PROBLÈME XXV

55. De ces six choses, savoir, les trois angles formés au sommet d'une pyramide triangulaire, par les aréles qui s'y réunissent , chacune avec la face qui lui est opposée, et les trois angles que forme avec ces mémes faces une droite qui traverserait la pyramide suivant une direction quelconque ; de ces six choses, dis-je, cing quelconques étant données, trouver la sixième.

Solution. Par le sommet de la pyramide , j'imagine une droite parallèle à la transversale proposée, Cette droite fera par conséquent avec les faces de la pyramide , les mêmes angles que la transversale elle-même. Mais si de plus, par le même sommet , nous imaginons trois droites respectivement perpendiculaires à ces faces, il est évident que ces droites feront avec la parallèle ci-dessus, des angles qui seront complémens de ceux que cette parallèle fait avec les mêmes faces, Donc si l’on désigne les trois arêtes par f, g, h, les faces respectivement opposées à ces arêtes au sommet de la pyramide par F, G, H, la droite menée parallélement à la transversale par L,, et enfin le quart de circonférence par &; il arrivera que les angles formés par cette parallèle et les droites élevées perpendiculairement aux faces F, G, H, seront respectivement

mr ten LG Len:

pareillement les angles formés par ces perpendiculaires aux faces ; et les arêtes qui leur sont respectivement opposées, seront les com. plémens de ceux que ces mêmes arêtes et ces mêmes faces font entre elles. |

Donc ces trois perpendiculaires et Ia parallèle à la transversale, sont quatre droites partant d’un même point, et formant entre elles deux à deux les six angles suivans, dont les trois derniers sont respectivement opposés aux trois premiers ;

œ—fF,e—$g CG, NH, e LE, e-L6G,e—L'H.

Donc la formule trouvée (50) est applicable à ces six angles ; c’est-

à-dire, que si l’on suppose fE DA, g G=n F RH=p, L'F=s, L'G— Q, L'H=r,

il n’y aura qu’à substituer dans la formule, au lieu des quantités Mm,7, PS4, r, le complément de chacune d’elles, ou, ce qui revient au même, le sinus de chacune d’elles à son cosinus. Cette substitution donnera la formule suivante qui satisfait à la question proposée ,

1 — SIN°M = SiN°72 == SIND = SIN°q — SIN°T = Sin°s + sin°m . sin°s + sin°n , sin°q + sin°p . sin°r + 2sinm .sinn.sinp < 2sinm .sing.sinr + 2sin n.sinr .sins + 2sinp .sing .sins —2sin m.sinn.sinqg.sins —2sinm.sinp.sinr.sins mm TSUE LOU D SI DIT = De o os 0 0 0 so 0000 0 0e +008 CAE)

ce qu'il fallait trouver, Remarques

56. Nous pourrions facilement pousser plus loin le nombre de ces questions, et nous livrer aux applications dont elles sont susceptibles ; mais ce serait perdre de vue notre objet principal, qui est de rechercher la relation qui existe entre les distances respectives de cinq points quelconques pris dans l’espace. C’est ce dont nous allons nous occuper dans le problème suivant. Mais je ne puis quitter ce qui regarde la pyramide triangulaire, sans souhaiter encore qu’on fasse par elle, pour la Géométrie aux trois dimensions, ce qu'on a fait pour la Géométrie plane , par la résolution du triangle dans tous les cas possibles. Nous avons bien donné ci-dessus (45) la solution du problème général; mais nous n’avons fait, à proprement parler, que mettre ce problème en équations, de même qu’on met le problème général de la Trigonométrie ordinaire en équations , en exprimant toutes les parties du triangle en valeurs de trois seulement d'entre elles, comme par exemple Jes trois côtés; mais il s’agit ensuite de développer ces équations primitives, pour les appliquer à chaque problème particulier , et leur donner la forme la plus avantageuse pour le calcul des nombres ordinaires et celui des logarithmes, De même ici, nous avons bien

(4) exprimé fontes les parties de la pyramide triangulaire en valeurs de ses six arêtes seulement ; mais il y a un travail immense à faire, pour que de ces formules primitives on puisse passer immédiatement à la résolution soit algébrique, soit numérique de la pyramide dans tous'les cas particuliers ; et c’est ce travail qui serait infiniment utile.

57. J'observerai, en terminant ce qui regarde cette matière, que dans presque toutes les formules trouvées se rencontrent certaines classes de quantités dont, pour abréger les calculs, on peut représenter la somme par une seule lettre. Considérons, par exemple, la formule (A) du problème IV (12), les six premiers termes du facteur qui multiplie 4R*, ne sont autre chose que la somme des produits de la 4° puissance de chacune des arêtes, par le carré de l’arête opposée : ainsi nous pouvons représenter cette somme par une seule lettre M, et employer l’une pour l’autre dans toutes les autres formules où elle peut se rencontrer.

De même, les quatre termes qui suivent, composent la somme des produits des carrés, des trois arêtes qui forment les côtés de chacun des quatre triangles , qui sont les bases de la pyramide ; ainsi nous pouvons, une fois pour toutes, prendre N pour représenter cette somme connue.

Les douze termes suivans composent la somme des produits des carrés des arêtes, multipliées trois par trois, en les prenant consécutivement, de manière qu’il y en ait deux d’opposées dans chacun des produits : ainsi nous pouvons représenter dans toutes les formules où elle entrera , cette quantité connue, par ©.

Les trois termes qui suivent composent le double de la somme des produits des carrés des arêtes prises quatre à quatre, de manière que ces quatre arêtes soient opposées deux à deux. Ainsi nous pouvons représenter cette somme connue, par P.

Enfin , les trois derniers termes composent la somme des produits des quatrièmes puissances des arêtes opposées deux à deux; ainsi nous pouvons exprimer cette somme connue , par Q.

Ces dénominations une fois adoptées, la formule en question pourra s'exprimer ainsi :

AR OM-ENELO ) ID OPE 0. RCA)

De même , la formule (A) du problème IT (6) pourra s'exprimer

ainsi :

a (2m°n° + 2m p° + 2n°p° — mt nr — pt) RL QT 02 id. (B)

De même encore, la formule (A) du problème TITI (9) pourra s'exprimer ainsi :