AG ; HG = MR : RP
D’où il suit que la direction de la diagouale MP ou Qf/D qui est celle de la force composée , reste partout la même, ou qu’elle est partout parallèle à Ail.
§ 75. Ayant donc trouvé
Cette équation étant multipliée par dt se change en
ce qui donne
d JL-
et partant, l’intégrale
ou bien
C’est-à-dire que le temps employé par le corps à parcourir l’arc AM est la somme du temps que le fluide emploie pour parcourir l’abscisse Am et de celui que le corps
SUR LA RÉSISTANCIÎ DTS l'LUIDKS. 60
emploierait , si avec la vitesse qu’il a en A , il avait à parcourir l’ordonnée »iM.
§ 76. Mais reveuons à nos équations différentielles et iutroduisons-y l’angle HAG (dont nous venons de voir qu’il est constant). En conséquence nous aurons pour les ordonnées
PM = MR séc 4> = rfy séc 4>,
et partant
— rfrfy
rfy»
ttCO»4' *
Mais on a
qdl =. dy, dqdt — ddy,
ce qui donne
— dq.dt =
q'dl * a co s 4* *
dq lit
qq a cos 4'*
dont l’intégrale est
a cos 4' q Q Qq
Ensuite la même équation
dq rff
qq fl COS 4'
nous donne
dq qdt rfy
y <i cos 'l' a cos 4* ’
dont l’intégrale est
a cos ^
et de là, en exprimant q en fonction de t.
a cos 4*
loe (‘ +ÏSTf)-
a cosi}'
§ 77. De la même manière nous avons pour les abscisses
ddx PM (yrff — dx)
ydi — dx a a sin 4* ’
mais on a
kdt — dx, dkdt — ddx.
Ces valeurs étant substituées, il vient
(y - k)'dt a sin ■J'
— = dk
dt d/c
a siu 'l' (y — A)* *
dont l'intégrale est
a Sill 4 y mm k y '
g 78. Ensuite l’équation
dt dk
a sin 4 (ÿ — if)*
se change en
kdt kdk dx
a sin 4 (y — k)' a sin 4 ’
d’où l’on tire l’intégrale
= log (- -| .
a sin 4 \ y / ' y — k
§ 70. Enfin nous avons (§ 75)
t = ? 4. Jf y h Q*
ce qui donne
ou bien
Q; =*= x cot 4 "H y — ù cos4(c v : ac “* v — î) (§ 70) ; Jonc on a
x = a sin 4 (e " c “‘ y — >) — y tang 4»
J1ÉV0IÜK
OU
a sia 4>
£ 1/ : a co s
faisant
a eus 4*
AT = AB = RP = i (fo 6), AR = BP = y ; a cos 4'»
il viendra
QM =
a sin 4/ '
Donc BP, de môme que BQ, est proportionnelle h y et QM à x.
§ 80. Cette construction fait voir comment la courbe AME ( fig . 7) se construit aisément au moyen d’une logarithmique. Il en résulte pareillement que la branche AME n’est point asymptotique, mais bien celle qui s’étend de l’autre côté de la ligne AB, et qu’en général la courbe AME n’est autre chose qu’urre logarithmique placée obliquement.
§ 81. Quoique depuis le point A, le mouvement du fluide commence à accélérer celui du corps, l’effet de la résistance ne laisse pas cependant de l’emporter encore , et le corps doit continuer de se mouvoir vers E ivant que ces deux effets se contre-balancent. L’équation (§ 75)
Sl'R LA RÉSISTANCE MS FLUIDES. 73
nous conduit le plus facilement à trouver le point où cela arrive. Elle se change en
q — Q — A cot 4- ;
d’où l’on obtient le carré de la vitesse tangentielle c* — q' - {- A* = A’ -j- Q* — aQA cot 4 1 -f- A’ cot 4^ ;
et en prenant les différentielles
o — ede = k — Q cotij/ -|- A cot 4'% ce qui donne
k = Qsin^cos^, q — Qsin^*, c — Qsin •4'»
donc
q — c sin -J/, k = ccos4'-
Ainsi le point où la vitesse tangentielle recommence à croître se trouve là où la diagonale PM est perpendiculaire sur la courbe. L’équation (g 76)
y = acos4 , log^
nous fournira l’ordonnée répondant à ce point, si nous y substituons la valeur
— = coséc 4' 1 '/
que nous venons de trouver. Cette ordonnée sera donc
y = a cos \J/ . 2 log coséc 4%
§ 82. Après les deux cas que nous venons de considérer, nous passerons à examiner quelques-uns de ceux où il se trouve un équilibre entre l’action de la pesanteur et celle du fluide, dont le mouvement tend à entraîner un corps qui s’y trouve. A l’exception des fontaines jaillissantes , il n’y a guère de cas où un fluide se meuve de bas en haut dans un sens opposé à celui de la pesanteur. Dans ce cas l’équilibre aura lieu lorsqu’on aura
CC = agi
c’est-à-dire là où la vitesse du fluide est la même que celle que la boule acquerrait en tombant dans ce fluide d’une hauteur infinie. Si donc on met sur le tuyau d’une fontaine qui lance ses eaux verticalement , une boule dont la pesanteur spécifique surpasse celle de l’eau, et dont le diamètre soit plus petit , ou du moins ne soit pas plus grand que celui de l’ouverture du tuyau, cette boule sera toujours poussée à une certaine hauteur , où elle restera comme suspendue en équilibre, et ce point sera celui où l’on aura
Il est cependant possible que ce point ne se trouve pas, et cela arrivera toutes les fois que la vitesse initiale du jet d’eau ne sera pas aussi grande que la vitesse C, ou que la racine carrée de ag.
§ 83. Si le mouvement du fluide est horizontal, suivant
I H l,A RÉSISTANCE DES FLUIDES. 75
la direction AB ( flg 8 ), et qu’on y suspende une boule plus pesante B à un fil BC, l’action du fluide empêchera la boule d’être (1) dans une position inclinée BC dans laquelle la boule restera en équilibre. Il y a longtemps qu’on s’est servi de ce moyen pour déterminer la vitesse du fluide. Ainsi je ne rapporterai ce cas nouveau que pour en exprimer les formules par les mêmes lettres ' dont je me suis servi dans les calculs exposés ci-dessus. Soit donc la vitesse du fluide = c , son action sur la boule sera cc dr 1 : a — BM. Mais la boule ne pouvant se mouvoir que dans une direction perpendiculaire au fil BC, uous décomposerons cette action en MP et PB. Faisant donc l’angle BCA = p, nous aurons l’action suivant MP = ccdr* cos p : a. Au contraire l’action de la gravité est = gdr* = BC , et elle doit pareillement être décomposée en GQ et QB ; on aura donc GQ = grf» 1 sin p. De là nous aurons, en posant CB = 1,
CCdr' COS p , , , .
— - — ÿrfr’smp = c/ap.
Or dans le cas de l’équilibre nous avons dd<p = 0, il vient donc
cc = ar/tangp = CCtangp;
ce qui fait voir que toutes les fois que l’angle <p est de 45 degrés, la vitesse c ést C, et jyir conséquent la même que celle que la boule acquiert en tombant dans ce fluide d’une hauteur infinie.
(1) On pense qu’il y a lieu d’insérer ici les trois mots: autrement que dans, qu’ou suppose avoir été omis à l’impression.
76 mémoire
§ 84. Si l’on veut se servir de ce moyen pour déterminer la vitesse du vent, il sera bon d’avoir égard à différentes circonstances qui peuvent en assurer le succès. Je remarque d’abord que la lettre a est variable, puisqu’elle dépend de la densité de l’air , de sorte que l’on a (g 33)
Nous avons déjà vu ci-dessus comment la densité de l’air varie, et de quelle manière il faut l’estimer en employant le baromètre et le thermomètre. Mais comme la lettre a dépend aussi du diamètre de la boule et de sa pesanteur spécifique, il convient de déterminer ces deux points de façon que les angles < p ne soient ni trop grands ni trop petits. Supposons, par exemple, que l’angle <p =45 degrés doive répondre ü la vitesse du vent de 100 pieds du ltliin (31 m ,385) par seconde , quand la densité de l’air est 850 fois moins grande que celle de l’eau. Nous aurons, pour ce cas, C = 100, et partant
CC =i z ag — îoooo,
îoooo . , ,
a = — — j- = oao pieds (iooViod);
Ol J
donc
3ao == rü,
rD = Go pieds (i 8”, 83 1 ).
Moyennant cette équation , la pesanteur spécifique de la boule étant donnée , on en trouve le demi-diamètre r. Supposons , par exemple , que la boule soit d’un bois
léger dont la pesanteur spécifique ne dépasse celle de l’air que 600 fois, uous aurons ± pieds (0”,0313). On diminuera ce demi-diamètre en prenant une boule spécifiquement plus pesante ou en se contentant d’une vitesse C moins grande ; car on voit que l’on a en général
30] r “ îOL)'
§ 85. Si, au lieu d’une boule, on ne suspend qu’une règle ou un corps parallélipipédique, l’effet de l’action du fluide se calcule autrement. Que le poids en soit = P, le poids d’un volume égal du fluide =P : D, l’épaisseur = h, et nous aurons (g 31, J2)
CG = ag = 2 ghü.
g 86. Ensuite l’action du fluide est également
MB = — dr'i a
mais le plan BC étant oblique, cette action sera moindre dans le rapport du sinus d’incidence, puisque la quantité du fluide diminue dans ce rapport: Cette action est encore moindre à cause de l’obliquité d’incidence qui en diminue l’efficacité; de sorte que nous avons
