AD = C

AB = d,

on a

AE = c (§ 18).

§ 26. Nous allons maintenant déterminer la valeur de la lettre a, que nous avons employée dans tout le calcul , et que nous emploierons encore dans les suivants. La remarque que nous avons faite au paragraphe IA , que la vitesse terminale d’un corps tombant est la racine carrée de ag , ou qu’on a

ag = CC,

nous met en état de comparer cette vitesse et la résistance qui lui est due avec l’action de la gravité, action représentée par la lettre g, qui exprime la vitesse qu’un corps tombant dans le vide acquerrait dans la première seconde de temps, si sa gravité était égale à celle qu’il a, lorsqu'il est plongé dans le fluide (§ l/j). Il est clair que si la vitesse terminale C pouvait être trouvée immédiatement par des eipéricnces, on n’aurait qu’à diviser son carré CC par g, et l’on trouverait la valeur de la lettrea , sansavoir besoin d’entrer dans d’autres recherches. Mais comme un corps tombant n’acquiert cette vitesse que lorsqu’il tombe d’une hauteur infinie dans le même milieu , l’expérience dont il s’agît n’est pas faisable. Cependant, quand on connaît à peu près cette vitesse, il ne serait pas impossible de lancer le corps de haut en bas, avec une force qui lui donnât dès l’abord une vitesse à peu près égale, et il est clair que le corps, en continuant de tomber, s’approcherait davantage encore de la vitesse C, que l’on cherche.

§ 27. Mais nous pourrons nous y prendre de diverses «utres manières. Je remarque, en conséquence, que le temps et le lieu ne changeant rien dans les choses , la résistance et son effet restent les mêmes , soit que ce soit le corps qui se meuve dans le milieu résistant, soit que le milieu lui-même se meuve contre le corps en repos ; il est clair qu’en employant une certaine force, ou pourra retenir le corps de manière à ce que le mouvement du milieu ne l’entraîne point, et qu’il y aura un équilibre tel que , pour peu qu’on relâche de cette force , le corps commencera à être entraîné. En substituant à cette force un poids qui lui soit égal , nous pourrons estimer l’effort du fluide par celui de la pesanteur.

§ 28. Afin de rendre cette comparaison moins compliquée, nous supposerons la vitesse du fluide, ou du milieu résistant, égale à celle que le corps acquerrait en tombant dans le milieu d’une hauteur infinie. Cette vitesse est telle , que si le corps est poussé en bas avec une force qui la lui procure, elle n’est ni augmentée par l’action de la gravité, ni diminuée par la résistance du milieu dans lequel le corps tombe, et que, par conséquent, l’action de la gravité est parfaitement égale à celle de la résistance.

§ 29. Soit maintenant CDE ( fi g. 4) un tuyau recourbé et ouvert en C et E, de sorte que l’une et l’autre ouverture soient égales.

Supposons que par le canal AB il tombe continuellement une colonne d’eau , ou du fluide résistant, sur l'ouverture C, on sait qu’elle remplira le tuyau CDE jusqu’à la hauteur E, qui est de niveau avec B. La colouneBC,

Sun LA RÉSISTANCE DES FLUIDES. 25

en tombant, acquiert une vitesse que nons appellerons C,

et qui répond à la hauteur BC, en sorte que BC =

Or, quel que soit l’effort dû à cette vitesse , il est clair que le simple poids de la colonne DE y maintient l’équilibre. Cet équilibre aura lieu de quelque manière que le poids soit appliqué. Il suffit que sa réaction soit directement opposée à l’action de la colonne BC, ou que, si elle ne l'est pas, ou ne l’est pas tout à fait, on en tienne compte.

§ 30. Supposons donc un levier horizontal appuyé sur P, et chargé des deux cylindres égaux CD, le levier restera en équilibre. Qu’il tombe maintenant sur C une colonne d’eau, ou du fluide résistaut, ni plus ni moins large que ne l’est le cylindre , il est clair que , pour ne point voir l’équilibre détruit, il faudra contrebalancer l’action de cette colonne par un poids E, et ce poids sera égal à celui de toute la colonne B , en tant que sa hauteur est CB et la base égale à celle du cylindre C.

§ 31. Mais si , au lieu du cylindre C , on avait placé en C une boule , l’action de la colonne BC y aurait eu moins de prise , puisque la boule l’aurait fendue plus facilement. La théorie de la percussion oblique nous fait voir que , dans ce cas, le poids E qui contrebalance l’action de la colonne BC se réduit à la moitié, et que, par conséquent, il est égal à celui de la colonne CF , dont la hauteur est = | BC , et la base égale à la surface du grand cercle de la boule.

§ 32. Voilà donc l’action du fluide comparée à celle de la gravité. Nous avons vu , ci-dessus , que l’une et J’autre

sont épies dans le cas Où la vitesse du fluide en G est la même que celle que le corps acquerrait dans ce fluide en tombant d’une hauteur inlinie , si son poids ou sa gravité n’était point diminuée par celle du fluide. Si donc cette vitesse est == G, et qu’on fasse y = 31 \ pieds du Rhin (9 m ,8079) (1) , c’est-à-dire épi à la gravité absolue du

corps, la hauteur de la colonne CB sera = , et

partant, CF = ££ = £(§26).

De la sorte, une colonne de fluide, dont la hauteur est £ , et la base égale à la surface du grand cercle de la

boule qui s’y meut; cette colonne, dis-je, est du même poids que la boule. Or, ce poids étant donné, nous pourrons nous en servir pour déterminer la valeur de a.

§ 33. Soit P le poids de la boule, P : D celui d’un globe du fluide d’un égal volume, la densité ou gravité spécifique du globe étant posée D est plus grande que celle du fluide. Soit, en outre, le demi-diamètre de la boule=r, nous aurons le poids d’un cylindre du fluide circonscrit à la boule =3 P : 2 D. Le nombre de ces cylindres dans la colonne J a fera = a : 8 r ; par conséquent leur poids = 3aP : 46 Dr. Or, ce poids étant égal à celui de la boule , nous aurons

3aP *. i6rD = P ;

d’où l’on tire la valeur de la lettre

a — ~rD.

(4) Voir là note du g 1 4: w * ' ■ —

sur. LA RESISTANCE DES FLUIDES. 27

Cette valeur se définit donc en chaque cas par le demidiamètre de la boule , et par le rapport de la gravité spécifique de la boule et du fluide.

§ 34. Cependant, comme il est ordinairement plus aisé de connaître le poids de la boule que sa gravité spécifique, bien que celle-ci puisse s’en déduire, dès que l’on connaît le diamètre , afin d’abréger ce calcul , nous déterminerons en nombres absolus le poids d’une boule d’eau du môme diamètre. Supposons donc qu’un pied cubique d’eau, mesure de Paris, pèse 70 livres poids de marc ( qu’un décimètre cube d’eau pèse 1 kilogramme) , le pied cubique, mesure du Rhin (un cube de 0 m , 313854 de côté), dont nous nous servirons dans ce discours, ne pèsera que 63 ^ liv. (31 k ,083). Si donc nous prenons pour base une boule d’eau , dont le diamètre soit d’un pied de Rhin, ces63 -J livres seront encore diminuées dans le rapport de 21 à 11. De là nous aurons le poids de cette boule

= 63j = 33t livres, poids de marc (16 k ,281). Si

donc le poids et le diamètre d’une boule quelconque sont donnés, on la réduira aisément à une boule dont le diamètre serait d’un pied du Rhin , et on en trouvera le poids en observant qu’il faut l’augmenter ou le diminuer en raison du cube des diamètres. Ce poids ainsi trouvé, on le comparera avec les 33 i livres (10 k ,281 ) , que pèse une boule d’eau d’un diamètre égal à un pied du Rhin , et l’on trouvera par là le rapport entre la gravité spécifique de la boule et celle de l’eau. Or, le rapport de la gravité de l’eau à celle des autres fluides étant connu, on changera ce rapport de la boule solide à la boule d’eau dans celui de la boule solide à celle de tel fluide que l’on

28 HÉMOIRK

voudra. Nous pourrions ainsi trouver une règle analogue pour l’air, si sa densité n’était pas extrêmement variable. Communément on regarde l'air comme environ 850 fois plus léger que l’eau. Ce rapport réduirait le poids d’une boule d’air, dont le diamètre serait " < 33 i 2

d’un pied de Rhin à — - liv. ou — - liv. ,

Il y a cependant des cas où l’air est plus pesant, comine il y en a nombre d’autres où il est plus léger que ce rapport ne le donne. De la table des hauteurs barométriques répondant aux élévations au-dessus de la mer, que j’ai donnée dans le Traité des propriétés re~ marquablcs de la roule de la lumière par les airs , etc., et qui est tirée immédiatement des observations faites sur les Pyrénées, il résulte que depuis la surface de la mer, où le baromètre est de 28 pouces de Paris (0 m ,760), il faut s’élever de 73 -J- toises (142 m ,9), pour que le baromètre s’abaisse d’un demi-pouce (0 ,n ,01354). Or, ces 73 * toises font 10,500 demi-pouces, et partant, le vifargent est 10,569 fois plus pesant que l’air. Divisant donc le nombre par 14, nous aurons 754 pour le rapport entre la gravité spécilique de l’eau et celle de Pair (1) , ce qui

fl) Il y aurait plusieurs choses à dire sur ce calcul de la densité de Pair à la surface de la mer, d’après la variation de hauteur du baromètre en s’élevant à une hauteur donnée dans l’atmosphère. Nous ne ferous que les indiquer. 1° Lambert suppose que la pression de Pair ne dépend que de sou poids ; 2° il suppose sa densité uniforme sur toute la iiau-

Sun LA nÉSl STANCE DES FLUIDES. 20

fait voir que l’air est quelquefois plus dense que ne le donne le rapport dont nous avons parlé au commencement de ce paragraphe. Mais il y a plus : il pourra être plus dense par une autre raison encore , car la densité trouvée répond à la hauteur du baromètre de 28 pouces (0 m ,760). Or, cette hauteur peut aller jusqu’à 29 pouces (0 m ,785) , et même au delà. Ceci diminue encore le nombre 754, en raison de 29 à 28 (ou de 785 à 760) , de sorte que l’eau ne sera que 728 fois plus pesante que l’air comprimé par une colonne de 29 pouces de mercure (1). Ensuite je remarquerai que les observations dont je tire ce résultat, ont été faites aux mois de février et de mars, et dans un climat qui approche celui de l’Italie, de sorte que le thermomètre n’y aura été que fort peu au-dessous de la tem-

teur de 73* j (143 m ), puisqu’il regarde le chiffre 154 auquel il arrive, comme exprimant la densité de l’air au bas de cette hauteur; 3° il attribue une valeur trop forte à la densité du mercure, qui n’est que de 13,558 à la température de 0 degré, laquelle ainsi qu’on le voit plus loin, est inférieure à celle des observations. Cette erreur lui fait trouver une densité trop forte aussi pour l’air atmosphérique.

(1) Ces évaluations vagues se ressentent de l’état peu avancé de la physique au milieu du xviu* siècle. Au temps de Lambert on n’avait encore aucune donnée exacte sur le coefficient de la dilatation des gaz par la chaleur, et par conséquent sur l'influence de la température sur leur densité. Aujourd’hui rien ne serait plus aisé que de calculer la densité D de l’air à une température voulue t, en la supposant connue et égale à D', à toute autre température t', ou réciproquement de calculer cette dernière en supposant la première connue, en négligeant toutefois l’influence de la température sur l’état de saturation de l’air

pérature (1). Ce qui fait que , dans les climats plus froids, le nombre 728 devra encore être diminué d’un 12« ou 10* parties (2), et par là il sera réduit à 650, de sorte que dans les pays du Nord , à la surface de la mer , et le baromètre étant à 20 pouces de Paris (0"*,785) , comme cela arrive pendant les plus grands froids, la pesanteur de l’eau n'excéderait que 650 fois celle de l’air.

§ 35. Au contraire , pendant l’été , et le baromètre n’étant qu’à 27 i pouces (0 ra ,744) de hauteur, le nombre 754 devra être augmenté dans le rapport de 27 j à 28 (ou de 744 à 760) , ce qui donne 782 ; et , en outre, d’une 10* partie par rapport à la chaleur, ce qui le change en

par la vapeur qui peut s’y trouver. Ou a en effet entre les 4 quantités D, D', t, ï, la relation

D î 4" OjOoS^ôt

D' i -j- o,oo

formule dans laquelle les températures t et é sont exprimées en degrés de l’échelle centrigrade, et doivent être pris avec le signe -f- au-dessus de 0°, et avec le signe — au-dessous. Soit t = -f- 15, t' = — 15, on aurait dans ces hypothèses

d’où D = o,8q3 , D',

(1) Le mot température n’avait évidemment pas, dans la pensée de Lambert, la signiûcation qu’on lui attribue aujourd’hui ; on pense qu’il signifiait ce que l’on entend ordinairement par les mots chaleur tempérée ou température ordinaire, température moyenne.

(2) Voir la note (2) du présent S.

860. Nous voyons de là que la variation de la densité de l’air peut aller depuis 650 jusqu’à 860. 11 est clair que ce changement influera assez considérablement sur la résistance que l’air oppose à des corps mus avec autant de vitesse que les boulets de canon et les bombes.

§ 36. Tout ceci ne regarde encore qne l’air tel qu’il est à la surface de la mer, et même indépendamment des variations qui peuvent résulter de l’humidité et des vapeurs dout l’air est toujours plus ou moins chargé. Voyons ce qui en sera pour des endroits plus élevés ; et pour avoir un nombre rond , prenons une élévation de 1000 toises (2000 mètres) au-dessus de la mer, en supposant que le baromètre à la mer reste à une hauteur moyenne de 28 pouces (0 m 760) , et que le thermomètre se trouve à la température (1).

A cette hauteur de 1000 toises (2000 mètres) , une variation d'uneligne (0 m ,0023) dans la hauteur du baromètre répond à une élévation de 16 f toises (Sl-jOôi), ou de 14170 lignes (14170 fois 0" n ,00226) ; de sorte quel’airyest 14170 fois plus léger que le vif-argent, et par conséquent

1M70 __ f 0 j s pj ug jgg er q ue j >eau . au ij eu q ue

sous les mêmes conditions, il n’était que 754 fois plus léger à la surface de la mer. On voit, par là , que pour déterminer exactement la valeur de la lettre a, il faut avoir égard à toutes les circonstances dont nous venons d’indiquer l’effet et l’influence , et qu’il est à propos de peser l’air, dans les cas où l’on veut s’assurer, à toute

(1) Voir la note (3) du § 54.

(2) Voir la note (1) du § 34.

rigueur, des effets de la résistance qu’il oppose aux corps qui s’y meuvent avec des vitesses considérables. Nous avons vu ci-dessus, que cette lettre exprime la valeur de la sous-tangente d’une logarithmique, dont les ordonnées représentent les vitesses et leur décroissement (§ 10, 19, 20) , et qu’ainsi elle est l’exposant (1) de la progression géométrique suivant laquelle ces vitesses décroissent. Je remarquerai encore, comme en passant, que feu M. Musschenbrock a donné une table des différentes pesanteurs de l’air, telles qu’elles avaient été observées par divers physiciens. On verra , par ce que je viens de dire , comment il est possible qu’il s’y trouve des résultats fort différents entre eux , et que quelques-unes des déterminations doivent être censées moins exactes que les autres.

§ 37. Je vais maintenant rapporter les expériences qui ont été faites à Londres sur la tour de l’église de Saint- Paul (2). M. Ilawksbèe, ayant fait faire des globes de verre creux, fort légers, les laissa tomber du haut de cette tour, et fit observer le temps de la chute. La hauteur était de 220 pieds de Londres (67 m ,052), ce qui revient à 213,6 pieds du Rhin , le baromètre se trouvait à 29^ de pouces, mesure de Londres (0 m ,75i), ce qui revient à 27 pouces h -J lignes , mesure de Paris;

(1) Le mot exposant employé par Lambert ne doit pas être pris dans la signification précise qu’il a aujourd’hui. On pourrait le rendre ici par le mot symbole, ou par ceux de terme général.

(2) Ces expériences sont de 1710. Elles sont déjà rapportées dans la 2° édition des Principes de la philosophie naturelle, de Neivton, qui lui aussi les a calculées pour comparer sa théorie à l’expérience.

srn la lésistancf. des fluides. 35

et enfin le thermomètre était 60 degrés au-dessus du terme de congélation, ce qui marque, généralement parlant, une chaleur d’été (1) ; et par l’une et l’autre raison nous pourrons nous en tenir à l’estimation du § 35, et supposer que pendant ces expériences l’air a été, ü trèspeu près, 850 fois plus léger que l’eau. Voici maintenant les expériences :