COS 3 P = J

ce qui donne l’angle <p = 70”,32, si donc l’angle EBF est de 70 J degrés, le plan EC pourra avoir le plus grand poids possible. Mais si le poids est moins grand, il est clair qu’on aura le choix de faire l’angle <p plus grand ou plus petit que 70 j degrés, et qu’on trouvera toujours un angle tel que le plan ne pourra ni tomber ni descendre. On n’aura pour cet effet qu’à résoudre l’équation

, ag CC, sin<p — siu<p 3 = = — ,

et n’en retenir que les racines positives, c'est-à-dire qu’on fera

3CC y5

■iCC

= COStr,

et l’on aura les trois racines

Entre ces trois racines, il y en a toujours une plus grande quel et qui par là même ne saurait avoir lieu, puisque les sinus ne sont jamais plus grands que le rayon. Or l’angle w est toujours plus grand que 90 degrés; donc j»> 30°

et ~ tv -f- 120 ° > 150°. De là, cos (i w -f- 120 °) > .

Sun LA RÉSISTANCE DES FLUIDES.

Ainsi la valeur de cos (t w + 120°) est non-seulement négative mais en même temps aussi plus grande que le rayon. Les deux racines seront donc i/| cos j iv et

tv — 120°). Du reste, il convient de remarquer

que tout ceci n’a lieu que lorsque le plan EC n’a point encore reçu de mouvement; car, dès qu’il se meut, le calcul doit être fait autrement, puisqu’il faudra considérer ce qui s’y trouve de relatif.

§ 89. Passons maintenant à considérer (fl g. 10) le cas où une boule jetée obliquement dans un milieu résistant est exposée eu même temps à la résistance du milieu et à l’action de la gravité. Soit CAB la courbe qu’elle parcourt, AF la droite verticale qui passe par le sommet de celte courbe, EAQ la droite horizontale qui passe par le même sommet A. Supposons que la boule, après avoir passé par A, parvienne au point M, et que sa vitesse en ce dernier point soit = e; en vertu de cette vitesse, ellepourraitparcourir l’espace M q dans le temps rfr, mais la résistance la retardant, ell ; ne parvient qu’en », et l’action de la gravité fait qu'elle se trouve réellement en m. Nommons

AP = x, PQ = NM = dx,

MP — y, N <7 = rfy,

l’arc AM = », Mm = rf»,

l’angle PMT =

NÉMOIRE SCR LES FLCIDES. {J

83 mémoire

Faisons encore la vitesse horizontale = k, la vitesse verticale = q, de sorte que l’on ait

cdv — dt, kdr = dx, qdr = dy,

et l’on aura

k' + v* = c\ k = csiixp, y n c cos ç.

§ 90. Cela posé, il s’agit de déterminer la diminution des vitesses c, k, q. Je remarque en conséquence que la vitesse tangenlielle c s’altère par la résistance aussi bien que

par l’action de la pesanteur. Le premier effet sera —

parce qu’il est en raison de la vitesse même et en celle de l’espace parcouru. Cet effet influe proportionnellement sur les vitesses horizontales et verticales, de sorte qu’il

sera pour la verticale = — = —, pour l’horizon -

talc = — = ; or, la gravité agissant verticalement

n’altère point la vitesse horizontale. Nous aurons donc

cdx kdr

ce qui donne

dv a

Nommant G la vitesse au sommet A , nous aurons l’intégrale

.St donc les parties de l'arc croissent en progression arithmétique, lesvitesses horizontales décroissent enprogression géométrique, ou bien le logarithme de la vitesse horizontale est toujours en raison de l'arc parcouru par la boule.

Cette proposition est fort analogue à celles que nous avons trouvées pour le mouvement horizontal et pour la chute des corps dans un milieu résistant (§ 10, 19 et 20).

§ 91. La gravité agissant verticalement augmente la vitesse verticale d’une partie = gdr = gdy\ q ; on aura donc

§ 92. Enfin, cet effet de la gravité étant =jtwi, il n’augmente l’arc parcouru que de la partie cosip, on

aura donc

gdy. cos p cdt ^

g 93. Mais on a

dy : q = dv c; donc, en substituant, il viendra

qdt cdt ,

cos® = de -,

et partant

d t dr de

ac a ag cos p — ce’

§ 94. La formule du § 91

gdy edy , q a

donne pareillement

dy dr dg dq

aq o ag — cq ag — ce cos q

§ 95. Enfin nous aurons aussi (§90)

d i dr dk

ac j« ck ’

de sorte que le temps dr s’exprime par les vitesses de trois manières différentes, en ce que l’on a

dr dk de d g

~a ~ kc ag cos p — ce ag — cccosp’

En comparant ces formules avec celles que nous avons trouvées pour le mouvement horizontal, et pour la chute des corps dans un milieu résistant (§ 8 et 15) , on trouvera aisément de quelle manière elles en diffèrent. Elles sont d’une même forme, mais plus embarrassantes, puisqu’il s’y trouve, ou l’angle p, ou deux vitesses c, k, q à la fois, et c’est l’unique cause qui les rend plus intraitables.

SUU LA HÉSISTANCE DES FLUIDES.

§ 96. Reprenons cependant l’équation

de dg

ag cos <p — ce ag — ce cos <p’

elle se transformera en celle-ci :

c co s ç — q\

donc il viendra

ede dg

agq — c l ag — cq’

ce qui donne

ag{cdc — qdq) = qc'dc — C l q\

mais on a

ede — qdq = kdk.

Donc on aura

agkdk = (qdc — cdq)cc,

ou bien

agkdk qdc — edg /c\

ccqq ~~ qq ~ \q)'

Mais

c l q = 1 ; cosip,