PROBLEME XXVIII

63. Connaissant les distances respectives de six points quel conques pris dans l’espace, trouver l'angle que forment entre eux les deux plans qui contiennent, le premier trois quelconques des six points proposés , le second les trois autres. |

FlGu. Solution. Soient À, B, C, M, N , P, les six points proposés , et qu’il s’agisse de trouver l’angle compris entre le plan qui contient les trois premiers A, B, C, et celui qui contient les trois autres M;/N;, P.

Imaginons de chacun des points À, B, C, contenus dans le premier plan , une perpendiculaire abaïssée sur le second. Puisque les distances respectives de tous les points proposés sont données par hypothèse , ces perpendiculaires seront faciles à trouver ; ca

si l’on conçoit du point À, par exemple, les droites AM, AN;

(53) AP, il en résulfera une pyramide triangulaire , dont les six arètes

seront données , et dont la hauteur, à partir du point A, est précisément la perpendiculaire qu'il s’agit de trouver.

Maintenant, imaginons AB prolongée jusqu’à la rencontre de deux plans ABC, MNP , et par les pieds des perpendiculaires abaissées des points À et B sur le plan MNP , concevons aussi

une droite : elle ira rencontrer AB dans l'intersection des plans ABC, MNP , et ces droites formeront avec les perpendiculaires ci-dessus , des triangles rectangles semblables, dans lesquels on

connaît , 1°. les deux perpendiculaires, 2°. la distance AB de leur sommet. On trouvera donc facilement les autres côtés de ces triangles par cette proportion : la différence de ces deux perpen-

diculaires est à AB comme la perpendiculaire abaïssée du point B

est à la distance du point B, au point où AB rencontre le plan

MNP.

Par une opération semblable , on trouvera la distance du même point B, au point où la droite AC rencontrera ce même plan

MNP : ainsi ces deux droites AB, AC , prolongées jusqu’à l’intersection des plans ABC, MNP, et cette intersection elle-même, formeront un triangle rectiligne dans lequel vu connaîtra les deux

côtés pris sur les directions de AB et AC avec l’angle compris au sommet B de ce triangle. On aura donc par le lemme 1, la perpendiculaire abaissée de ce point B qui est son sommet sur sa base qui est l’intersection de deux plans; et comme la perpendiculaire abaissée du point B sur le plan MNP est aussi connue, on aura, en joignant les pieds de ces deux perpendiculaires, un triangle rectangle , dont on connaîtra l’hypoténuse et un petit côté; et par conséquent on trouvera sans difficulté l’angle opposé à ce petit côté, et cet angle est précisément l'angle compris entre les deux plans

ABC, MNP ; ce qu’il fallait trouver.