PROBLÈME XXII

51, Des six angles que forment entre elles, deux à deux, les quatre faces d'une pyramide triangulairé , cinq quelconques étant donnés , trotver le sixième.

Solution. D'un point quelconque pris au-dedans de la pyramide proposée, concevons üne droite perpendiculaire sur chacune des faces. Il est évident que ces perpendiculaires formeront deux à deux des angles qui seront les supplémens de ceux que comprennent les faces sur lesquelles elles tombent. Or on sait que le cosinus d’un angle est toujours égal au cosinus de son supplément pris négativement. Donc, pour appliquer la formule trouvée dans le problème précédent aux six angles formés par les faces de la pyramide , il n’y a qu’à changer le signe de chacun des cosinus qui entrent dans la formule; c'est-à-dire, que si ayant désigné les

quatre faces de la pyramide par F, G, H, L, nous faisons (4) G'H=m, HF=», FG=»p, RIT GL=—9, Hobri

S, g, r étant les trois angles respectivement opposés aux premiers m,n,p, on aura la formule suivante qui satisfait à la question proposée , 1 — COS —= COS 11 == COSD — COS°q —— COST — COS?S + cos m . cos’s + con . cosq + cosp . cos?r

— 2 COSM : COSN . COSP — 2C0$SM . COS . COST — 2 COS n . COST . COSS — 92 COS D . COS Q . C0SS — 2C08mM.COSI1. COS q.COSS — 2C0SM.COSP.COST.COSS — 2C0S n.COSP.C05q.COST = O...... FÉR STAPS (A)

ce qu’il fallait trouver.

11 faut remarquer que d’après l’explication donnée (48), les angles opposés deux à deux, parmi les six que forment entre elles les faces d’une pyramide triangulaire , sont ceux qui sont compris respectivement entre les faces qui se coupent suivant les arêtes opposées, Ainsi, par exemple (fig. 5), l’angle compris entre les

deux faces qui se coupent suivant AB, est l’angle opposé à celui

qui est compris entre les deux faces dont CD est l’interjection. Ainsi des autres.