La hauteur cherchée AE

Cela posé, comme j'ai conservé pour le quadrilatère BCDE, les mêmes dénominations que celles que j'avais adoptées dans le problème précédent pour le quadrilatère BCDE ( fg. 3) ; la formule (C) de ce problème T sera applicable au cas présent. Or les trois triangles rectangles ABE, ACE, ADE, donnent pour éliminer de cette formule les quantités 4, r, s, qui ne doivent point se trouver dans la valeur de x, les trois équations suivantes,

gP=g x, r=h—x, s'—=/f— x,

Substituant donc ces valeurs de g°, r°, s*, dans la formule (C) du problème précédent, nous aurons la formule suivante qui satisfait à la question proposée.

a°(2m°n° + 2m°p° + 2n°p°—m{f — nf— p#)

+ fn + mtf? + tn + nig° + hip° + pth°

+ m°n°p° + m'o°h jar gl ( e —+ p°f °2*

— mnf —mne — mf°g — mf°h°

— m°p°f —nmph — nf? —nrgh

— np°g° — ph prohs D DAATU = OS E (A)

ce qu’il fallait trouver.

COROLLAIRIEN I.

7. Puisque la formule (A) contient les sept quantités #1, 7, p, f,g;h, æ; il est évident qu’elle résout cette question plus générale :

Parmi les quantités suivantes , savoir, les six arêtes d'une pyramide triangulaire et sa hauteur au-dessus de l’une des faces, six quelconques étant données, trouver la septième.

COROLLAIRE II

8. Si l’on suppose que les trois arêtes montantes f, g, , soient égales entre elles, la formule se réduira à

( P—x°) (2m n° +2 pan pri ni pt) — mn p=0,. ..(B)

(9) ce qu'il est d’ailleurs facile d’appercevoir : car f* — x* étant égal à s'hsär*.et.à 9%, .aicause de f—= 2h; s; r;.q ; seront trois rayons du cercle circonscrit à la base BCD. Or par le lemme I, on a en effet

S° (2° n° + 2m p° + 2° D? — mt nf pt) = MAP = O ;

équation qui revient au même que la formule (B), à cause de ME — 2.

Si l’on supposait aussi les trois côtés 1, n,p, de la base égaux entre eux, la formule (B) se réduirait à

D D eau tib ec nteuso e (C) et enfin si l’on suppose f = "m1, on aura D M ne de dt hu Se (D)

c’est le cas du tétraèdre régulier.