T * TB
Et comme dans ce cas, on a g = — — . 31 J =-^-
(5'*°, 769), on aura CC = = ce qui donne, à
très-peu près, C = = 11 pouces ( 0”,-288 ) qui est la
SU!» LA RÉSISTANCE IIF.S FLCIDES. 45
plus grande vitesse que la boule pourra acquérir en tombant.
§ 49. Après ces divers exemples , où la vitesse des corps tombants était peu considérable , j’en vais rapporter qjielques-uns où elle est beaucoup plus grande. M. Sulzer ayant vu les difficultés que MM. Bobins et Euler opposaient à l’hypothèse de la résistance exactement proportionnelle au carré des vitesses, entreprit d’examiner le résultat que donnent les calculs de M. Euler , par des expériences simplifiées au point qu’on pflt répondre de toutes les circonstances qui y influent, avantage dont ne jouissent pas celles de M. Bobins. Mais, sans m’arrêter ici ù cet examen , je me bornerai h rapporter les expériences de M. Sulzer, afin dé pouvoir ensuite y appliquer le calcul, et faire voir qu’on aurait pu en prédire les effets, en admettant simplement le principe de la résistance proportionnelle au carré de la vitesse.
§ 50. M. Sulzer ayant adapté à la boîte d’un fusil à vent un tube de verre de près de 12 pieds (3”, 766) de longueur, le remplit de vif-argent, en sorte qu’en comprimant l’air renfermé dans la boîte, la hauteur de la colonne de mercure dans ce tube lui indiquât exactement le degré d’élasticité de cet air comprimé. II chargea ensuite le fusil d’une balle de plomb, dont le diamètre était de 3 | lignes du pied du Rhin (7 m,n ,992), et ayant donné au fusil une position verticale, il lâcha le coup, et observa le temps que la balle employait à monter et à descendre. Cette expérience fut répétée cinq fois pour différents degrés d’élasticité de l’air comprimé ; en voici les résultats tels qu’ils ont été observés :
Hauteur du mercure.
Pi. du Rh. Mèlr.
Temps de la numide et de la descente.
T = 12 ’ secondes
Je remarquerai d’abord, que pour avoir l’entier degré de l’élasticité de l’air comprimé, il faut ajouter à ccs colonnes de mercure le poids de l’atmosphère, ou la hauteur du baromètre, que nous pouvons supposer avoir été de 2,45 pieds du Rhin (0”, 769), parce que M. Sulzer me dit qu’il avait fait ces expériences à Berlin , au mois de juin , par un des plus beaux jours d’été. J’ajoute ces circonstances, parce qu’il en résulte aussi , que pour déterminer la résistance de l’air, nous pourrons nous en tenir (d’après le § 35) à une densité de l’air 850 fois moindre que celle de l’eau.
§ 51. Pour tirer parti de ces expériences, il faût avant toutes choses, déterminer la vitesse avec laquelle la balle a été tirée. Ce calcul demande encore d’autres données. M. Sulzer y a pourvu en nous donnant exactement les mesures qu’il a prises à cet effet.
Les voici toutes en pieds du Rhin et ses parties décimales. La capacité de la boîte = 0,00677 pieds cubes ( 0 dmc ,2093 ) = *; la base du canon = 0,000532 pieds
Sun LA RÉSISTA NCI'. UK FLUIDES. kl
carrés 00524) = p ; la longueur... = 2,5833 pieds ( 8 J -"',20 ) = y ; le diamètre de la balle == 0,02540 pieds (0 d, “, 0799072) = J' ; l’aire de son graud cercle = 0,000508 pieds carrés (0' lim i,005014) = ( .
Le rapport de la pesanteur spécifique du mercure à celle du plomb = 1,2378 = m (1). Enfin je poserai la hauteur du baromètre de 2,45 pieds (0 m ,769) = a.
§ 52. De là il suit que l’élasticité de l’air comprimé dans la boîte est égale à une colonne de mercure haute de ( f -)- a) pieds. Cette colonne étant changée en une colonne de plomh du même poids, la hauteur de celle-ci sera = (/"-(-a ) m pieds; d’où il suit qu’elle surpassait
ji"> if + A ) (2) fois le poids de la boule de plomb dont
le fusil était chargé, et qu’elle mit en mouvement par sa pression. Si donc la pression de la gravité est prise pour unité, la force accélératrice de l’air comprimé dans la
boîte sera = ^ (/"-f- a).
(1) Ce rapport est trop fort, car même en prenant 13,598 pour la densité du mercure (qui est celle qu’il a à 0°), et 11,352 seulement pour celle du plomb, on a m = 1,1978.
(2) Soit p la densité absolue dit plomb, puisque la hauteur de la colonne de plomb est a) m, son poids sera J ni 1 ( f -J- a ) mp ; le poids de la balle est d’ailleurs J *<î* p ; d’où l’on
voit que le rapport de ces deux quantités est en effet
§ 53. Cette force diminue en raison réciproque de l’espace. Supposons qu’elle ait poussé la balle dans le canon du fusil jusqu’à la distance = £, la densité de l’air comprimé dans la boite sera diminuée dans le rapport
r+Ts 5
et sa force accélératrice sera par conséquent réduite à
3 mf*
Or cette force doit non-seulement pousser la balle, mais encore tout le poids de l’air extérieur, qui, étant égal à
une colonne de mercure égale à x sera = ~^r , quantité constante dont la force accélératrice de l’air comprimé doit être diminuée. Elle n’agira donc efficacement qu’avec la quantité ou portion
3 mf* 3 wu
(1) Il s’est probablement glissé ici une faute dans l’impression du mémoire de Lambert ; car il est aisé de voir qu il faut
(2) Conséquemment à la note précédente il faut lire
{« + fit) * s '
§ 5A. Soit maintenant > la hauteur de laquelle un corps doit tomber dans le vide pour acquérir la vitesse que la balle a acquiert à la distauce de sorte que cette vitesse soit = y'7 , et nous aurons, par les lois de la mécanique,
^ 5«m ( /~ — (- a) dj
2*^ -J- 2jS <!£ -ü ’
d’où l’on tire l’intégrale pour toute la longueur du canon de fusil :
§ 55. Remarquons ici, en passant, que la hauteur ,, aussi bien que la différentielle d , peut devenir = 0. Dans ce dernier cas elle offre un maximum qui aura lieu lorsque
(1) Ici encore il paraît s’être glissé une faute dans l’impression du Mémoire de Lambert, car l'équation
. Zamff 4- a) amx
dt — O = r-H — 1 r; r-
2 *S -}- ’lS
donne simplement
résultat qui, mis sous la forme
veut dire que la longueur de maximum de vitesse est telle que
MKMOim: SUR LES FLUIDES. k
50 UÉ1IOIRF.
ce qui veut dire que la vitesse de la boule croîtra jusqu’à cequ’on donne au canon de fusil une longueur telle, que l’air comprimé de la boîte, se dilatant dans toute la longueur du canon, ait alors une densité égale à celle de l’air extérieur. On voit par cette équation que cette plus grande longueur du canon est en raison directede l’élasticité de l’air comprimé dans la boîte, et en raison inverse de l’élasticité de l’air extérieur.
Le premier cas où la hauteur » devient = 0, a lieu lorsque la compression de l’air enfermé dans la boîte est si petite, que la force accélératrice qui en résulte , ne saurait pousser la boule que jusqu’au bout du canon du fusil. Car dans ce cas elle n’en sortira pas, mais l’air extérieur gagnant le dessus, joint au propre poids de la balle , la fera rentrer, en lui faisant faire des oscillations qui iront en s’affaiblissant jusqu’à ce qu’elle s’arrête là où, par son propre poids joint à celui de l’air extérieur, elle tienne en équilibre l’air qui reste dans la boîte. Ceci toutefois suppose que la balle remplit exactement le canon du fusil ; car, si elle était plus petite elle retomberait entièrement, etc.
§ 56. Mais revenons a notre calcul.
Nous n’aurons pour cet effet qu’à substituer aux lettres «, <®> y> fi a» les valeurs que nous donnent les expériences
la capacité de l’âme du canon qui lui correspond est à la capacité de la boîte qui renfermait l’air comprimé, comme la hauteur de la colonne de mercure, mesurant la pression initiale de cet air, est à celle qui mesure la pression atmosphérique.
Sun LA RÉSISTANCE DES FI.UIDES. 51
de M. Stilzer, et nous aurons
o,ao3o, o, 18483 ,
4Gi,5G,
et enfin
d où I on voit, que si f n était que de ^ ^ ou environ J pied, c’est-à-dire si l’élasticité de l’air comprimé dans la boîte n’excédait celle de l’air extérieur que de 3 pouces de mercure, la balle ne sortirait point du fusil, mais retomberait dans la boîte.
Pv
log (. + Ç) =
5mA a/ “
$■■«(•+?)- *5rH' + -) “
(1) En effectuant tous les calculs indiqués sur les valeurs des
. Py
données exprimées en mesures métriques, on tronve — = 0,2053; log ( 1 ) = 0,1867282; ^ = 1465,2;
~ log (i -j- ^ ^ =1332,7 ; 1465,2 — 1332,7 = 1325; v = 173,302 /— 132,5 ; d où v = 0 quand f = =
52 MKMOIRF.
§ 57. Substituons maintenant dans la dernière de ces équations les valeurs de la lettre f (§ 50), et nous aurons les hauteurs
v = i 5 i 6 pieds (475", 8),
§ 58. Or pour trouver la vitesse initiale t de la balle, on n’aura qu’à multiplier ces valeurs de » par 2 g = 62 J pieds (10 m ,6l58) (2) , et prendre les racines cari ées des produits. Mais, avant que d’en venir là, cherchons encore la valeur de la lettre C, ou de la plus grande vitesse que ja balle peut acquérir en tombant dans l’air, tel qu’il était dans ces expériences. Cet air étant 850 fois plus léger que l’eau, et l’eau 11,3 fois plus légère que le plomb, il s’ensuit que la balle avait
fois plus de densité que l’air. On aura donc D — 9350.
0",076, c’est-à-dire quand la hauteur de la colonne de mercure soutenue par la force élastique de l’air comprimé (en outre de la pression atmosphérique) n’est que de 76 millimètres , ou de ~ environ de ce qu'est en moyenne la pression atmosphérique au niveau de la mer.
(1) En effectuant les substitutions dans notre propre résultat, nous trouvons, pour les cinq expériences, les nombres respectifs ci-après : 480", 7; 463", 6; 342", 5; 256", 1; 115", 2.
(2) Voir la note dn § 14, d’après laquelle il faudrait, à la latitude de Paris, mettre pour 2 g 10",GI8.
SUn l,A RÉSISTANCE DES FLUIDES. 53
Ensuite nous avons le demi -diamètre de la balle
r = ^ pieds (0 dm , 0399582). Ces deux nombres étant
substitués dans la formule du § 33,
nous donnent
a5ga
^•oC'oo" 1 » 266 )s
de là
loga = 2 , 8026893 , logg = 1 , 4948000 ,
I°S a 9 = 4.2975393 = logCC (§ 26), loge = 2 , 1487696.0 = 140 , 85,
logÿ = 1,3078393,
§ 59. De là nous aurons les nombres suivants ( § 24) ;
log vg.
logv 2 Dÿ = logc'
iog^ = !ogcot 2 »
ce que donne encore
5* — iu
log cot u .
log COS 2*1.
§ 60. Or , ces logarithmes étant tabulaires , il faut les multiplier par log 10 = 2,30258 pour les changer en hyperboliques.
Et, par la même raison , il faut multiplier les degrés
(ï* " ”) par la longueur d’un degré , qui est = 0 , 01745 , etc.
Mais les formules des §§ 24-25,
T = ^ * — a» -|- logcota'j x = a logcoséc 2*,
demandent encore qu’on multiplie tous les log cot *> par 7 ,, que nous avons trouvé être égal à
VJ
Sun LA RÉSISTANCE DES FLUIDES. 55
et les logarithmes coséc 2* par
De là, en multipliant d’abord ces multiplicateurs, il suffira de multiplier les degrés ( | » — 2 « ) par 0,07864, et les log cot» par 10,378, pour avoir les temps de la montée et de la descente , et partant les sommes ; et enfin les logarithmes coséc 2 « par 1462, pour avoir les hauteurs x, ce qui donnera :
