PAR LAMBERT
§ 1. La théorie du mouvement des corps dans un milieu résistant est un de ces sujets dont la physique nous présente un grand nombre. Elle est d'une utilité manifeste, puisque la perfection de l’art de jeter les bombes en dépend. Elle est compliquée dans ses principes, puisque les milieux étant supposés fluides, il faudrait avoir égard au mouvement de chaque particule du fluide dont on cherche la résistance. Et si, eu ne considérant que la somme des particules , on parvient à découvrir une loi, sinon exacte à toute rigueur, du moins tolérable en ce qu’elle ne s’écarte pas considérablement de l’expérience , on est encore bien éloigné du but auquel on seproposede parvenir. Il s’agit d’y appliquer le calcul, afin d’en tirer des formules simples et facilement applicables : difficulté
MÉMOIBE SCR LES FLOIDSS, £
qu’il n’est pas si facile de surmonter. En outre, quand même on pourrait la vaincre, il s’agirait encore de vérifier , par des expériences, les conséquences et les règles que le calcul nous fournit. Car les principes, employés pour cet effet, n’étant vrais qu’à peu près ou en gros, on couçt risque que ce qu’on en déduit mathématiquement, ne s’éloigne encore davantage de la parfaite précision à laquelle il faudrait pouvoir parvenir.
§ 2. Je ne retracerai pas ici l’histoire de ce qu’on afait à cet égard. On saitqu’un corps pesant, projeté obliquement dans un espace vide d’air, avec une vitesse quelconque, parcourt une parabole, et qu’il affecte, pour ainsi dire, de parcourir cette courbe dans l’air même, dès qu’il ne se meut pas avec une très-grande vitesse, et que sa gravité spécifique surpasse celle de l’air plusieurs centaines de fois. En effet, vu le peu de densité de l’air, il est aisé d’en conclure , que la résistance ne saurait être fort grande dans ces cas. Mais comme cette résistance s’augmente en raison du carré de la vitesse , ou peut-être dans un rapport plus grand encore , elle devient très-grande dans le cas où la vitesse égale celle des bombes et des boulets de canon. De là vient que les règles qu’on donne pour les jets paraboliques, ne sont d’aucun usage pour l’artillerie , et que , si elles ont quelque élégance , on ne peut les considérer que comme des propriétés remarquables des paraboles. 11 est certainement dommage qu’on ne puisse les y employer, et qu’il faille y substituer des formules, qui n’offrent que des quantités logarithmiques , circulaires ou transcendantes , telles que l’on est obligé de s’estimer heureux, quand on peut parvenir à les exprimer par de
suites infinies, quelque peu convergentes. On peut juger des difficultés que l’on rencontre dans ces recherches , quand on sait que Newton , après avoir donné les principes et les règles pour les cas les plus simples , a renoncé à la solution du problème principal ; que feu Jean Bernoulli n’a donné cette solution que sous la condition de concetsis quadraturis ; et que M. Euler, au lieu de présenter des formules intégrales, s’est contenté d’une approximation , en substituant des lignes droites aux petites parties de l’arc que la bombe parcourt, remplaçant ainsi la véritable courbe par une espèce de polygone , dont on peut déterminer la longueur et la position de chaque côté , du moins à très-peu près.
§ 3. A ces difficultés qu’offre le calcul , se joignent celles qu’on rencontre dans l’établissement des principes et dans la manière de les examiner par des expériences. On est assez généralement d’accord pour admettre que la résistance est proportionnelle au carré des vitesses ; mais on ne l’est pas de même sur la question de savoir s’il faut prendre le carré double ou simple, et si pour les grandes vitesses, il ne faut pas encore y joindre le rapport du cube , du bi-carré , ou de quelques puissances plus élevées de la vitesse. S’il était facile de faire et de varier les expériences de toutes les façons qu’on pourrait souhaiter , cette difficulté serait bientôt levée. On n’aurait qu’à exprimer l’effet de la résistance par une suite , qui procédât suivant toutes les puissances de la vitesse, et à en déterminer les coefficients ; par ce moyen, on aurait cet effet tel qu’il est dû à l’ensemble des causes qui peuvent y concouru’, et il ne resterait plus à surmonter que les difficultés et les embarras du calcul.
b MÉMOIRE
§ ô. Mais ces sortes d’expériences ne sont nullement faciles à faire. On a fait tomber des boules et des vessies fort légères du haut dîune tour, et observé le temps de la chute. Ce temps et la hauteur étant donnés, ainsi que le volume et le poids de la boule, on en a déduit le coefficient , qui divise ou multiplie le carré de la vitesse. Mais cette vitesse n’étant pas fort grande , on reste en doute de savoir si pour des vitesses plus considérables, ce seul coefficient suffit Les expériences faites à Saint- Pétersbourg ne décident point cette question ; dans ces expériences, on a tiré à différentes charges un boulet de canon disposé verticalement , et l’on a compté les secondes de temps , que le boulet employait à monter et à descendre. Ce temps ne pouvait donner tout au plus que la vitesse initiale ; encore pour la trouver , fallut-il supposer, que la résistance de l’air suit le carré des vitesses. Si l'on avait pu observer séparément le temps de la montée, celui de la chute et la hauteur à laquelle le boulet parvenait, il y aurait eu moyen de vérifier, si le carré de la vitesse suffit, ou bien s’il faut employer le cube, le bi-carré, etc. Peut-être pourrait-on refaire cette expérience , en élevant un mortier verticalement , et ne le chargeant que d’un boulet de bois ou d’une autre matière fort légère , sur laquelle la résistance de l’air eût plus de prise. Mais l’expérience qui fut faite ici le 15 juin de l’année passée aurait beaucoup plus d’avantage , si elle était refaite avec plus de soin, et si l’on arrangeait d’avance les préparatifs qu'elle exige. Comme, par son moyen, l’on peut déterminerautantde points que l’on veut, de la courbe parcourue par la bombe, il serait ensuite facile d’en déduire le temps et la vitesse pour chaque point de cette courbe. Il serait même possible de faire en sorte qu’un
suit LA ItÉSISTANCi; DES FLUIDES. 5
certain nombre de ces expériences étant faites, on en pflt immédiatement déduire des tables à l’usage des bombardiers. Car chaque courbe déterminée de cette façon tiendrait lieu de toutes celles où la bombe , sous un moindre angle d’élévation, aurait eu un degré déterminé de vitesse.
§ 5. Ces remarques préliminaires font voir, à peu près , où nous en sommes , et qu’il n’est pas si hors de propos de reprendre , depuis les premiers commencements, la théorie dont il est ici question. Une autre raison encore me détermine à le faire; c’est qu’en employant les m6mes lettres dans tous les calculs que je vais exposer, on se trouvera mieux en état de faire la comparaison des différents cas que cette théorie présente et de voir jusqu’où ceux qui sont plus compliqués peuvent se réduire aux plus simples. Je tâcherai de rendre cette comparaison plus facile en ne me bornant pas simplement à donner des formules algébriques , mais en les traduisant, en outre, en langage ordinaire, toutes les fois qu’elles auront quelque élégance susceptible d’une semblable traduction, ou que je pourrai les raccourcir et les simplilier jusqu’à leur donner cette élégance.
§ 6. Soit donc AB (fig. 1") une ligne droite , suivant laquelle se meuve un corps sphérique. Soit G la vitesse initiale en A ; supposons que le corps au bout du temps = t soit parvenu en P, et que la vitesse qui lui reste à ce moment soit = c ; représentons enfin par x l’espace parcouru AP. La vitesse en P étant = c, le corps pourrait parcourir dans un temps infiniment petit dr, l’espace P< 7 . Mais comme il est retardé par la résistance du milieu, il ne parcourt en effet que l’espace P y, qui sera par
WKMOlBIî
conséquent == dx. Or , l’effet de la retardation , qui est — pif — ddx , est proportionnel au carré de la vitesse. Car, pour aller du plus simple au plus composé, je m’en tiendrai à cette hypothèse , dans les premiers calculs que je vais proposer. Nous aurons donc — ddx go cc, et pour réduire cette analogie en une égalité , nous introduirons un coefficient a , tel que l’on ait
— ddx = ccdr 1 : a.
-ici rtiin; * i * i : . ..
§ 7. Je remarquerai d’abord que cette équation se réduit à des nombres absolus, quand on fixe les unités auxquelles les lettres x, c, r, se rapportent. J’exprimerai donc le temps r en secondes , les espaces parcourus x en pieds du Rhin ( 0“, 313,854 ) , et les vitesses e par les espaces qu’un corps mû uniformément avec ces vitesses pourrait parcourir en nne minute de temps. Cela posé , il s’ensuit que la lettre a représentera une ligne droite , et que par là même elle pourra être comparée avec le diamètre du corps dont il s’agit de calculer le mouvement La suite du calcul nous donnera lieu de la représenter encore de diverses autres façons.
§ 8. Reprenons donc l’équation
— ddx = ccdr* ; a,
nous pourrons exprimer l’espace ddx d’une manière différente en remarquant que l’on a
-im i.b >,• : : tà V. I:
dx — edr,
SUU LA RÉSISTANCE DES ELUDES. 7
et partant
ddx = dcdr ;
substituant, nous avons
— de . dr — ccdr 1 : a,
ou bien
de dr
ce a ’
d’où l’on tire l’intégrale
La constante a : G est telle que *■ soit = 0 , lorsque c — G.
§ 9. Cette formule qui exprime la relation entre le temps et la vitesse, nous fait voir que cette relation est simplement réciproque , et que quand même la vitesse initiale G serait infinie, il ne faudrait qu’un temps fini a : c = r, pour qu’elle devînt aussi petite que l’on voudrait On voit donc, ainsi que nous l’avons remarqué précédemment, que la résistanse du milieu n'est nullement une chose dont on puisse faire abstraction , sans s’assurer préalablement de la quantité de son effet.
§ 10. L’équalion trouvée
de Ut
ce a
se change sans pciuc en
de cd t dv
ce qui donne l’intégrale
Cette formule, qui exprime la relation entre la vitesse et l’espace parcouru, fait voir que la vitesse décroît en progression géométrique, lorsque l’espace parcouru croît en progression arithmétique. On aurait pu commencer le calcul par cette considération ; car le corps parcourant l’espace dx rencontre constamment le même nombre d’obstacles , quand on suppose cet espace partout égal ou constant; et chaque obstacle lui ôte d’autant plus de sa vitesse, que cette vitesse est plus grande. On déduit également cette proportion des formules qu’on donne pour le choc des corps, quand on considère le fluide ou le milieu résistant comme un assemblage de petits globules, ainsi que l’a fait M. Jean Bernoulli, dans sa Dissertation sur le mouvement, etc.
§ 11, Il nous reste encore à trouver la relation entre le temps et l’espace parcouru. Elle se déduit aisément des deux formules intégrales trouvées :
Car la première donne
d’où l’on tire et
eu prenant
§ 12. Il serait à souhaiter qu’on pût imaginer des expériences propres à vérifier les formules que uous vc-
nous de trouver. Elles ne renferment d’autre indéterminée que la lettre a , qui divise le carré des vitesses dans les formules différentielles, et qui, dans la formule intégrale, devient encore significative d’une autre façon. Car dans celle du § 8 :
elle désigne la vitesse , que le corps , après avoir commencé à se mouvoir avec une vitesse infinie , conserve encore après la première seconde de temps. Au contraire dans la formule du § 10 :
la lettre a dénote la sous-tangente de la logarithmique, dont les ordonnées représentent la vitesse du corps pour chaque point de l’espace parcouru. Dans ce cas, cette lettre est la mesure absolue de la force de la résistance, puisqu’elle exprime l’espace que le corps pourrait parcourir, si la vitesse continuait de décroître dans chaque petit espace dx de la même quantité , dont elle a diminué dans le premier espace dx.
§13. Mais, comme le mouvement horizontal rectiligne s’altère subitement par la pesanteur, il n’y a pas moyen de s’en tenir à ces formules ; toutefois en introduisant dans le calcul l’action de la gravité , il s’agit d’abord d’en trouver d’autres pour le cas où le corps
suit LA RÉSISTANCE DES FLUIDES. il
monte ou tombe suivant une ligne verticale. Ce ca6 est encore assez simple, parce que le mouvement restant rectiligne, on évite l’embarras qui naît du changement de direction qui a lieu continuellement dans le mouvement oblique. Je vais donc examiner ce cas et le faire de sorte qu’on puisse parvenir à le comparer avec le précédent, et à définir la valeur de la lettre a par une espèce de théorie aussi bien que par des expériences.
§ 14. Soit donc la verticale AB ( flg. 2) ; nous supposerons que le corps commence à tomber en A , et qu’après r secondes de temps, il se trouve en P, de sorte que l’espace parcouru soit AP = x. Soit c, la vitesse en P. Cette vitesse croîtra par l’action de la gravité , et diminuera, au contraire, par la résistance du milieu. Il s’agit d’évaluer l’un et l’autre de ces deux effets pendant le temps dr, dans lequel le corps continue de tomber par le petit espace P p = dx. Je remarquerai, en conséquence, que l’effet de résistance se détermine par la formule du § 10
de dx
car on a de — cdx : a. Au contraire l’effet de la gravité se trouve , en cherchant la hauteur par laquelle un corps doit tomber dans le vide pour acquérir la vitesse c, nommant donc f g l’espace de la chute d’un corps , qui répond à une seconde de temps , la lettre g sera de 31 | pieds du Rhin (9”,8079) (1) dans le vide; mais.
(1) La valeur de y, à la latitude de Paris, est de 9“, 80879.
dans un fluide, il faudra la diminuer dans le môme rapport que le poids du corps y diminue. Or , les lois de la gravité nous fournissent la formule
c = va 9i >
d’où l’on lire la différentielle
de — gdt ; \mjI,
ou bien
posons donc
= dx.
on aura l’effet ou l’accélération duc à la gravité
Et, eu soustrayant de cet effet celui qui est dû à la résistance, on aura l’accroissement de la vitesse
cdx
ce qui donne
cdc dx
ga — cc a ’
et partant l’intégrale
D’où l’on voit, que c ne saurait devenir plus grand que la racine carrée de ag, et que , par conséquent , cette racine n’est autre chose que la vitesse terminale, celle à laquelle le corps pourrait parvenir, si la chute se continuait à l’infini.
Nous nommerons cette vitesse C , et l’on voit qu’elle est la moyenne proportionnelle entre g et a.
§ 15. En reprenant l’équation
dx cdc
a ag — cc’
nous la transformerons en
de dx dr
ag — cc ac a
Ift MÉMOIRE
ce qui donne l’intégrale
ou bien
= log
\'ag -j- c \jag — c
d’où l’on tire réciproquement
e iTC :a — i
§ 16. Égalant enfin cette quantité à celle que nous avons trouvée ci-dessus (§ 14) ,
nous en tirerons
e rC : a — e * : ° -j- y , e îi : a — 1 ,
et réciproquement
ae m ! • — c rC : 0 * 4 " *" ' *•
§ 17. Voilà donc toutes les formules dont on pourra avoir besoin pour déterminer le temps ou l’espace, ou la vitesse d’un corps qui tombe dans un milieu résistant. Pour trouver des formules applicables aux cas où le corps est lancé verticalement de bas en haut, il suffira de remarquer que, dans ces cas, la gravité et la résistance contribuent l’une et l’autre à diminuer la vitesse.
En revenant donc à ces deux effets déterminés dans le § 14 > il suffira de les faire l’un et l’autre soustractifs , et nous aurons en accentuant la lettre c.
,, __ gdx c'dx ~c‘ a
Mais, avant que de passer à l’intégration de cette équation , nous la comparerons à celle que nous avions trouvée pour la descente (§ 14) , et qui est
^ gdx cdx
Ces deux équations se transforment facilement dans les deux suivantes :
acdc = agdx — ccdx , ac'dc' — agdx -f- c'c'dx ;
donc, en soustrayant l’une de l’autre, on aura ac'dc' — ocdc = (cV -f- cc)dx.
et partant
dx c'dc' — cdc
a c'c -}- cc
Équation , qui exprime la hanteur x par les deux vitesses c, c, qui lui répondent : elle ne semble pas fitre intégrable. Mais nous allons d’abord voir qu’on peut lui substituer la suivante :
dx c'dc' cdc
a c'c' cc'
§ 18. Eeprenons pour cet effet les deux équations
. , qdx , c‘dx
de — —, ,
^ qdx cdx
nous en tirerons aisément
dx cdc c' dc'
a cuj — cc ag -j- c'c’’
et partant
agede -J- c'c'cdc = agc'dc — ccc dc' ,
ce qui donne
c'ccdc ccc dc = ag(cdc‘ — cdc) ; d’où l’on déduit l’intégrale
c’c'cc = agc c' — agcc, agcc
ag — cc
agcc'
CC — - i , , •
ag + ce
Ces équations font voir que la vitesse du corps en montant étant donnée, on trouve immédiatement la vitesse qu’il a en retombant au même point de la hauteur P. Soit AD (/tg. 3) la vitesse terminale C (§ 14) ; AB, la vitesse en montant; la perpendiculaire AE du triangle rectaugle DAB sera la vitesse en descendant.
§ 19. L’équation trouvée
c'c'cc = agc':' — agcc
se change en
ag cc c e ’
d’où l’on tire la différentielle
de de’
ecc c'c'c’’
ou bien
ccc'dc' cc'cdc
M^NOISl SUR LES FLUIDES.
Or, en ajoutant de part et d'autre c'dc ' — cdc, on obtient (1)
c'dc' — cdc — c'dc' -f-
c i ddc’ c'c’cdc
c‘c‘ TT
— cdc,
ce qui donne
c’dc' cdc c'dc’ — cdc
c'c’ cc c’c ' — cc
dx
d’où l’on tire
dx de' de
§ 20. Cette formule est assez remarquable en ce qu’elle nous met en état de comparer le mouvement vertical d’un corps avec son mouvement horizontal , car la vitesse initiale c est à la vitesse qu’il a en retombant, dans le môme rapport que si le corps, dans le même milieu résistant, avait parcouru la droite AP = x (§ 10). On en tire facilement la conséquence que, dans le cas, où le corps monte et retombe, l’action de la gravité ne fftit que redoubler le chemin parcouru et changer la direction du mouvement.
§ 21. Mais revenons maintenant à l’équation différentielle
c'dx
. . ... — — — — — -rcr-
(1) Il faut retrancher de part et d’autre la quantité c'dd — cdc ou bien : ajouter de part et d’autre cdc — - detd.
SUR LA RÉSISTANCE l)ES FLUIDES. 19
que nous avons trouvée (§ 17) pour le cas où le corps monte. Elle se transforme en
c'dc' dx
ag -)- c'c' « '
d’où nous tirons l’intégrale
ax , ag 4- c'c'
— — log H ,
a ag
et réciproquement
§ 22. Or, nous avions, (§ li) pour la chute,
donc on a
x ; a = log-,
li>
tout comme dans le paragraphe 19.
§ 23. La même équation
ddd ‘ dx
ag + dd a
nous donne
dd
dx dr
ag -)- dd da a *
dont l'intégrale est
tC . d
— = arctang -,
et réciproquement
d rC
- = tang arc — .
§ 1 h. Après avoir trouvé le temps de la montée et celui do la descente , proposons-nous d’en exprimer la somme de la manière la plus simple possible, par la vitesse d, avec laquelle le corps commence à monter. Faisons d’abord la tangente
- = cot 20,
ou bien
tang a*,
et l’équation du (§ 18 )
C Cdd
CC — GG + de' '
étant changée en
cc dd ; CC
CC i -|- dd C CC
se transformera en
ce cot 30 * CC eoséc 20*
= cos 20* ;
d’où l'on tire
- sa COS 2*.
Mais le temps de la descente est (§ 15) a K i — d : C ’
ce qui donne
3rC . 1 cos 3 “
I » I WJ J» . „
log !— = log COt a * ,
a ° 1 — cos 2 * °
et partaut
rC
a = log cot*.
Au contraire, le temps de la montée étant (§ 23)
rC d
— = arc tang - ,
nous aurons, en posant * = 3,1415926
par conséquent, la somme de l’un et de l’autre temps étant exprimée par T , on aura
T — (î* — 2* -f-logcot •) p,
Ca
Il est presque superflu d’avertir que , dans cette formule, il faut prendre les logarithmes hyperboliques, et le rayou du cercle égal à l’unité.
fl MÉMOIRE
§ 25. Comparons encore le temps de la montée avec la hauteur à laquelle le corps parvient avant que de retomber. Pour cela nous avons (§§ 23-21)
d : C = tang arc — ,
d’où nous tirons
- = logsécarc— , a a
et, puisqu’on a (§§ 24-23)
d . . rC
= cot a* = tang arc — ,
ta O-
on aura
- = log coséc 3é(.
Donc le même arc 2», qui est tel que cot 2« = c’ : C, suffît pour trouver, d’une manière fort facile, et la hauteur x, et la somme des temps de la montée et de la descente , ou bien chacun séparément.
On trouvera facilement que, dans le triangle ADB (ftg. 3), cet arc 2» est l’angle B, et que, en même temps que l’on a 1
d J C — cot a*,
on a aussi
c ; d = sin 2 * et e ; C === cbsi«, • :
puisqu’eu faisant
