PROBLÈME XXIX

64. Un système quelconque de points étant proposé dans l'espace ; cl connaissant les distances de chacun d’eux à trois autres points fixes pris à volonté, pour servir de termes de comparaison; trouver Les droites qui joignent tous les points du système deux à deux , les angles que forment ces droites entre elles , ceux que forment ces mémes droites avec les plans qui contiennent ces points trois à trois , les angles formés par ces plans entre eux , La perpendiculaire abaissée de chacun des points du système Sur la droite qui en joint deux autres quelconques, ou sur le plan qui en contient trois, la plus courte distance de deux quelconques de ces mêmes droites , etc.

Solution. Considérons d’abord la distance de deux quelconques d’entre les points du système proposé. Puisqu’on connaît les distances de chacun de ces points, aux trois points fixes qui ont été choisis dans l’espace pour servir de termes de comparaison , et dont les distances sont données, il y aura neuf données parmi les dix droites qui joignent ces cinq points deux à deux; donc (58) on aura la dixième , c’est-à-dire Ja distance cherchée des deux points proposés. En appliquant la même solution à tous les points du système pris deux à deux, on aura donc déjà toutes les distances cherchées entre ces mêmes points. Maintenant, pour trouver les angles formés par ces droites, il n’y a qu’à considérer les points trois à trois; car les droites qui les joignent formeront un triangle, dont les côtés seront connus par ce qui vient d’être dit, donc on aura chacun des angles par le lemme 1. Voilà pour les droites qui ont une extrémité commune : quant à celles qui ne, se rencontrent pas, il faut joindre leurs extrémités deux à deux, en. les considérant comme les quatre sommets d’une pyramide triangulaire dont ces. droites sont deux arêles opposées , et alors on aura l’angle qu’elles

forment (27). Puis (41) on trouvera la plus courte distance de ces mêmes droites.

Pour trouver la perpendiculaire abaissée de l’un quelconque des points du système sur la droite qui joint deux des autres, il

(55) suffit d'appliquer la formule 3 du lemme 1 au triangle qui a son sommet au point d’où doit partir la perpendiculaire , et dont la base est la droite comprise entre les deux autres ; les trois points de ce triangle étant connus par ce qui a été dit ci-dessus. Pour avoir la perpendiculaire abaiïssée de l’nn quelconque des points du système sur le plan qui en contient trois autres , il faut considérer ces quatre points comme les quatre sommets d’une pyramide triangulaire , dont les six arêtes sont connues par ce qui a été dit ci-dessus , et alors la perpendiculaire cherchée n’est autre chose que la hauteur de cette même pyramide considérée comme ayant son sommet au point proposé.

Enfin on trouve (31 et suiv.) les angles que forment les droites avec les plans, et ceux que forment les plans entre eux: ainsi le problème proposé est entièremént résolu ; cé qu’il füllait trouver.