S +HM+HN—O—=o............. (C

Il en sera de même de la plupart des autres formules trouvées jusqu’au n° 48, qui ne sont guères que des combinaisons de ces mêmes quantités M, N, O,P, Q. Par ce moyen on pourra faire des rapprochemens curieux entre ces diverses formules. Par

exemple, en combinant la première des formules précédentes avec la troisième ; on aura cette relation entre les quatre quantités P,

4 OO RES iQ Polo sieste ..(D) ainsi des autres.

Puisque nous avons Q = mif# + gini + Ripé P = 2n°p°9°h° + 2m°p°f°h° + 2m°n°f °°, Si dans ces dernières équations nous mettons pour f, g, h,m,n,p, leurs valeurs respectives trouvées (47), nous aurons (dj 16R:((1 — cos") (1 — cosf”} H(1— cosg") (1 — cos >} + (1 — cos) (1 — cosp'}") 2710 (Ga — cos" )(1—cosp)(1—cosg’)(1—cos h’) + (1 —cosm")(1—cosp") (1 —cosf”) (1—cosh') + (Gi —cosm) (1 —cosn') (1 —cosf”) (1 —cosg’)). Substituant ces valeurs de Q et de P dans la formule précédente

(D), et divisant tout par 16R: ; nous aurons la formule suivante, qui donne la solidité de la pyramide en valeur du rayon de la sphère

(46) circonscrite , et des six angles formés au centre, par les rayons menés de ce centre à chacun des sommets de la pyramide.

S=—2:R: (CC — cos7n') (1 —cosf") + (1 —cosg’) (1 —cosr/) + (1 —cos X')(1 —cosp') —2.(1—cos n°) (1—cosp") (1 —cosg') (1—cosz') —2.(1— cos) (1 —cosp") (1 — cosf”) (1 — cos’)

—2.(1—cosm") (1—cos7) (1—cosf”) (1—cosg))...(E). PROBLEME XXVI.

58. Des dix droites qui joignent deux à deux cing points quelconques pris dans l’espace, neuf quelconques étant données, trouver la dixième.

rc. 8 Solution. Soient À, B, C, D, E, les cinq points proposés, et les ayant joints deux à deux par des droites, désignons, pour abréger , ces dix droites comme il suit :

Je prends maintenant l’un quelconque des cinq points proposés, À, par exemple, pour centre d’une surface sphérique d’un rayon quelconque , et je prolonge les quatre droites ou arêtes qui partent du point À , jusqu'à la rencontre de cette surface sphérique, en B', C’, D’, EL’; enfin Je joins les quatre points B', C’, D’, E”, deux à deux, par six grands arcs de cercle, que je désigne comme il suit :

BC'= 7, C'D'=7, DD'=p} D'E' =, PES CE — 7":

Cela posé ; nous avons (48) entre les six arcs, n',p',s,gq,r,

l'équation suivante :

1 — COS == COS — COSP — COS" =» COS” =" COS” + cosm . cos's + cosn’ . cos’g” ++ cosp'. cos'r” —ocosm.cosn .cosp ++ 2cosm.cosg . Cosr” —Lacosn .cosr .coss” 2cosp. cosg” . cos s” — ocosm.cosn.cosq.coss’—2C0sm .cosp',. COST” . COS

—DCO82 C0 HA CDSA CON =S/Q ie AT NÉE à macis e abus (A)

Mais puisque les arcs 7’, n’, etc. sont les mesures des angles BAC, CAD, etc. nous aurons par le lemme 1 les six équations suivantes :

2 en LH r Ds COS — A > COS —= 2fh coSp = EF FRA rs frais se +Pl— PE 2 a cos s — SF > COSQ —= agi > COST — A Re)

Substituant toutes ces valeurs dans l'équation précédente (A); réduisant tout au même dénominateur 16f ge , et effacant les termes qui se détruisent ; on obtiendra, après un calcul fort long , mais qui n’a point de difficultés, la ee symétrique suivante entre les dix quantités ou arêtes f, So h5l;, Ml; Pr9:7T3S3 €t qui résout le problème proposé,

gfrt Æ gist E gfrt + hist hgf + h‘p{ > fm + fgf + rt + mt + Ziné Up HE mmist RO mg À ripf Le agin°s* —2Snr —ogtrst —2hfgs" — 2hfp°s* —2htp°q® —2f"m°q® —2ffmr —2fiqr — 2lfmn —2Ùfmp —olnp —2mtf°l —2omif?s — 2m{ls* — 2792 —ontg"q" — ont lg —25g"h — 2stg°m* — 25m —2qff" 9 —ogthn —ogtfn — 2rf°g* — 2rt9%p? —21f°p —o2pfh°® —opthr — 2pfEr — 49" h°ms —4 f°g" pr —4g"ln°q"— 4g°n°r°s"— 4, fh°n°g" — AP per —4hp°qs—4f ls —4 fr'qr—4lmnp — 29° h°n°p°— 289" hr —2f mn —2fg gs —2g lmr — 29°%2p°s —2f mp —2f"hrs— 2h lmq—2hlns —2f Pr —2f" lp —2mn gs —2m"pr's —2np'"T* +2 hns +2 hr +2ghq"s" +29 hrs +2g"hp°s* +29" hp°r° Haf eg ms +2f mr + 2fg°n°q + 2f g'n°r* + 2/87" + 2f2°q"r° +22 l'm'n' +29 l'ns +2g ns + 29° Pr +29 Prép+2g pr +2gm'ns +29 nr s ag n° + ag gr 2gn pre ptrs +aflhmes su 2f km + 2f*hq°s + 2f°h°g°r + 2fihp°q+ 2f°h°p°r* + 2h Pris + 2h Pr p + 2h ln°q"+ 2h lnp + o2hlp*s + 2h pq" + 2hkm gs +2hmps +2ln gs +2hrp°q" + 2/pr°s +2hkp°qr+2flrmn+2f mg +2f br + 2f Prrp°+ 2f°ln°q + 2f°lp°r Lofmng +2fmgs + 2fmrs Lofmpr+ 2f° n° gr 2fpqr+2lmrs +2P mn g + 2m ps + 2lmpr+2lPnptq" + 2lPnptr=0...(A)

ce qu'il fallait trouser.

Remarque.

59. Quoique cette formule qui a 130 termes; paroisse d’abord Fort compliquée , elle est symétrique et assujétie à une loi facile à saisir. Car, 1°. les quinze premiers termes composent la somme des produits des quatrièmes puissances des arêtes opposées deux à deux; c’est-à-dire, de celles qui n’ont pas d’extrémités com- MINNOS. SOL CÉLLENTSOMII, sur de MU see demie

2°. Les trente termes qui suivent composant deux fois la somme des produits de la quatrième puissance de chacune des arêtes, par le produit des carrés des arêtes qui lui sont opposées , prises deux DR NET SOMIE. rdc e a sels ae de o eee (Te

5°. Les dix termes suivans composant quatre fois la somme des produits du carré de chacune des arêtes , par le produit du carré de chacune des trois arêtes opposées , c’est-à-dire qui n’ont point d'extrémité commune avec elle. Soit cette somme.....—#H.

4°. Les quinze termes suivans composent deux fois la somme des produits des carrés des quatre côtés de chacun des quadrilatères gauches qui entrent dans la construction de la pyramide. Soit Ce SOMME. ARR PC

5°, Enfin les soixante derniers termes composent deux fois la somme des produits des carrés des quatre arêtes qui formetaient le contour d’un pentagone gauche, dont on aurait retranché un côté. Par exemple, ABCDEA exprime le contour d’un pentagone

gauche dont les côtés successifs sont AB, BC, CD, DE, EA; qu'on Ôte l’un quelconque de ces côtés , par exemple CD , il restera les quatre” côtés /AB,2BC, DE, AE, ou g,7123492 7 : or le double du produit des carrés de ces quatre quantités est 29*/7°s*, qui se trouve être le 14" terme des soixante de cette dernière

classe. Soit cette somme — L, la formule (A) pourra donc s’exprimer simplement comme il suit :

Cette formule extrèmement remarquable , et qui fait particu- Jièrement l'objet de ce Mémoire, donne la solution d’une mul-

titude de questions difficiles. Par exemple, celles-ci : quatre points étant donnés dans l’espace , trouver un cinquième point dont les distances aux quatre premiers soient en raisons données, ou qui aient entre elles telle autre relation donnée; et cette autre , quatre sphères étant données dans l’espace, en trouver une cinquième qui soit tangente aux quatre autres, ou qui en retranche des arcs donnés, etc.

COROLLAIRE E

6o. Si des cinq points considérés dans l’espace, on suppose que quatre soient les sommets d’une pyramide triangulaire, et que le cinquième soit le centre de la sphère circonscrite , on trouvera par la formule précédente le rayon de cette sphère. Car supposons, par exemple > que E soit le centre, et que les quatre autres points À, B, C, D, soient les sommets de la pyramide circons-

crite; les droites EA, EB, EC, ED, seront donc égales entre elles et au rayon cherché. Ainsi, désignant ce rayon par R, il n’y aura qu’à substituer dans la formule précédente , R à la place de chacune des quantités Z, g, r, s; et l'équation qui en résultera , donnera R en valeurs des six arêtes, f,£2,h,m,n,p;, de la pyramide. Cette opération donnera la formule suivante, qui s'accorde avec celle que nous avions déjà trouvée par le pro

blème IV (12),

4RE (Fm mp + gfn + nig° + hip + pthe ce m'o°h° + p°f°2° — n°f°h° —+- m°n°p* — mng — pe — n°f2e% — m°f°e* A.) ro} La p'g°h" sil mn°f® 40. m°p°f* — ph — mp8 — nef — p°f°h°) + 22°p°oh° + 2m°p°f°"h° + 2m°n°f°p° — Méf# — gftnt — hipt=0o.......... sise ÉeS.

COROLLAIRE FT 61. On peut , par le corollaire précédent , trouver la relation

qui existe entre les distances respectives de cinq points quelconques pris sur une même surface sphérique. Car supposons que les cinq

(5) points À, B, C, D, E, soient tous dans une même surface sphérique dont le rayon soit R. L’équation (A) trouvée dans le problème précédent , donnera la valeur de Renm,n,p,f,g, h; mais puisque par hypothèse , E est aussi sur la surface sphérique , une pareille équation doit exister en substituant aux arêtes f, g, h, les arêtes s, g, r respectivement. Egalant donc les deux valeurs de R: tirées de chacune de ces équations, on aura la relation qui doit exister entre les 9 arêtes m,n,p, f,&»h,S;, q,r, pour que les cinq points proposés se trouvent tous sur une même surface sphérique ; et par la même raison, une semblable relation existe entre les distances 1, 2,p,f,£2»h,S,gq,r, Z, prises neuf à neuf, de toutes les manières possibles, ce qui fait en tout 10 relations de même nature que la précédente.