle compris entre AB et une autre droite menée d’un

point quelconque de celle-ci parallélement à CD.

Cela posé, par l’un des angles du quadrilatère gauche , par exemple , par celui dont la projection est D, j'imagine deux droites

DE”, DE’, respectivement parallèles à BA, BC; et je désigne les quatre directions DA, DE, D}, DF’ prises en partant du point D par g, 2, f, k; il est visible qu’on aura

gh=m ; h'f=n, g1=— g f1=s, fe SUP. D ; NI =sup. Ts

Or les quatre directions g, h, f, 2, partant d’un même point, la formule trouvée ci-dessus est applicable aux six angles

A A A A AN TARA LT LUS L GA 5 A AVE mettant donc pour ces angles leurs valeurs 77, 7, q, s, sup.p, sup.r, on aura à cause de Cos Sup. p——cosp , cossup.r —=—cosr, la

FIG. 8, bis.

(58) formule suivante, qui exprimera la relation existante entre les six angles que forment entre eux, deux à deux, les quatre côtés d’un quadrilatère gauche quelconque, 1 — COS? — COS°11 == COS p — COS? — COST — COS?S + com ©o$s + cosn cosqg + cosp cosr

— 20087 COS COSP — PDUOSM CosSq cos r —2C0S 7 COST COSS == 2COSP COS. COSS —2C0SM COS COS COSS—2COS M COSP COST COSS — 2C0S 1 COSP COSq COS —O......: Rhin (8)