PROBLEME XXXI

66. Une pyramide triangulaire étant rapportée à trois plans quelconques perpendiculaires entre eux , exprimer toutes les parties , lant linéaires qu'angulaires de cette pyramide , en valeurs des douze coordonnées qui répondent à ses quatre sommets.

Solution. Je conserve les dénominations des problèmes II et

suivans, et de plus je nomme

a, & , a’, les coordonnées du point A, à l'égard des trois plans rectangulaires ;

D, D’, à", les trois coordonnées du point B,

c,c', c’, les trois coordonnées du point C,

d, d', d”", les trois coordonnées du point D.

Cela posé , il est clair que le carré d’une droite quelconque menée dans l’espace, étant toujours égal à la somme des carrés de ses projections sur trois axes quelconques rectangulaires , nous aurons

m = (b—c} +(b—cY + —cy

D (c—d) +(c— dd}; +(c—d}

p =(d— D} +(d—LVyY +L(d—Dy

fr=(a—-aYÿ +(t— ay +(d'— a}

Lg =(a—b} +(a—byY+(a — by

BR =(c—aÿ +(c— gd) L(c—a}.

Substituant donc toutes ces valeurs de 77°, n°, p*, f°, g°, h° dans les formules trouvées qui expriment toutes les parties de la pyramide en valeurs de ses seules arêtes, on aura l’expression de ces mêmes quantités en valeurs des coordonnées des quatre sommets A, B, C, D. Ce qu'il fallait trouver.

Remarque.

67. Ce qu’on vient de dire de la pyramide, s'applique à un polyèdre quelconque, c'est-à-dire, qu’on peut résoudre de la même manière cette question plus générale.

Un polyèdre quelconque étant rapporté à trois plans quelconques perpendiculaires entre eux, exprimer toules ses parties, tant linéaires qu'angulaires en valeurs des coordonnées , qui répondent aux sommets de tous ses angles solides.

En effet, il est elair qu'on trouvera d’abord les carrés des distances respectives de tous ses sommets, deux à deux, en ajoutant les trois carrés des différences de leurs coordonnées correspondantes; puisque ces différences ne sont autre chose que les projections de la distance cherchée sur les trois axes, et que le carré d’une droite quelconque est évidemment égal à la somme des carrés de ses projections sur trois axes quelconques perpendiculaires entre eux.

On aura donc ainsi les distances respectives de tous les points du système proposé, exprimées en valeurs des coordonnées de ces mêmes points. Après quoi, pour avoir tout le reste, on achèvera

* comme dans le problème XXIX (64).

Par là on établit la liaison qui existe entre la méthode des triangles et celle des projections ou coordonnées. Chacune de ces méthodes a des avantages qui lui sont propres : en suivant la première, on exprime directement toutes les parties du système proposé en valeurs de quelques-unes seulement d’entre elles, suffisantes pour que tout le reste soit déterminé , ce qui donne le moyen de changer à volonté les données, en les prenant toujours parmi les élémens mêmes de la figure proposée.

Dans la méthode des projections au contraire , on commence par exprimer toutes les quantités du système en valeurs des coordonnées, ce qui s’opère par des méthodes générales très-ingénieuses; mais ensuite il faut éliminer toutes ces coordonnées qui ne sont, à proprement parler, que des quantités auxiliaires, pour y substituer les élémens mêmes de la figure. On ne peut donc, dans ce cas, regarder le problème comme résolu, que lorsque l'élimination de ces coordonnées est opérée , et c’est dans cette élimination principalement que consiste la difficulté de cette méthode, parceqw’il se trouve plus d’inconnues à éliminer, qu’il n’y a d’équations fournies ; desorte qu’il fant des artifices particuliers d’analyse pour faire disparaître les inconnues, et trouver la relation qui existe

( 58 ) entre les seuls élémens propres de la figure proposée, au moyen des conditions arbitraires qui doivent suppléer aux conditions

prescrites.

Par exemple, dans le cas de la pyramide, il faut seulement six. données , que nous avons supposées être les six arêtes, et partant de là , nous sommes parvenus à trouver toutes les autres quantités du système en valeurs de ces six arêtes.

Suivant la méthode des projections , au contraire , on considère d’abord comme connues les douze coordonnées des quatre sommets ; mais comme il faut les éliminer toutes, et qu’on n’a pourtant que six données, qui sont les six arêtes , on supplée aux six autres données qui manquent, par six conditions arbitraires , fondées sur ce que les plans rectangulaires auxquels on rapporte le système, étant pris à volonté, on est maître de fixer où l’on veut l’origine des trois axes et leurs trois directions. Ainsi, il faut exprimer ces six conditions arbitraires par six nouvelles équations qui, combinées avec les six arêtes, donneront le moyen d’éliminer les douze coordonnées. C’est dans l’art de conduire , de la manière la plus simple, ce calcul suivant les circonstances, que consistent les ressources de la méthode féconde des projections. On voit qu’elle est fondée essentiellement sur l’art de changer le système des coordonnées , afin de pouvoir choisir l’origine et les directions des axes le plus favorablement possible à l’objet qu’on a en vue. C’est pour cette raison que je me suis occupé ici du problème important de la transformation des axes pris dans sa plus grande généralité, sans. cependant déplacer l’origine des coordonnées , parcequ'on sait que pour transporter cette origine où l’on veut, il n’y a autre chose à faire, que d’ajouter une constante arbitraire à chacune d’elles,