PROBLEME IV

12. Exprimer le rayon de la sphère circonscrite à une pyramide triangulaire, en valeurs de ces six aréles.

Solution. Soient, comme dans les problèmes précédens,

7, P, 72, les trois côtés ou arêtes de la base; Fc. 4.

f; g; h, les trois arêtes montantes respectivement opposées ; SA. le solide de la pyramide;

RSA GES le rayon cherché de la sphère circonscrite.

Si du centre de cette sphère on imagine des droites menées aux quatre angles solides de la pyramide, ces droites qui seront ellesmêmes autant de rayons, partageront cette pyramide en quatre autres, dont on trouvera la solidité chacune en particulier par la formule (B) du problème précédent (11). Ajoutant donc ces quatre solidités partielles, et égalant leur somme à la solidité entière, donnée par la formule (A) du même problème , on aura , réduction

faite après un long calcul, la formule suivante , qui satisfait à la question proposée

AR (fm + mif° + gfr° + nfo° + hp? + pile

+ m'e°h° + p°f °° —- A AE) —- m°n°p°

— mng — np — nf — mf°g°

1 eh jé ph — mn°f? — m°p°f*

— pe — mp he — m°f°h — pf°h)

+ 2n°p°e°h° + 2nm°p°f°h° + 2nn°f°g°

— méff — pin — hipt=0.....,........... (A)

ce qu'il fallait trouver.

COROLLAIRE I

15. Puisque la formule (A) contient les sept quantités 1, n, p, F5 8h, R, il est évident qu’elle résout cette question plus générale :

Parmi les sept quantités suivantes ; savoir, Les six arétes d'une pyramide triangulaire et le rayon de la sphère circonscrite , six quelconques étant données , trouver la septième.

(12) COROLLAIRE Ïl

14. Si l’on suppose que toutes les arêtes de la pyramide soient égales entre elles, ce qui est le cas du tétraëdre régulier , et que m soit prise pour représenter l’une quelconque de ces arêtes, on aura *