THÉORÈME VII

me. 11. 14. Ôi une droite quelconque BD est coupée aux points b, d,

en segmens proportionnels, je dis que si d'un autre point quel-

R772 conque À de l'espace ; on mène aux quatre points de division #, D, b, d, quatre droits AB, AD, Ab, Ad ; toute autre transversale B'D' , menée entre Les droites AB, AD » Sera coupée, comme la première ED, en segmens proportionnels par Les droites Ab , Ad.

Démonstration. Par hypothèse , nous avons Bg : Bd :: Dé : Da.

Or les triangles BAZ, BAZ; DAb, DAG, donnent

— ——sinBAb —, —sin BAd = sin DAb — sin DAd Bb AB sin AB ? PAT sin AdB ? Dé AD sin ADD ? : ;

Substituant ces valeurs de Bb, Bd, Dh, Dd, dans la proportion précédente, et réduisant, on aura

sin BA : sinBAg :: sin DAB: sinDAd.........(A)

Donc réciproquement, si cette relation a lieu entre les quatre angles BAD, BAd, DAb : DAG, la droite BD sera nécessaire-

ment coupée aux points à, d, en segmens proportionnels , puisque si cela n’était pas, il faudrait pour que cela fût, prendre le point 4 plus près ou plus loin du point D, les trois points B, 2, D restant les mêmes. Mais alors la relation des angles ne serait plus la même;

donc, puisqu’on la suppose donnée , la droite BD est réellement coupée en segmens proportionnels aux points B, D. Or ce que je viens de dire de la droite BD, peut se dire

également de toute autre droite B'D’; donc cette droite BD’ est aussi coupée en segmens proportionnels aux points D’, d'; ce qu’il fallait démontrer.

COROLLAIRE I

15. On doit remarquer que la démonstration précédente est composée de deux parties qui forment deux propositions distinctes très-remarquables l’une et l’autre. La première est que si une

rc. G.

droite BD étant coupée en segmens p

C9) oportionnels aux points à, 4, on mène d’un point quelconque Ad ‘espace , les quatre droites

AB, AD, Ab, Ad, les angles formés au point auront la relation suivante :

sin BA : sin BAG :: sin DA : sin DAG..... : LOS) La seconde est que réciproquement , si quatre droites partant

d’un même point À , et tracées dans un même plan , forment entre elles des angles qui aient la relation dont on vient de parler,

toute droite comme BD ou B'D”, tirée entre les côtés AB, AD de l'angle BAD, sera coupée par les deux autres Ab, Ad en segmens proportionnels.

COROLLAIRE Il.

16. La proportion Be : Bd :: Dé : DA donne, en renversant les termes,