PROBLEME XXIII

ba. Des six angles que forment entre eux les quatre côtés d’un quadrilatère sphérique, prolongés jusqu’à leurs rencontres respectives , cinq quelconques étant donnés, trouver le sixième.

Solution. Soit ABCD le quadrilatère sphérique proposé. Prolongeons les côtés opposés BA, CD, jusqu’à leur rencontreenF, et les autres côtés opposés AD , BC, jusqu’à leur rencontre en F; les six angles que forment entre eux les côtés de ce quadrilatère deux à deux ainsi prolongés, sont donc BAD , ABC, BCD, CAD , AFD, AED ; et la question est de trouver l’un quelconque de ces’ angles lorsque les cinq autres sont donnés.

Du centre de la sphère sur la surface de laquelle est tracé ce quadrilatère , imaginons des rayons menés aux six points À, B, C, D,E, F; et par ces droites deux à deux, concevons les plans

qui doivent couper la surface sphérique suivant les quatre grands arcs de cercle BAF , CDF, ADE, BCE. |

Cela posé, d’un point quelconque K de l’espace, concevons une droite perpendiculairement abaissée sur chacune des faces,

et soient K/ s Ka, Kv : Kx » ces quatre perpendiculaires. Les

- angles formés par ces quatre perpendiculaires entre elles, deux

à deux, sont les supplémens respectifs des angles formés par ces faces entre elles; c’est-à-dire, qu’en nommant & le quart de la circonférence , on aura wkt = 2@œ — BAD, etc., ou

ukt=—20 — ABAD, ukv = 25 — BABC , th —2m — ED"EC | VRX = 27 CB”CD DUC — 2 —DADC, ukx= 24 — FAFD.

(40) Mais la formule trouvée (5o) est applicable aux six angles Ar, uko, tko, ukx, tkx , ukx, formés par les quatre droites qui partent du point k, et dont les trois derniers sont respectivement opposés aux trois premiers; donc pour appliquer la même formule

aux six angles ABAD, BA°BC, ED'EÉC, CF CD, DA”DC, FA°FD qui sont les supplémens des premiers, il n’y a qu’à changer le signe des cosinus ; c’est-à-dire que si l’on nomme

m,n,p, les trois angles AP AD, BA" BC, ED”EC ; s,q;r, les trois angles CB'CD, DA”DC, FA”FD,

respectivement opposés aux trois premiers ,» On aura la orpule suivante qui satisfait à la question proposée,

1 — COS =—+ COS°I = COSP —— COS? =» COST = COS?S + cos’m . cos®s + cosn . coq + cosp . cos°r — 2 COS M . COS . COSPD — 2 COSM . COS Q . COST — 2 COS 11 . COST . COSS == 2 COSD . COS Q . COS S — 2COSM . COS 11. COS Q . COS S =2COS M1. COSP.COST.COSS — 2C08M.COSP.C05q.COST = er be rt ion Ps 25 8 sort EN)

ce qu’il fallait trouver.

COROLLAIRE

53. Il est évident que la même, formule s'applique aux six angles formés par les quatre faces de la pyramide quadrangulaire qui a son sommet au centre de la surface sphérique sur laquelle est tracé le quadrilatère BCDE , et dont les quatre arêtes coupent cette surface sphérique aux points B, C, D,E; car les six angles ‘que forment entre elles deux à deux ces faces nn dE ,; ne sont autre chose évidemment que les angles mêmes du quadrilatère que nous venons de considérer.